3.2.06 Georg Lilitakis Katja Schmidt Modellbilden 3.2.06 Georg Lilitakis Katja Schmidt

Gliederung Definition Modellbilden Sachrechnen Deskriptive und normative Modelle Modellkreislauf Ziele Kalender Sonne, Erde, Mond Mathematische Teil (Modellbilden Beispiel)

Definition Modellbilden Reale Situation mit Hilfe mathematischer Modelle beschreiben und damit zur Problemlösung zu gelangen „Etwas Bekanntes benutzen um etwas Unbekanntes zu beschreiben“ (Wollring)

Deskriptive und normative Modelle Deskriptive Modelle Normative Modelle - Gegenstandsbereiche (Realwelt) in best. Zügen und auf verschiedene Weisen nachahmen - Nachahmung kann physisch, bildlich oder sprachlich-symbolisch sein - gewonnene Daten und Schlussfolgerungen sollten auf den Realbereich zurückgespiegelt werden können und sich dort als zutreffend erweisen - daher sollen sie zu Einsichten führen, die man ohne Modellbildung nie hätte gewinnen können (explodierende Funktion von Modellen) - Paradebsp.: Globus als Modell der Erde - dienen als Muster, Vorbild, als Norm für die Realisierung von Gegenständen oder Handlungen - Beurteilung: sie sollen praktikabel sein und sich möglichst freiwilliger Akzeptanz erfreuen - Paradebsp.: Schnittmuster (Schreinerei), Baupläne (Architektur)

Unterschied: Deskriptive Modelle beschreiben die Wirklichkeit und normative Modelle nehmen Einfluss auf die Wirklichkeit.

Wichtig: Dabei müssen zwischen Modell und Wirklichkeit möglichst weitgehend Analogien bestehen. Die erarbeiteten Konsequenzen müssen schließlich mit der Realität verglichen werden. Diese Überprüfung kann zu einer Modifikation oder auch zur Notwendigkeit eines neuen Ansatzes führen. Die Interpretation der Problemlösung im Modell führt zu Aussagen über die Lösung des realen Problems.

Wege Um die Lösung zu finden geht man einen ganz bestimmten Weg, den man MODELLIEREN nennt. Den gegenteiligen Prozess nennt man VERANSCHAULICHEN

Modellkreislauf

Beachten Beim Modellierungsprozess werden neben mathematischen Kenntnissen und Fertigkeiten auch interpretierende und wertende Fähigkeiten im Zusammenspiel von Mathematik und Wirklichkeit verlangt. Es geht also nicht ausschließlich um das Bearbeiten von innermathematischen Aufgaben, sondern um die Auseinandersetzung mit Problemen der Lebenswelt, die sich mit Hilfe von Mathematik behandeln lassen.

Alltäglich Modellbildungsprozesse sind im Alltag allgegenwärtig. Grundlegendes Beispiel ist der Abstraktionsprozess vom gegenständlichen Zählen zum symbolischen Zählen. 2 Stühle + 3 Stühle = 5 Stühle (gegenständlich) 2 + 3 = 5 (symbolisch)

Ziele von Modellbildung: Erschließung der konkreten uns umgebenden Welt Erschließung der Mathematik

Kurze Pause

Modellbildungskreislauf am Beispiel des Kalenders

Kalender werden von drei Naturereignissen bestimmt: Erdumdrehung (die Erde dreht sich um sich selbst) Mondumlauf (Umlauf des Mondes um die Erde) Erdumlauf (Umlauf der Erde um die Sonne)

Sonne, Erde und Mond Die Erde Mittlerer Abstand zur Sonne 149.597.893 km (=1 AE) Umlaufzeit um die Sonne: 365,242196759 Tage Rotationsdauer um die eigene Achse 1,0 Tag Der Mond Mittlerer Abstand zur Erde 384.405 km  Umlaufzeit um die Erde siderisch 27,32166 Tage synodisch 29,53059 Tage Rotationsdauer 27,32166 Tage Nach einem siderischen Monat (27,32 d) nimmt der Mond wieder die gleiche Stellung zu den Fixsternen ein (von der Erde aus beobachtet). Nach einem synodischen Monat (29,53 d; Periode der Mondphasen) erreicht der Mond wieder die gleiche Stellung zur Sonne (von der Erde aus beobachtet), d.h. z.B. von Vollmond zu Vollmond.

Welche Bewegungen sind für die Zeitmessung relevant? Drehung der Erde um sich selbst

Erdumlaufbahn Sonnenumlauf: 365,242196759 Tage (tropisches Jahr)

Was wollen wir überhaupt ausrechnen? Unterschied zwischen dem tropischen Jahr zu dem Kalenderjahr Rest von 0,242196759 Tagen Als Bruch 242196796 1000000000 Zahl der Tage, die wir in 1000000000 Jahren mehr brauchen, um den Überschuss zu erhalten.

Reale Situation 1 Jahr = 365,242196759 Tage Problem: wahrer Sonnentag nicht immer gleich lang (Realität) Längster Tag: 23.Dezember Kürzester Tag: 16.September Unterschied: 51 Sekunden

Mathematisches Modell Wir rechnen mit einem durchschnittlichen Sonnentag Annahme: alle Tage sind gleich lang Mathematisch suchen wir eine möglichst gute Näherung an den Rest 242196796 1000000000

Mathematische Lösung In 1.000.000.000 Jahren haben wir 242196759 Schaltjahre (mit 366 Tagen) und 757803241 normale Jahre (mit 365 Tagen)

Abgleich mit dem realen Modell Problem: Verteilungsregel ist schwierig Erdumlaufzeit (Jahr) schwankt innerhalb 1.000.000.000 erheblich Modell passt nicht!!!

Mathematisch neuer Ansatz Ziel: Suche nach einer Näherung an 0,242196759 Dieser Bruch sollte: Möglichst genau sein Und einen möglichst kleinen Nenner haben

Mathematische Lösung Wir suchen Näherungsbrüche an 0,242196759 Diese erhalten wir durch: Euklidischen Algorithmus Kettenbrüche Und aus den Kettenbrüchen die Näherungsbrüche

Euklidischer Algorithmus 242 196 759 = 0 ∙ 1 000 000 000 + 242 196 759 1 000 000 000 = 4 ∙ 242 196 759 + 31 212 964 242 196 759 = 7 ∙ 31 212 964 + 23 706 011 31 212 964 = 1 ∙ 23 706 011 + 7 506 953 23 706 011 = 3 ∙ 7 506 953 + 1 185 152 7 506 953 = 6 ∙ 1 185 152 + 396 041 1 185 152 = 2 ∙ 396 041 + 393 070 396 041 = 1 ∙ 393 070 + 2 971 393 070 = 132 ∙ 2 971 + 898 2 971 = 3 ∙ 898 + 277 898 = 3 ∙ 277 + 67 277 = 4 ∙ 67 + 9 67 = 7 ∙ 9 + 4 9 = 2 ∙ 4 + 1 4 = 4 ∙ 1 + 0

Kettenbrüche Zur Erinnerung: Kettenbrüche entwickeln sich wie folgt:

Kettenbruch Ein Kettenbruch funktioniert: weil man durch einen Bruch dividiert, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Kettenbrüche liefern sehr schnell und sehr genaue Näherungen an einen Dezimalbruch. Der folgende Kettenbruch entspricht Kurz: (0, 4, 7, 1, 3, 6, 2, 1, 132, 3, 3, 4, 7, 2, 4)

Näherungsbrüche? Die Näherungsbrüche lauten:

Überlegung Näherungsbrüche ergeben so keine „schöne“ Verteilung der Schaltjahre

Beispiel Verteilung von 194 Schaltjahre auf 801 Jahre 800 Jahre unser Kalender 802 würde eine neue Periode beginnen Periode würde mit Jahr 1 beginnen Dann wäre 805 das erste Schaltjahr Kritik?

Keine Schaltjahre mehr im gewohnten Rhythmus (Teilbarkeit durch 4) Mathematische Idee: Wir suchen Brüche, die dem Überschuss 0,242196759 möglichst nah kommen. Dazu multipliziert man den Nenner mit dem Überschuss und bestimmt die dem Produkt am nächsten liegende ganze Zahl.

Schalttage pro Periode Abweichung in Tagen pro 1000 Jahre Rang Periode in Jahren Produkt von Jahresüberschuss und Periodenlänge Schalttage pro Periode Abweichung in Tagen pro 1000 Jahre 1 Tag Abweichung nach … Jahren 1 801 193,99960396 194 0,000494433 2022518 2 929 225,00078911 225 0,00084942 1177274 …   25 900 217,97708310 218 0,025463222 39272 26 450 108,98854155 109 197 1000 242,19675900 242 0,196759 5082 198 500 121,09837950 121 243 33 7,99249305 8 0,227483424 4396 307 800 193,75740720 0,303241 3298 308 400 96,87870360 97 705 29 7,02370601 7 0,817448655 1223 976 4 0,96878704 7,803241 128 998 3 0,72659028 91,13657433 11 999 0,48439352 242,196759 0,24219676

Seminaraufgaben Überlegt Euch eine Verteilung für 900 Jahre mit 218 Schaltjahren 500 Jahre mit 121 Schaltjahren 33 Jahre mit 8 Schaltjahren

Vielen Dank für Eure Zeit