Bildrekonstruktion DIETER SCHOTT als Studentenprojekt Bremen, Oktober 2005

TRADITION Gottlob Frege *1848 Wismar Logiker Mathematiker Professor in Jena Begründer der modernen Logik Aristoteles II. Ich komme jetzt zum inhaltlichen Teil meiner Einführung in die allgemeinen Dinge der abstrakten Sachen, die uns immerzu ganz intensiv beschäftigen. Usw. usf. †1925 Bad Kleinen Bremen, Oktober 2005

Mathematiklehre - Dilemma Wissensexplosion – Stofffülle Innovation – neue Hilfsmittel große Streuung der Eingangskenntnisse begrenzter Stundenumfang begrenztes Lehrpersonal Geldmangel - Imageproblem Bremen, Oktober 2005

Mathematiklehre - Anspruch modern (Kenntnisstand, Hilfsmittel, Methoden) wissenschaftlich (Theorie, Hochschule) anwendungsorientiert (Praxis, Wirtschaft) motivierend (Anwendungen, Interesse, Spannung) international (Globalisierung, Austausch, Kooperation) Bremen, Oktober 2005

Mathematiklehre - Struktur Eingangs- prüfung Zusatzangebote Praxisprobleme Literatur- Quellen Internetkurse Fachliteratur Grundlagen allg. Prinzipien und Denkweisen Projekte interdisziplinär kooperativ angewandt Kerncurriculum Kritikfähigkeit kleine Auswahl aktueller Gebiete Modellieren Werkzeuge Hilfsmittel Computer Software Selbststudium Problemlösen Bremen, Oktober 2005

Mathematisches Modell Praxis-Problem Modell Modellkorrekturen Mathematisches Modell Algebra Analysis Numerische Methoden Anwendung in der Praxis INFORMATIK Expertensystem Fehler-Analyse Fallstudien Experimente Wechsel der Verfahren Interpretation Computer Software Grafik Verifikation mathematische Lösung Lösung Verifikation Bremen, Oktober 2005

Interdisziplinäre Vernetzung Mathematik – Lösungsmethoden Physik – naturwissenschaftliche Modelle Informatik – Software, Grafik Technik – Apparate, Geräte Design – Gestaltung, Aussehen, Funktion Wirtschaft – Ökonomie, Vermarktung Bremen, Oktober 2005

Projekte - Funktionen Praxisrelevanz Interdisziplinarität Modellierung Kooperation, Kreativität, Konkurrenz Computer, Software, Programmierung Präsentation (Text, Vortrag, Verteidigung) Selbststudium (Quellen) Bremen, Oktober 2005

Projekte - Beispiele Bildrekonstruktion (CT) Schwingungen (Pendel) Ökologische Modelle (Räuber-Beute) Strategische Spiele Graphenalgorithmen (Kürzeste Wege, Rundreisen) Fraktale Geometrie Bremen, Oktober 2005

Computermathematik Computeralgebra, Numerik, Grafik Softwarekenntnisse (MATLAB) Standardfunktionen (Expertensystem) Programmierung (Funktionen, Oberflächen) grafische Schnittstelle (Nutzerinteraktion) Experimente, Simulationen (Strategie) anspruchsvolle Beispiele aus der Praxis Bremen, Oktober 2005

Computertomographie - Modell Strahl geometrisch (Geraden, Streifen, Zylinder, Kegel) Strahlenergie (monoenergetisch, Spektrum) Objektstruktur – Schwächungsverteilung – Funktion Objekt 3D – parallele Objektschnitte 2D Bremen, Oktober 2005

Computertomographie - Modell Schwächung Objektschnitt mit Strahl Physikalisches Gesetz L: Gerade : Objekt Q: Quadrat f: Dichte I: Intensität L I0 Q  f(x,y) Mathematisches Modell I RADON - Integralgleichung Bremen, Oktober 2005

Calculating projections s perpendicular distance from origin to line L(, s)  angle of the normal of the line L(, s) Bremen, Oktober 2005

Calculating projections Rotate the x-y axis by angle  Bremen, Oktober 2005

Bildrekonstruktion - ein interdisziplinäres Problem Wissenschaftstheorie (Abstraktion, Modell, Simulation) Physik (Röntgen-Strahlung und ihre Schwächung) Mathematik (Radonsche Integralgleichung) Analysis, Numerik, Wissenschaftliches Rechnen Informatik (Implementierung der Algorithmen) Komplexität, Algorithmen, Datenstrukturen, Programme Ingenieurwissenschaften (Computertomograph) Medizin (Diagnostik, Bilddarstellung, Strahlenbelastung) Wirtschaft (Aufwand und Nutzen) Bremen, Oktober 2005

Diskretisierung der Integralgleichung Strahlennetz m = p q Geraden Li mit Daten gi := g(Li) Pixelraster Q Quadrat Q mit n = k2 Pixeln Qj Wert - Farbe f1 Q1 Wert - Farbe fj Qj Funktion f konstant über Qj: f | Qj=: fj Li aij Schnittlänge von Li in Qj, oft aij=0 Bremen, Oktober 2005

Numerisches Modell: Lineares Gleichungssystem Diskretisierung, Approximation Bremen, Oktober 2005

Lineares Gleichungssystem (LGS) Pseudoinverse Regularisierung Defekt- Min. Fehler!!! Kleinste-Quadrate-Lösungen mod. LGS LGS Lösungen eine Lösung viele Lösungen keine Lösung Verfahren Computer- Lösung Größe allgemeine Lösung (Struktur, Parameter) spezielle Lösung (Zusatzbedingungen) Geometrische Bedeutung Verfälschung von Werten und Struktur Bremen, Oktober 2005

Lösungskonzept A f = g LGS mit A = ( aij ) vom Format (m,n) m Messdaten, n Pixel m < n : LGS unterbestimmt (mehr Pixel) m > n : LGS überbestimmt (weniger Pixel) A f = g schwach besetzt und i. Allg. nicht lösbar spezielle Speichertechniken verallgemeinerte Lösungen (KQL, Pseudoinverse) Vor-Bedingung: f >= 0 (koordinatenweise) Regularisierung: (AT A +  E) f = AT g (Parameter  > 0 klein) Bremen, Oktober 2005

Lösungsverfahren: spezielle Iteration Projektion auf Hyperebenen (KACZMARZ 1937) H1 Spezialfall m=n=2 H2 Auswahlstrategie der Hyperebenen: zyklisch, größter Abstand,... Bremen, Oktober 2005

Lösungsverfahren: Modifikationen Algebraic reconstruction technique (ART): HERMAN 1970 Unter-Relaxation Kleinste-Quadrate-Lösungen Konvergenz- Beschleunigung H Parameter-Optimierung Regularisierung Über-Relaxation A-priori-Information: Null-Setzen der negativen Koordinaten Bremen, Oktober 2005

Methodologie Rekonstruktionsproblem Fehler Physikalische Gesetze Messdaten math. Modell Radonsche Integralgleichung Approximation Diskretisierung Untersuchungen Experimente Lineares Gleichungssystem Lösungskonzept Kleinste Quadrate Regularisierung Lösungsverfahren Gauss, Konj. Grad., ART Interpretation Verifikation Implementierung Computer Software Berechnung einer Lösung Programmierung Bremen, Oktober 2005

Lineares Gleichungssystem Teilprogramme Phantom- Modell Messgeometrie Messdaten Funktion Skelett Matrixgenerator Datengenerator Matrix Vektor 2D Lineares Gleichungssystem Grafik 3D Lösungsverfahren Interpolation Funktion Vektor Skelett Bremen, Oktober 2005

Bedienoberfläche - Wand Bremen, Oktober 2005

Bedienoberfläche - Dose Cylindric rise Bremen, Oktober 2005

Bedienoberfläche - Maus Bremen, Oktober 2005

Objekt Kopfschnitt Bremen, Oktober 2005

Objekt Autobild Bremen, Oktober 2005

Untersuchungen - Experimente Strahlen L - Strahlenmodell, Strahlennetz Approximation von f - Raum für Lösungen Strahlennetz - Lösungsbasis (Relation) Bestimmung von A (Effizienz, Fehler) Berechnung von g (Pseudo-Messdaten) Lösungsverfahren A f = g (PSH, BART, Opt.) Q-Erweiterung von f, Grafik, Effekte Gütemaß Original – Rekonstruktion Bedienoberfläche Objekte 2D - 3D (Funktion, Bild, stetig-diskret) Bremen, Oktober 2005

Strahlennetze Parallel beams Fan beams Bremen, Oktober 2005

Strahlen als Streifen Bremen, Oktober 2005

Struktur von Strahlennetzen p = 32 q= 32 m = 1024 Bremen, Oktober 2005

Besetztheit von B = A‘A Bremen, Oktober 2005

die Herausforderungen! Dieter Schott Mit diesem Buch meistern Sie die Herausforderungen! Auf Ihre Zukunft! Ich komme jetzt zum inhaltlichen Teil meiner Einführung in die Kosten- und Leistungsrechnung. Da Ihnen die entsprechenden Begriffe aus der Kostenrechnung in der Zukunft sicher gelegentlich über den Weg laufen werden, versuche ich jetzt gar nicht erst, Umschreibungen für sie zu finden. Stattdessen werde ich mich bemühen, einige von ihnen zu erläutern. Die Kameralistik und das kaufmännische Rechnungswesen – zu dem die Kosten- und Leistungsrechnung gehört - haben sich in völlig unterschiedlichen Milieus und mit völlig unterschiedlichen Zielsetzungen entwickelt. Über ihre Vor- und Nachteile zu sprechen, ist etwa so, als wenn man sagt, dass ein Kanarienvogel besser singen kann als ein Fisch, während der Fisch im Tauchen besser ist als der Kanarienvogel. Deswegen würde aber niemand auf die Idee kommen, den Fisch in den Gesangsunterricht zu schicken, damit er nun auch das Singen lernt. Die Kameralistik entstammt dem Öffentlichen Bereich, der seine Leistungen nicht gegen Entgelt abgibt, sondern aus Steuern und Kreditaufnahme finanziert. Öffentliche Aufgaben haben keinen Preis und sie werden nicht erbracht, um damit ein Geschäft zu machen. Das trifft ja auch auf die biologische Grundlagenforschung zu. Das Ergebnis der öffentlichen Tätigkeit sind z.B. „Öffentliche Ordnung“, „günstige Wachstumsbedingungen für die Ökonomie“, äußere Sicherheit usw. Das kaufmännische Rechnungswesen stammt demgegenüber aus dem sehr prosaischen Milieu des Geschäftslebens. Hier soll aus Geld noch mehr Geld machen gemacht werden: Gewinne von privaten Unternehmen. Die Überprüfung, ob die Firma am Ende des Jahres mehr Geld hat, als am Anfang in sie hineingesteckt wurde, zielt auf eine bloß quantitative Veränderung. Bei den Öffentlichen Aufgaben funktioniert dies allerdings nicht so ohne weiteres: Was reingestreckt wird, ist Geld, was rauskommt, ist Bildung, Wissen, innere und äußere Sicherheit – also lauter Sachen, die in Geld nicht gemessen werden können. Die Leute, die die Kameralistik entwickelten, haben sehr gut verstanden , dass der öffentliche Bereich von der Aufgabenstellung und von den Ergebnissen, die er erzeugt, gänzlich von der Privatwirtschaft abweicht: Es geht nicht um das Ermitteln der Größe des Gewinns, sondern es geht darum, einen im voraus begründeten – und vom Parlament genehmigten - Ausgabenplan auf die Einhaltung zu überwachen. ISBN 3-446-22043-7 ISSN Bremen, Oktober 2005

Doppelspitze Rekonstruktion Bremen, Oktober 2005

Wellen mit Spitze Rekonstruktion Bremen, Oktober 2005