vollkommene Zahlen Definition: Eine Zahl n heißt vollkommen, wenn sie die Summe ihrer echten Teiler ist (ohne n, mit 1). Beispiel: 6=1+2+3.

Beispiele 6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Die ersten 10 vollkommenen Zahlen 6 28 496 8.128 33.550.336 8.589.869.056 137.438.691.328 2.305.843.008.139.952.128 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638. 130.997.321.548.169.216

palindromerzeugende Zahlen Definition: Eine Zahl n heißt palindromerzeugend, wenn das folgende Verfahren abbricht: 1. a(0) = n, k = 0. 2. a(k+1) = a(k) + sp(a(k)). (Spiegelbild) 3. Wenn a(k+1) ein Palindrom ist, dann stopp, 4. sonst k um 1 erhöhen und weiter bei 2.

palindromerzeugende Zahlen sp(z) ist die Zahl z rückwärts gelesen, also ihr Spiegelbild: sp(417) = 714, sp(5296) = 6925. Ein Palindrom ist eine Zahl p, die rückwärts wie vorwärts gelesen gleich ist, d.h. es gilt p=sp(p): 727, 3, 4774

Beispiele 59: 59+95=154, 154+451=605, 605+506=1111. 67: 67+76=143, 143+341=484. 89: 89+98=187, 187+781=968, 968+869=1837, 1837+7381=9218, 9218+8129=17347, ...

Beispiele 89, 187, 968, 1837, 9218, 17347, 91718, 173437, 907808, 1716517, 8872688, 17735476, 85189247, 159487405, 664272356, 1317544822, 3602001953, 7193004016, 13297007933, 47267087164, 93445163438, 176881317877, 955594506548, 1801200002107, 8813200023188.

Beispiele 196, 887, 1675, 7436, 13783, 52514, 94039, 187088, 1067869, 10755470, 18211171, 35322452, 60744805, 111589511, 227574622, 454050344, 897100798, 1794102596, 8746117567, 16403234045, 70446464506, 130992928913, 450822227944, … nach 10.000 Schritten noch kein Palindrom!

Eine nicht berechenbare Funktion f(n) sei maximale Anzahl |, die eine Turingmaschine mit n Zuständen und A={b,|} (Busy Beaver) schreiben kann. Satz von Rado: Die Funktion f ist nicht berechenbar.

berechenbare Funktionen Definition: Eine Funktion f(n) heißt berechenbar, wenn es eine Turingmaschine gibt, die bei Eingabe von n die Ausgabe f(n) auf das Band schreibt.

Busy Beaver mit n Zuständen 1. TM: BBn Busy Beaver mit n Zuständen | BBn

berechnet die Funktion f 2. TM: F berechnet die Funktion f 4 1 3 F dezimal

3. TM: WRITEn schreibt die Zahl n 4 WRITEn dezimal

konvertiert von dezimal nach unär 4. TM: CONVERT konvertiert von dezimal nach unär 1 3 | CONVERT

Was macht WRITEn  F  CONVERT ? Frage: Was macht WRITEn  F  CONVERT ?

4 Turingmaschinen Nr. Name Eingabe Ausgabe Zustände 1 BBn - f(n) (unär) n 2 F f(n) (dez.) p 3 WRITEn n (dez.) log10 n 4 CONVERT dezimal unär q

Wähle n derart, dass n > log10 n + p + q gilt. … und nun? Wähle n derart, dass n > log10 n + p + q gilt.