Didaktik der Algebra (3) Zahlen aus algebraischer Sicht

Quelle: Vollrath, H.J. (1994).Algebra in der Sekundarstufe. Mannheim: BI.

Vom Zählen, zum Messen, zum Rechnen, zum Lösen von Gleichungen, Zahlen und Zählen Zahlen findet man überall auf der Welt, in allen Kulturen. Sie entsprechen offensichtlich grundlegenden Bedürfnissen des Menschen. Die Weiterführung der natürlichen Zahlen und der Regeln für den Umgang mit ihnen ist auf die immer anspruchsvolleren Anwendungen zurück zu führen: Vom Zählen, zum Messen, zum Rechnen, zum Lösen von Gleichungen, zur Beschreibung von funktionalen Zusammenhängen, ...

Zahlbereichserweiterungen Natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen, komplexe Zahlen, ... Im 19. Jahrhundert wurde mit einer axiomatischen Begründung der (reellen) Zahlen begonnen. Man betrachtete die algebraische Struktur, die Ordnungsstruktur, die topologische Struktur und ihre Beziehungen zueinander.

Der Algebraunterricht kann einen wesentlichen Beitrag zum Verständnis der Zahlen leisten, wenn er die Regeln des Rechnens und die Zusammenhänge zwischen diesen Regeln deutlich macht. Dabei ist es notwendig die algebraische Struktur der Zahlenbereiche hervorzuheben und den Beziehungsreichtum innerhalb dieser Struktur deutlich zu machen.

Mathebaum 1. Mathematik für Grundschulen. Hannover: Schroedel, S. 66.

Das „(Verständnis-)Problem“ bei der isomorphen Einbettung Bei der Zahlbereichserweiterung werden „neue“ Zahlen aus „alten“ konstruiert. In einem gewissen Sinne umfasst der konstruierte Zahlbereich dabei den Ausgangsbereich. In einem anderen Sinne umfasst der konstruierte Zahlbereich den Ausgangsbereich nicht. Dieser feine Unterschied kann in der Schule kaum deutlich gemacht werden. Dennoch ist er Ursache für bestimmte Fehlertypen.

Axiomatische vs. konstruktivistische Begründung der Zahlen Grundsatzfrage in der Mathematik: Reicht es mathematische Objekte durch Axiome zu charakterisieren oder muss man die Objekte auch konstruieren? Konsequenz für die Schule: Sollen die Schülerinnen und Schüler die Zahlen entdecken oder erfinden?

Gab es die Mathematik schon immer oder wurde sie durch den Menschen gemacht ? Mit Zahlen und den dazugehörenden Regeln lassen sich Teile der Wirklichkeit beschreiben (Natur- und Sozialwissenschaften, Technik usw.). Ist dies so, weil die Wirklichkeit so ist ? Oder haben sich die Menschen die Mathematik gerade so ausgedacht, dass es passt ? Für die Schule ist von Bedeutung, dass die Schülerinnen und Schüler nicht nur passiv sondern auch aktiv mit Mathematik umgehen und sich kritisch mit der Angemes-senheit von mathematischen Modellen auseinandersetzen.

Die Behandlung der Natürlichen Zahlen IN in den Klassen 5 und 6

Die Behandlung der natürlichen Zahlen in Klasse 5 und 6 verfolgt zwei grundsätzliche Ziele: die Reflexion der Kenntnisse aus der Grundschule, insbesondere im Hinblick auf die algebraische Struktur und die Ordnungsstruktur, die Vertiefung dieser Kenntnisse durch die Betrachtung von Teilerrelationen, Primzahlen usw. als Vorbereitung auf die Bruchrechnung.

Die Behandlung der natürlichen Zahlen mit den Grundrechenarten und Ordnungsrelationen dient dazu, die Kenntnisse aus der Primarstufe von einem höheren Standpunkt aus zu vertiefen. Verständnis und Beherrschung des Umgangs mit natürlichen Zahlen ist eine notwendige Voraussetzung für die Erschließung der weiteren Zahlbereiche sowie allgemein der Beschäftigung mit der Algebra in der Sekundarstufe.

Folgende Inhalte sind für die Betrachtung der natürlichen Zahlen vom höheren Standpunkt aus von Bedeutung: Darstellungsformen der natürlichen Zahlen (Ziffern, Stellenwertsystem, Zahlenstrahl ...), Rechnen mit natürlichen Zahlen und Ordnungsrelationen (Rechengesetze, Schätzen, Runden, < ...), Teilbarkeitslehre (ggT, kgV, Primzahlen, Primfaktorzerlegung, Teilbarkeitsregeln ...).

Am Ende der Jahrgangsstufe 5 sollen die Schüler über folgendes Grundwissen verfügen: • Rechentechniken in den vier Grundrechenarten • Rechengesetze auf der Grundlage eines gefestigten Zahlenverständnisses im Zahlenbereich IN0 • Termwerte im Zahlenbereich der natürlichen Zahlen berechnen • Lösungsmengen einfacher Gleichungen sowie Ungleichungen im Zahlenbereich der natürlichen Zahlen bestimmen • sicheres Rechnen mit gängigen Größen und Maßeinheiten • einfache Sachaufgaben lösen • die grundlegenden geometrischen Figuren; Bestimmung von Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken • Volumen und Oberfläche von Würfel und Quader • sicherer und sorgfältiger Umgang mit dem Zeichenwerkzeug • Teilbarkeitsregeln anwenden; größter gemeinsamer Teiler (ggT) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) (Lehrplan Realschule)

Bei den Darstellungsformen von natürlichen Zahlen geht es um die Unterscheidung von Zahlen und ihre Namen/Bezeichnungen. Da das Dezimalsystem z.T. schon in der Grundschule behandelt wird, dient dieser Abschnitt als Wiederholung bzw. Reflexion: Dezimalsystem, Darstellung ohne Stellenwertsystem (z. B. römische Ziffern), anderes Stellenwertsystem (z. B. Dualsystem).

Die Betrachtung der Ordnungsrelationen „<“ und „>“ für N ergibt u. a. die Unendlichkeit der Menge der natürlichen Zahlen. Die Behandlung von Zahlenfolgen verallgemeinert das Prinzip Vorgänger/Nachfolger. Der Zahlenstrahl dient zur Veranschaulichung der natürlichen Zahlen sowie der Ordnungsrelationen. Weitere Darstellungsformen wie Säulendiagramme sowie das Runden von Zahlen vertiefen das Verständnis der Anordnung der natürlichen Zahlen. Durch das Dezimalsystem können große Zahlen mit Hilfe der Potenzschreibweise dargestellt werden.

aus: Neues Mathematisches Arbeitsbuch 5, Diesterweg, 1989.

Das Addieren und Subtrahieren von natürlichen Zahlen wird im Anschluss an die Behandlung der Darstellungsformen gemacht. Multiplikation und Division in N je nach Lehrplan/Schulbuch ebenfalls sofort oder nach einer Unterbrechung durch eine Geometrieeinheit. Die vier Grundrechenarten sind aus der Grundschule bekannt und werden nicht noch einmal neu eingeführt oder auf andere Art begründet.

Addition und Subtraktion werden zunächst nacheinander behandelt und dann in Beziehung zueinander gesetzt: Darstellung der Rechenoperation am Zahlenstrahl, Einführung der Fachbegriffe Summand, Summe bzw. Minuend, Subtrahend, Differenz, die Subtraktion ist Umkehroperation zur Addition, die Null spielt bei Addition und Subtraktion eine besondere Rolle.

Im Zuge der weiteren Behandlung von Addition und Subtraktion in N verschiebt sich der Fokus weg von den Zahlen hin auf die Eigenschaften der Verknüpfungen: Es wird von links nach rechts gerechnet, soll dies nicht passieren, so sind Klammern zu setzen. Die Behandlung von Klammerausdrücken ist für den späteren Algebraunterricht von großer Bedeutung.

Speziell für die Addition in N werden weitere Gesetze behandelt Speziell für die Addition in N werden weitere Gesetze behandelt. Den Schülerinnen und Schülern muss dabei deutlich werden, welche Vorteile diese Gesetze bieten: Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz), Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz). Beide Gesetze sollten in Worten formuliert und anhand von Beispielen verdeutlicht werden. In der Regel bietet sich zusätzlich auch eine abstrakte Formulierung mit Variablen an. Es sollte erwähnt werden, dass diese Gesetze nicht für die Subtraktion gelten.

Schnittpunkt 5, Klett 1992

Multiplikation und Division werden ähnlich wie Addition und Subtraktion behandelt. Diese Operationen werden aus der Grundschule übernommen und nicht neu begründet. Die Multiplikation wird auf die Addition zurückgeführt, es werden die Fachbegriffe Faktor, Produkt bzw. Dividend, Divisor, Quotient eingeführt, die Division ist Umkehroperation zur Multiplikation, die Eins (und auch die Null) spielt bei Multiplikation und Division eine besondere Rolle.

Wie bei der Addition wird für die Multiplikation das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz), Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) behandelt. Beide Gesetze werden in Worten formuliert und anhand von Beispielen verdeutlicht. In der Regel bietet sich zusätzlich auch eine abstrakte Formulierung mit Variablen an. Es sollte erwähnt werden, dass diese Gesetze nicht für die Division gelten.

Mathebaum 2. Mathematik für Grundschulen. Hannover: Schroedel, S. 93.

Schließlich wird die Beziehung von Addition und Subtraktion zu Multiplikation und Division behandelt. Dabei sind von Bedeutung: Punktrechnung vor Strichrechnung, Klammerausdrücke werden immer zuerst berechnet, Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) für Addition und Multiplikation. Auch hier werden die Regeln in Worten formuliert und an Beispielen geübt. Wichtig ist die Vorteile dieser Regeln aufzuzeigen.

Für alle vier Verknüpfungen sollen die Schüler die schriftlichen Rechenverfahren beherrschen und mit den auftretenden Begriffen umgehen können. Im Rahmen der Multiplikation und Division besteht die Möglichkeit zusätzlich Potenzen zu behandeln. Potenzieren wird als wiederholte Multiplikation gleicher Faktoren eingeführt. Notwendige Begriffe sind Potenz, Grundzahl (Basis) und Hochzahl (Exponent).

Teilbarkeitslehre Die Teilbarkeitslehre wird als eigenständige Einheit in der 5. Klasse behandelt. Es geht um die Teilbarkeitsrelation, Teiler, Teilermengen, ggT und kgV, Primzahlen, Primfaktorzerlegung, Teilbarkeitsregeln.

Lehrplan Klasse 5 (Realschule) Die Schüler entdecken Teilbarkeitsregeln und lernen die Primfaktorzerlegung kennen und anzuwenden. Sie vertiefen dabei ihre Einsicht in den Aufbau der natürlichen Zahlen und verschaffen sich die Grundlage für das Rechnen mit Brüchen in der nächsten Jahrgangsstufe. (Aus der Geschichte: Eratosthenes, L. Euler) Teiler und Teilermengen Teilbarkeit durch 2, 5, 10, 25, 100; Teilbarkeit durch 4, 8, 3, 9, 6 größter gemeinsamer Teiler (ggT); kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Primfaktorzerlegung

Die Teilbarkeitsrelation bietet neben der Ordnungsrelation eine weitere Strukturierung der natürlichen Zahlen. Implizit lernen die Schülerinnen, dass die Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, auch wenn diese Begriffe nicht vorkommen. Damit wird eine weitere Grundlage für den Relationsbegriff gelegt. Grundvoraussetzung für die Teilbarkeitslehre ist die Beherrschung der Grundrechenarten.

Zunächst werden die Begriffe Teiler, Teilermenge und Vielfaches, Vielfachenmenge eingeführt. Beziehungen (Relationen) zwischen den Elementen der Teilermenge (Vielfachenmenge) werden durch Pfeildiagramme dargestellt. Einzelne Aussagen werden explizit formuliert, z. B. „Sind in einer Summe alle Summanden durch eine Zahl teilbar, so ist auch die Summe durch diese Zahl teilbar.“

Teilbarkeitsregeln 5436= 5000+400+30+6 Die Summenregel ermöglicht die Herleitung von Teilbarkeitsregeln (im Dezimalsystem). Die Endstellenregel (Teilbarkeit durch 2, 5, 10, 4, 25) wird dabei beispielgebunden eingeführt, z. B. 5436= 5000+400+30+6 Da alle Summanden durch 2 teilbar sind ist 5436 durch 2 teilbar (analog 5, 10, 4, 25). Es folgt, dass für 2, 5, 10 nur die letzte Ziffer und für 4 und 25 die letzten beiden Ziffern relevant sind.

258= 200+50+8 = (3·66+2) + (3·15+5) + 8 = 3·(66+15)+(2+5+8) = 3·81+15 Die Quersummenregel, d. h. die Teilbarkeit durch 3 und 9 wird ebenfalls beispielgebunden eingeführt. Eine Herleitung in der 6. Klassen hat sich als wenig effektiv herausgestellt. Dennoch kann man die Quersummenregel am Beispiel plausibel machen (oder entdecken lassen): 258= 200+50+8 = (3·66+2) + (3·15+5) + 8 = 3·(66+15)+(2+5+8) = 3·81+15

Bei der Betrachtung von Teilermengen (Vielfachenmengen) verschiedener Zahlen ergibt sich die Frage nach gemeinsamen Teilern (Vielfachen). Die Schnittmengen von Teilermengen können z. B. in Form von Venn-Diagramm dargestellt werden. Bei Vielfachenmengen ergibt sich hier das Problem der graphischen Darstellung von unendlichen Mengen.

ggT und kgV Die Schnittmenge von Teilermengen (Vielfachenmengen) verschiedener Zahlen ist nicht leer, da immer Eins (das Produkt der Zahlen) enthalten ist. Die „interessanten“ Elemente sind hier der größte gemeinsame Teiler (ggT) bzw. das kleinste gemeinsame Vielfach (kgV). Die Bestimmung von ggT und kgV sind wichtige Vorübungen für die Bruchrechnung!

Primzahlen Bei der Betrachtung von Teilermengen von natürlichen Zahlen tauchen die Primzahlen als besondere Zahlen auf. Primzahlen haben genau zwei Teiler: die Zahl 1 und die Primzahl selber. Die Zahl 1 ist keine Primzahl. Als Verfahren zur Bestimmung von Primzahlen kann z. B. das „Sieb des Eratosthenes“ behandelt werden.

Schnittpunkt 6, Klett 1992, S. 19

Primfaktorzerlegung (PFZ) Zur Herleitung der PFZ werden Zahlen so weit wie möglich in Faktoren zerlegt, z. B. 72 = 2·36 = 2·2·18 = 2 ·2 ·2 ·9 = 2 ·2 ·2 ·3 ·3 Es wird festgehalten, dass dies immer geht und dass die Zerlegung eindeutig ist. Statt eines formalen Beweises können die Schülerinnen und Schüler einige Zahlen auf unterschied-lichen „Wegen“ bis zur PFZ zerlegen.

Die PFZ zeigt, dass die Primzahlen die kleinsten „Einheiten“ sind, aus denen die natürlichen Zahlen mit der Multiplikation erzeugt werden können (multiplikative Bausteine von N). Die PFZ ermöglicht leicht die Bestimmung von Teilermengen bzw. von ggT und kgV zweier Zahlen.

Ziele der Behandlung der natürlichen Zahlen in den Klassen 5 und 6 sind die Reflexion der Kenntnisse aus der Grundschule, insbesondere im Hinblick auf die algebraische Struktur und die Ordnungsstruktur, die Vertiefung dieser Kenntnisse durch die Betrachtung von Teilerrelationen, Primzahlen usw. Am Ende der zugehörigen Unterrichtssequenzen sollten die Kenntnisse der Schüler über die natürlichen Zahlen und die Beherrschung der Grundrechenarten so weit fortgeschritten sein, dass die Voraussetzungen für die Bruchrechnung gegeben sind.