TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 18. April 2006 Robert Klanner Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006

TSS SS06: Teilchenphysik II2 ÜBERBLICK 1.Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen 2.Feynman-Regeln und –Diagramme 2.1 Axiomatische Einführung der Regeln der QED 2.2 Ableitung der Regeln (1) 2.3 Das Matrix-Element der e – -Streuung 2.4 Ableitung der Regeln (2) 2.5 Fermis Goldene Regel und Wirkungsquerschnitte 2.6 Kinematik der 2 2-Streuung (Mandelstam-Variablen) 2.7 Wirkungsquerschnitt der 2 2-Streuung a+b c+d 2.8 Berechnung des Matrix-Elements 2.9 Crossing und wichtige QED-Prozesse 2.10 PETRA und das JADE-Experiment 2.11 Helizität und Chiralität 2.12 d-Funktionen

TSS SS06: Teilchenphysik II3 Feynman entwickelte eine bildhafte Sprache zur Beschreibung von Teilchenreaktionen (hier nur QED, also Photonen, Leptonen): – Vertizes: Umwandlung von Teilchen, Teilchenzahländerung: – äußere Linien: (Anti)Fermionen, Photonen – innere Linien (Propagatoren): z.B. in Zuordnung: – einlaufende Fermionen: – auslaufende Fermionen: – einlaufende Antifermionen: – auslaufende Antifermionen: – Photon-Absorption/Emission: (Polarisationsvektor, Coulomb-Eichung 0 =0) 2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED – innere Photonen mit Impuls q : (Propagator) – innere Spin-1/2-Teilchen, Impuls p, Masse m – Vertex mit Ladung Qe: (+ -Funktion zur Energieerhaltung) – Schleifen: Integration über mögliche Impulse: Ableitung des Matrixelements / des Wirkungs- querschnitts des Prozesses durch (geschicktes) Multiplizieren der Beiträge. ??? qq p q-p

TSS SS06: Teilchenphysik II4 Aus diesem Grunde spricht man von der Strom-Strom-Wechselwirkung (es fehlt noch eine -Funktion für die globale Energie-Impuls-Erhaltung)! 2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED Zeit e–e– e–e– – – Die Feynman-Diagramme stellen Glieder einer Stöungsreihe in der Kopplung e dar: Dabei treten reelle (Abstrahlung von Teilchen im Anfangs- oder Endzustand) und virtuelle (Schleifen-)Korrekturen auf.

TSS SS06: Teilchenphysik II5 2.2 ABLEITUNG DER REGELN Wir betrachten ein Elektron im elektromagnetischen Feld A: Die Dirac-Gleichung erhält einen Potentialterm: Diese Gleichung löst man mithilfe einer Greens- Funktion K(x-x) mit dem Ansatz (E-Dynamik!): Falls man K(x-x) gefunden hat, dann gilt: Problem: Dies ist eine Integralgleichung für Lösung muss iterativ erfolgen durch Entwicklung nach Potenzen von e. Aufgaben: – Finden von K(x-x) – Iterative Lösung obiger Gleichung – Interpretation von K(x-x) Generell: Zu einer Lösung einer inhomogenen Gleichung kann man immer eine Lösung der homogenen Gleichung hinzuaddieren! Jetzt Störungsrechnung – zweiter Term rechts wird als kleine Störung behandelt! 0. Näherung: 1.Näherung: 2.Näherung:

TSS SS06: Teilchenphysik II6 2.2 ABLEITUNG DER REGELN (1) Weiter durch Berechnung der Fourier- Transformierten von K(x-x): Einsetzen in … … ergibt: Mit kleiner Rechnung (Übung) zeigt man: Das ist aber der Propagator des Elektrons! K beschreibt nur virtuelle Teilchen, da p 2 -m 2 0 sein muss! Einsetzen des Ergebnisses in die Fourier- Transformation ergibt (länglich): Auf analoge Weise kann man sich aus der inhomogenen Wellengleichung des Viererpotentials eines geladenen Teilchens mit dem Strom J … … und einer Greens-Funktion … … den Propagator des Photons verschaffen: Warum heisst K(x-x) Propagator? K(x-x) bewirkt die zeitliche Veränderung eines freien Dirac-Spinors von x nach x (der Beweis ist ziemlich lang):

TSS SS06: Teilchenphysik II7 2.3 MATRIXELEMENT DER e – -STREUUNG Nun Beschreibung von Teilchenreaktionen (Streuprozessen). Kollimierter e – -Strahl, der an Potential A gestreut wird: Von der Streuwelle streu wird nur Anteil mit p f gemessen Entwickle streu nach ebenen Wellen und projiziere f (p f ) heraus: streu wird entwickelt: z.B. Die Wahrscheinlichkeit für den Übergang f (das Matrixelement) ist dann gegeben durch (QM!): Einsetzen des Ausdrucks erster Ordnung … … denn (siehe vorher): K(x 2 -x) extrapoliert die am Detektor gemessene Funktion f (x 2 ) in das Target bei x zurück. Dieses Wissen benutzen wir jetzt, um den Ansatz für die Beschreibung des Matrixelements auf der Folie vorher zu rechtfertigen. Streuung Potential Detektor, d Einlaufende ebene Welle Streuwelle

TSS SS06: Teilchenphysik II8 2.4 ABLEITUNG DER REGELN (2) Was aber ist z.B. in ep ep das Potential A? Rückgriff auf Berechnung des -Propagators (nicht explizit gezeigt) mit und mit folgt nach einiger Rechnung: Damit ist also die axiomatische Einführung der Feynman-Regeln gerechtfertigt! Hier die ausführliche Rechnung:

TSS SS06: Teilchenphysik II9 2.5 FERMIS GOLDENE REGEL UND WIRKUNGSQUERSCHNITTE Problem: Wirkungsquerschnitt divergiert! Ursache ist die Annahme von ebenen Wellen und nicht von Wellenpaketen. Wie kann man dieses Problem lösen? Problem tritt auf, weil Zeit-Integration über unendliches Intervall! Also: Integriere nur von (–T/2) bis (+T/2)! Dann hat WQS großes Maximum bei E f =E i – aber Unschärfe erlaubt kleine Abweichungen! Man definiert die Übergangswahrscheinlichkeit der Reaktion: Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit: Der Wirkungsquerschnitt wird definiert als: mit der Stromdichte der einlaufenden Teilchen j ein. Die Einheit des WQS ist m 2, die von j ein s -1 m -2.