Galilei-Transformation 2. Relativitätstheorie 2.1. Spezielle Relativitätstheorie 2.1.1. Grundlagen, Michelson-Morley-Experiment Newton: Es gibt einen absolut ruhenden Raum  Weltäther Es gibt eine absolute (universelle) Zeit Gleichförmig im Weltäther bewegte Systeme  Inertialsysteme Bewegungsgleichung in Inertialsystemen: Wechsel des Inertialsystems: Galilei-Transformation

Lorentz-Transformation Einstein: Es gibt keinen Weltäther und keine absolute Zeit Physikalische Gesetze sind in allen Inertialsystemen identisch (Äquivalenzpostulat) Die Vakuumlichtgeschwindigkeit c8 m s ist eine Naturkonstante, unabhängig vom Inertialsystem und unabhängig von der Geschwindigkeit der Lichtquelle Wechsel des Inertialsystems: Lorentz-Transformation Spezialfall:

Test der Ätherhypothese: Das Michelson-Morley-Experiment Laser Wellenlänge  Spiegel M2 M1 M0 Fernrohr / Detektor M0: halbdurchlässiger Spiegel L Drehbares Interferometer Relativgeschwindigkeit zum ruhenden Äther Originalapparatur: Leff m Interferenz-Streifen Vorhersage (Newton): Interferenzstreifen verschieben sich bei Drehung Vorhersage (Einstein): Interferenzstreifen unabhängig von Orientierung

Äthersystem: c M0 M1 Laborsystem: c  v c  v M0 M1 Spiegel M2 L M1 M0 Laser Wellenlänge  Spiegel M2 M1 M0 Fernrohr / Detektor L Äthersystem: c M0 M1 Laborsystem: c  v c  v M0 M1

Laufstrecke M0  M2  M0 im Äthersystem: Laborsystem: M0 M2 Laser Wellenlänge  Spiegel M2 M1 M0 Fernrohr / Detektor L Äthersystem: M0 M2 L Laufstrecke M0  M2  M0 im Äthersystem:

Laufzeitdifferenz der interferierenden Strahlen: Laser Wellenlänge  Spiegel M2 M1 M0 Fernrohr / Detektor L Laufzeitdifferenz der interferierenden Strahlen: Taylorentwicklung:

 ! Interferenzstreifen Optischer Gangunterschied: (in ,,Streifennummern”) Verschiebung der Streifen bei Drehung um 90: Streifen Zahlen für Originalapparatur (Beobachtung über ein volles Jahr):  ! Beobachtung negativ  Ende der Ätherhypothese

! ! Rettungsversuch 1: Mitführungshypothese ( Stokes, 1845 )  Äther wird von Erde und Atmosphäre mitgerissen  Test: Fizeau-Experiment Laser Fernrohr / Detektor Spiegel D halbdurchlässiger Spiegel schnell rotierendes Zahnrad L vR Drehzahländerung: dunkel, hell, dunkel, hell  Laserstrahl in strömenden Gasen / Flüssigkeiten  Äther nicht mitgerissen ! !  Ende der Ätherhypothese

Rettungsversuch 2: Kontraktionshypothese (Lorentz-Fitzgerald) (verzweifelt)  Alle Körper, die sich relativ zum Äther bewegen, werden in Bewegungsrichtung kontrahiert  möglich aber höchst unnatürlich und unelegant (verglichen mit Äquivalenzhypothese) Ätsch Paradigmenwechsel: akzeptiere die Äquivalenzhypothese und die daraus folgende spezielle Relativitätstheorie ersinne möglichst sensitive experimentelle Tests dieser Theorie Moderne Präzisionsexperimente vom Michelson-Typ: Arbeitsgruppe Prof. Peters, HU

2.1.2. Längenkontraktion und Zeitdilatation Gangunterschied bewegter Uhren: ruht in  Zeitdilatation: ruht in  Bewegte Uhren laufen langsamer ! Längenänderung bewegter Maßstäbe: z1 z2 Längenkontraktion: Bewegte Maßstäbe sind kürzer !

Test 1: Zerfallszeiten / Zerfallsstrecken von Myonen • ruhende Teilchen Stochastische Zerfallsrate: Definition: heißt Lebensdauer Beispiel: kosmische Myonen ( ,  ) Szintillatoren Koinzidenz  Trigger Veto  e Photomultiplier t t t ln N Geraden-Fit  Steigung  Messresultat: mittlere Lebenserwartung des Myons in seinem Ruhesystem

Entstehung kosmischer Myonen: Wechselwirkung kosmischer Strahlen (Protonen…) in der Atmosphäre h  km Problem (für Prof. Newton): Einsteins Triumpf aus Sicht des Myons: Längenkontraktion  und aus Sicht des Beobachters: Zeitdilatation

Messung mit Silizium-Streifen- oder Pixel-Detektoren Test 2: Elementarteilchen in Detektoren LHC Large Hadron Collider CERN (Genf) Messung der Zerfallslängen ,,langlebiger Teilchen” Beispiel: LHC am CERN p Beauty-Meson B0 Zerfall Ep7 TeV z. B. Messung mit Silizium-Streifen- oder Pixel-Detektoren

Einfahren des Silizium-Streifendetektors in den ATLAS-Spurdetektor Photo: CERN Photo: CERN Einfahren des Silizium-Streifendetektors in den ATLAS-Spurdetektor Montage des ATLAS Pixel-Detektors

Einfahren des Kalorimeters in den ATLAS-Myondetektor Photo: CERN Einfahren des Kalorimeters in den ATLAS-Myondetektor

Test 3: Das Concorde-Experiment und das Zwillingsparadoxon Verzögerung einer Atomuhr an Bord einer Concorde während einer Erdumrundung: Qualitative Bestätigung der Zeitdilatation Quantitative Bestätigung nur nach Korrek- tur auf Effekte der allgemeinen Relativitäts- theorie (Beschleunigung des Flugzeugs, Potentialdifferenz gemäß Flughöhe)  Auflösung des ,,Zwillingsparadoxons” A B  Zwilling A: B bewegt sich schnell  altert langsamer (Zeitdilatation) Zwilling B: A bewegt sich schnell  altert langsamer (Zeitdilatation) Paradoxon Lösung: B beschleunigt  kein Inertialsystem  Sichtweise von A ist korrekt

Relativ-Geschwindigkeit 2.1.3. Der Dopplereffekt ,,Schalläther” Schallwellen: Schallgeschw. im Medium (Luft, Festkörper,) cS v Q (  ) B T Quelle bewegt Q  cS Beobachter bewegt Lichtwellen: Nur Relativgeschw. relevant  Situationen äquivalent  c Relativ-Geschwindigkeit    

Präzisionstest an Ionenspeicherringen mit Strahlkühlung: TestSpeicherRing am Max-Planck-Institut für Kernphysik in Heidelberg



514 nm 585 nm

Resonanzbedingung: Argon-Laser: Dye-Laser: Zahlen: Messung an ruhenden Li-Ionen: 0  546 466 918,79 (40) MHz Stabilisierte Ar-Laser-Frequenz: p  582 490 603,38 (16) MHz Gemessene Dye-Laser-Resonanzfrq.: aexp  512 671 442,91 (52) MHz Vorhersage der Relativitätstheorie: aSR  512 671 443,24 (77) MHz Exp. Auflösung:

2.1.4. Äquivalenz von Masse und Energie Bisher: Lorentz-kovariante Formulierung der Kinematik Nun: Lorentz-kovariante Formulierung der Dynamik Bewegungsgleichung: relativistischer Impuls:  Ruhemasse: Relativistische Masse: Kinetische Energie: Relativistische Energie: Ruheenergie:  Energie-Impuls-Beziehung: Nützliche Merkformel mit ,,c  1”: Nützliche Beziehungen:

Lorentz-Transformation Analogie: Eigenzeit Lorentz-invariant Folgerung: und sind Vierervektoren (vgl. Theorie-VL), d.h. sie transformieren identisch unter Lorentztransformationen. Lorentz-Transformation Spezialfall:

Beispiel: Zerfall von hochenergetischen Elementarteilchen in Detektoren Messung im Detektor: mA Zerfall A  B  C mB mC : Detektorsystem Ziel der Messung: Zerfallswinkelverteilung = ?  zu messen:  Lorentztransformation: mA : Ruhesystem von A Flugrichtung im Detektor 

Exp. Test: Speicherringe Beispiel: LEP (CERN) Umfang: 27 km e-Energie: 100 GeV e-Ruheenergie: 511 keV Gemessene Umlaufzeit: 90 s Newtons Erwartung: v  630 c Ablenkfeld: Ätsch Newtons: m(v)  me Einsteins: m(v)   me  2·105 me LHC-Tunnel

  e e me PET Experimenteller Test: Materie-Antimaterie-Vernichtung  direkte Beobachtung der Umwandlung von Ruhemasse in Strahlungsenergie anorganischer Szintillatorkristall, z.B. Na J Photomultiplier Verstärker Analog-Digital-Wandler ( ADC ) Spezialfall: Zerstrahlung von Positronium in Ruhe  e e Medizinische Anwendung: Positron-Emissions-Tomographie PET

Extrembeispiel: ,,Computer! Earl Grey Tee!Heiß!” Experimenteller Test: Erzeugung von Masse aus Energie e me (ruhend) me Umwandlung kinetischer Energie in Ruhemasse (ruhend) e BABAR-Experiment, SLAC, U.S.A. BELLE-Experiment, KEK, Japan  e me e Umwandlung von Strahlungs- energie in Ruhemasse Extrembeispiel: ,,Computer! Earl Grey Tee!Heiß!”

Anwendung: Kernspaltung und Kernfusion Definition: Die Energie, die benötigt wird, um alle Protonen und Neutronen unendlich weit voneinander zu trennen, heißt Bindungsenergie EB des Atomkerns. Massendefekt Bindungsenergie pro Nukleon (  Proton oder Neutron ) Kernmassenzahl H Fe U Umwandlung Masse  Energie durch Spaltung von Kernen Kernkraftwerke  Atombomben  Umwandlung Masse  Energie durch Kernverschmelzung Sonnenenergie  Wasserstoffbomben 

  2.1.5. Interstellare Raumfahrt z z Relativgeschwindigkeit: Momentanbeschleunigung: z Menschliche Besatzung  Flug mit konstanter Beschleunigung a = g Ziel: Andromeda-Galaxie ( Abstand 6 Lichtjahre ) Bei a  g sind allgemein relativistische Effekte vernachlässigbar klein Näherung: Bewegung  unendliche Folge infinitesimaler Stücke gleichförmiger Bewegung in momentanen Inertialsystemen

(Zahlen ohne Einheiten) Resultate: (  Tafelrechnung ) Abkürzungen: (Zahlen ohne Einheiten) 1 T Z 1 1 T  1 T T Erde:  Voyager:  ( ) Jahre 15 t ln g a c 2 = ¢ »

2.2. Allgemeine Relativitätstheorie ( ART ) 2.2.1. Grundlagen M(t) Newtons Gravitationstheorie muss unvollständig sein: Fernwirkungstheorie  unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Gravitationsfeldes  Kausalitätsverletzung träge Masse  schwere Masse Warum?  lokal sind Trägheitskräfte und Gravitationskräfte ununterscheidbar

Äquivalenzprinzip ( Einstein ) Alle Bezugssysteme sind gleichberechtigt. Ein beschleunig-tes Bezugssystem ist lokal ununterscheidbar von einem Inertialsystem in einem entsprechenden ( homogenen ) Gravitationsfeld. Konsequenz: relativistische Theorie der Gravitation  Allgemeine Relativitätstheorie (ART) Massen verkrümmen das Raum-Zeit-Kontinuum ( Euklidsche Geometrie  Riemannsche Geometrie ) Massen bewegen sich auf Geodäten ( lokal kürzeste Wege )

 Doppler-Rotverschiebung 2.2.2. Gravitations-Rotverschiebung Experiment 1: ruhende Lichtquelle Detektor Masse m ruhend t  0 ruhende Lichtquelle t  t h c t Frequenzmessung im Detektor ( Dopplereffekt ):  Doppler-Rotverschiebung

 Gravitations-Rotverschiebung Äquivalenzprinzip  gleicher Ausgang bei GGravitationspotential Gg h ruhende Lichtquelle frei fallend Detektor Masse m fest montiert Erde Lichtquelle frei fallend Erde  Experiment 2:  Gravitations-Rotverschiebung

Atomuhr-Verzögerung im Concorde-Experiment Experimentelle Tests der Gravitations-Rotverschiebung: Pound, Rebka (1959); Pound, Snider (1965): 57Co-Quelle  14,4 keV -Strahlung Absorption in 22,5 m Höhe in Mößbauer-Spektrometer (Physik 4) Erwartung:  mit 1 Genauigkeit bestätigt Rotverschiebung der Absorptions-Spektrallinien von Sternen Frequenzverschiebung beim Saturn-Vorbeiflug von Voyager I (1980) Folgerung: Ruhende Uhren in großer Höhe laufen schneller als am Erdboden Tests: Atomuhr-Verzögerung im Concorde-Experiment Atomuhr auf dem Monte-Rosa-Plateau

ungestörte, geschlossene Kepler-Bahn 2.2.3. Perihelwanderung, Radar-Zeitverzögerung Zeitverzerrung durch G  Störung der Kepler-Gesetze  Perihelwanderung Merkur Sonne Merkur Sonne Perihel Perihel-Wanderung ungestörte, geschlossene Kepler-Bahn gestörte Bahn Bahnstörung durch die anderen Planeten  532 / Jahrhundert Beobachtete Exzess-Störung: ( 43,110,45 ) / Jahrhundert Vorhersage ( Allgemeine Relativitätstheorie ): 43,03 / Jahrhundert

Radar-Echos: Direkte Messung der Zeitverzerrung nahe der Sonne Raum-Zeit-Verzerrung  Sonne, M Erde Venus b Radarsignal Messung der Zeitverzögerung ( Prinzip ) Zufalls-Signal Frequenz-Generator Sender Verzö-gerung Empfänger Mischer Lock-In-Rück-kopplung Signal  Max.! Bestätigung der Theorie auf 2 ‰

2.2.4. Lichtablenkung, Gravitationslinsen Licht von Stern Sonne, M Erde scheinbare Position des Sterns  b Lichtablenkung am Rand der Sonne Sonnenrand: b m  Bestätigung durch Beobachtung während totaler Sonnenfinsternis Erde Gravitationslinsen Quasar Hohe Materieansammlung in direkter Sichtrichtung Mehrfachbilder oder Bögen

J. Surdej et al., Nature, London 329 (1987) 695. 1987: Entdeckung der Quasare UM 673 A und UM 673 B unter  mit identischen Spektren und identischer Rotverschiebung ( Abstand ) J. Surdej et al., Nature, London 329 (1987) 695.

Beispiele für Gravitationslinsen:

2.2.5. Gyroskop-Präzession E  P Riesiger Effekt in Umgebung schnell rotierender schwarzer Löcher ( ,,Kerr-Löcher” ) E  P Umfangreiches experimentelles Programm kräftefreies Gyroskop Erde Statisches Erdfeld Krümmung durch Erdrotationsenergie ( ,,Mitziehen von Inertialsystemen”, Lense-Thirring-Effekt )

(größte Kernbindungsenergie) 2.2.6. Neutronensterne und Schwarze Löcher Sonnen-Brennphasen, abhängig von Masse M der Sonne: (Unsere Sonne: M⊙) für M ≳ 20 M⊙ Ende unserer Sonne Ende der Fusionskette (größte Kernbindungsenergie) Endzustand 1: Weißer Zwerg Gleichgewicht: pout  pin pin  Gravitationsdruck pout  Fermidruck der Elektronen (  Pauliverbot ) Stabilitätsgrenze (Chandrasekhar-Grenze) M  1,46 M⊙

Gravitationsenergie  Supernova-Explosion Endzustand 2: Neutronenstern / Pulsar M  1,46 M⊙  Gravitationskollaps  Neutronisation Gravitationsenergie  Supernova-Explosion SN Gleichgewicht: pout  pin pin  Gravitationsdruck pout  Fermidruck der Neutronenflüssigkeit (  Pauliverbot ) Stabilitätsgrenze (Oppenheimer-Volkow-Grenze) M  3,2 M⊙

Krebs-Supernova Jahr 1054 d = 2 kpc optisch 1 Lichtjahr Synchrotronstrahlung

Krebs-Supernova Jahr 1054 d = 2 kpc Röntgenbild 1 Lichtjahr optisch 1 Lichtjahr

M  3,2 M⊙  Gravitationskollaps  Singularität: Endzustand 3: Schwarzes Loch  Raum-Zeit-Singularität Vorhersage der ART M  3,2 M⊙  Gravitationskollaps  Singularität: Artist’s View Schwarzschild-Radius rS Fluchtgeschwindigkeit einer Masse m: kritischer Wert: v  c  Schwarzschild-Radius Folgerung: Nichts kann den Schwarzschildradius von innen passieren. Auch Lichtstrahlen werden zurückgekrümmt, bzw. werden am Schwarzschild-Radius unendlich rotverschoben, d.h. verlieren die gesamte Energie.

Schwarzes Loch mit Akkretionsscheibe Evidenz 1: Röntgenbinäre Artist’s View Röntgenstrahlen Riesenstern Schwarzes Loch mit Akkretionsscheibe Beispiel: Cygnus X-1 (2 kpc entfernt) Riesenstern: HDE226868 (blauer Riese) Schwarzes Loch: M  10 M⊙ Umlaufperiode: 5,6 Tage (aus Doppler- verschiebung der Spektrallinien) Evidenz 2: Aktive galaktische Kerne Schwarze Löcher mit M  M⊙ gespeist aus Gravitationsenergie einer Akkretionsscheibe aus Staub und Gas gewaltige Massen/Energie-Ausstöße entlang relativistischer Jets

Das Galaktische Zentrum Sagittarius A: Schwarzes Loch M  M⊙ 200 Lichtjahre Radiobild

Das Galaktische Zentrum Infrarotbilder

2.2.7. Gravitationswellen elektromagnetische Felder breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus Maxwell-Theorie Elektromagnetische Wellen Gravitationsfelder breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus Gravitationswellen (Raum-Zeit-Verzerrungswellen) EinsteinsART Erhoffte ,,Punkt”-Quelle eines detektierbaren Signals: Erschütterung des Raum-Zeit-Kontinuums durch SN-Gravitationskollaps etc. Direkte Suchen: Verstimmung tiefgekühlter Resonatoren (,,Gravitationswellen-Antennen”) Riesen-Michelson-Interferometer

GEO600 Hannover LIGO Hanford, WA LISA Weltraum Cascina bei Pisa

Indirekte Beobachtung: Pulsar-Doppelsternsystem PSR 1913  (Nobelpreis 1993 an R. Hulse und J. Taylor) M  M⊙ B  108 T 80 s Doppler-Modulation der Radio-Puls-Periode von 59 ms in 7,75 h Zyklus Neutronen-Stern normaler Stern m  M⊙ Radio-Pulsar, T  59 ms  Umlaufzeit   h R  R⊙ Periastron Apastron Entdeckung (15 Jahre Beobachtungszeit): Abnahme der Rotationsgeschwindigkeit ART  Energieverlust durch Abstrahlung von Gravitationswellen

Orbitalphase: Phasenschub:

2.2.8. Kosmologie, dunkle Materie und dunkle Energie Der Weltraum  unendliche Weiten  ca. 1011 Galaxien mit je ca. 1011 Sonnen stark anisotrope Strukturen Skala 10 Mpc: Galaxien-Haufen Skala 100 Mpc: Galaxien-Superhaufen  Bänder, Wände, leere Blasen sehr isotrop auf Skalen ≳ 1 Gpc Robertson-Walker-Modell Weltall  homogene, isotrope, ideale Flüssigkeit Einsteinschen Feldgleichung  Robertson-Walker-Metrik, Expansionsdynamik

Relativer Skalenparameter [109 Jahre] Jetzt 10 10 20 1 2 3 Relativer Skalenparameter k  k 0 k 1 Was bedeutet R  ? Skalenparameter: R( t )  Krümmungsradius Krümmung: k    geschlossenes Universum k  0  flaches Universum k    offenes Universum

Gesamtstrahlungs-Leistung aus d Der Urknall (Big Bang): Das Universum entstand vor 13,7109 Jahren (Unsicherheit 1% ) aus einem Zustand unendlicher Dichte und Temperatur ( einer Quantenfluktuation?) und expandiert seither. Die heutige ( t0 ) Expansionsrate beträgt Evidenz 1: Warum ist der Nachthimmel dunkel und kalt? Olbers Paradoxon Annahme: Universum unendlich und homogen mit Sonnen gefüllt Gesamtstrahlungs-Leistung aus d Sonnendichte Strahlungsleistung pro Sonne

Fluchtgeschwindigkeit im Abstand R Evidenz 2: ( Hubblesche Rotverschiebung ) Ferne Galaxien bewegen sich von uns weg (scheinbarer Dopplereffekt  Rotverschiebung von Spektrallinien). Die Rotverschiebung ist proportional zum Abstand. Rotverschiebung Fluchtgeschwindigkeit im Abstand R Kosmologisch korrekter Grund: Expansion des Raums  Streckung der Wellenlänge des Lichts während der Laufzeit auf dem Weg von der Galaxie zu uns

Evidenz 3 (Kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung): Das Weltall ist ein perfekter Schwarzkörperstrahler 379 000 Jahre nach dem Big Bang wurde das Weltall transparent für Licht: T  3000 K Expansion des Weltalls  Abkühlung der Strahlung Strahlungstemperatur heute: T 2,725  0,001 K Strahlung isotrop auf 105 Penzias und Wilson Nobelpreis 1978

Ist unser Weltall offen oder geschlossen? kritische Dichte des Universums Expansionsdynamik    geschlossenes Universum   flaches Universum   offenes Universum Definition: Expansion  Jede Abweichung von  verstärkt sich exponentiell leuchtende Materie  103  einzig natürliche Erklärung ist  Inflationstheorie: 10351030 s nach dem Urknall expandierte das Universum (z.B. durch einen Phasenübergang der elementaren Kraftfelder) um 40 bis 50 Größenordnungen  , Isotropie der Mikrowellenhintergrundstrahlung & Massenverteilung

  0,04 Wo ist der Rest ??? Inflation  Die große Addition: Sterne Gaswolken Interstellarer Staub Braune Zwergsterne Neutrinos ⋮   0,04 Wo ist der Rest ???

Galaxien-Rotationskurven Dunkle Materie: Supersymmetrische Teilchen (Neutralinos) ? Galaxien-Rotationskurven v(r) r Galaxiemasse M  Erklärung: Halo von Dunkler Materie umgibt die Galaxie  M( r )r. D.M. liefert ≳ 99% der Masse!

Standardkerzen: Supernovae Typ Ia Dunkle Energie: Einstein war doch kein Esel!! (Einsteins größte Eselei) Einstein-Gleichungen mit kosmologischer Konstante   zusätzlicher Expansionsdruck des Universums (Dunkle Energie) Evidenz 1: Entfernte Standardkerzen  Abweichungen vom Hubble-Gesetz Standardkerzen: Supernovae Typ Ia Rotverschiebung z Magnitude mB  log R Evidenz 2: Korrelationsmuster winziger Anisotropien der kosmischen Hinter-grundstrahlung erlaubt Präzisions-messung kosmologischer Parameter  ex. Dunkle Materie & Dunkle Energie WMAP

Das neue Weltbild des 21. Jahrhunderts [109 Jahre] Jetzt 10 10 1 2 3 Relativer Skalenparameter k  k 0 k 1 beschleunigte Expansion Das Weltall ist offen. Die Expansion war bisher durch die Massen-Gravitation gebremst. Wir befinden uns im Übergang zu einer beschleunigten Expansion wegen der Dunklen Energie Ätsch M = 4% gewöhnliche Materie im Weltall, davon 99 % Plasmen DM = 23% (kalte) Dunkle Materie, neue Elementarteilchen ?  = 73% Dunkle Energie im Weltall, Natur völlig unbekannt