Der Simplexalgorithmus

Typische Aufgabenstellung: In einem Betrieb werden aus drei Grundstoffen G1 ( zur Verfügung stehen 45 t) G2 ( zur Verfügung stehen 11 t) G3 ( zur Verfügung stehen 27 t) die beiden Produkte P1 und P2 hergestellt. Für eine Einheit P1 benötigt man: 3t von G1, 1t von G2 und 3t von G3 . Für eine Einheit P2 benötigt man: 5t von G1, 1t von G2 und 1t von G3 . Der Nettogewinn pro produzierter Einheit P1 : 4 Euro pro produzierter Einheit P2 : 3 Euro. Durch einen Produktionsplan ist der Nettogewinn zu maximieren!

Mathematisches Modell x1 : Anzahl der herzustellenden Einheit P1 x2 : Anzahl der herzustellenden Einheit P2 Zielfunktion:   f(x1, x2) = 4 x1 + 3 x2 = max oder ( f(x1, x2) =  4 x1  3 x2 = min) Nebenbedingungen: 3x1 + 5x2  45 1x1 + 1 x2  11 3x1 + 1x2  27   x1 , x2  0

Wie findet man den maximalen Nettogewinn? Zielfunktion: f(x1, x2) = 4x1 + 3 x2 = max Nebenbedingungen: 3x1 + 5 x2  45 II) x1 + x2  11 III) 3x1 + x2  27 x2 x1

Zielfunktion: f(x1, x2) = 4x1 + 3 x2 = Gewinn (= maximieren!) g: 4x1 + 3 x2 = C (konst.)  x2 = - 4/3 x1 + C/3 Die punktierten Geraden entsprechen einem konstanter Gewinn C. „Gewinn maximieren“ : Gerade g soweit wie möglich vom Ursprung weg nach außen verschieben. Die Lösung ist also immer ein Eckpunkt. Hier: P(8/3), also C = 41

Ergebnis: Die Zielfunktion nimmt ihren optimalen Wert in (mindestens) einer der Ecken des konvexen Polyeders an !

Erfinder: George B. Dantzig Geb. : 8. Nov 1914 Portland, Oregon, USA arbeitete als Zivilist im Pentagon; war mathematischer Berater für den obersten Rechnungsprüfer der us-amerikanischen Air Force. suchte 1947 nach einer Lösungsmethode

Zulässiges Gebiet bildet ein Polytop (Simplex) Das Optimum befindet sich an einer Ecke ! ZF hat an (fast) jeder Ecke einen anderen Wert wähle eine Ecke, wandere an den Kanten entlang zum nächsten Eckpunkt und verbessere den ZF-Wert!

Beispiel 1 NB (in Normalform):  3x1 + 5x2 + x3 = 4 x1 + x2 + x4 = 11 3x1 + x2 + x5 = 27 x1 , x2, x3 , x4 , x5  0 ZF : f(x1, x2) = 4 x1 + 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 = max  

Was kann man über die Ecken aussagen ? NB (in Normalform):  3x1 + 5x2 + x3 = 4 x1 + x2 + x4 = 11 3x1 + x2 + x5 = 27 x1 , x2, x3 , x4 , x5  0 ZF : f(x1, x2) = 4 x1 + 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 = max Es ist n = 5 (Variablenzahl), m = 3 (Anzahl der Gleichungen) wenn man nun  n – m = 2 Variablen gleich Null setzt, dann erhält man ein anderes LGS mit m Variablen und m Gleichungen. Eine Lösung eines solchen LGS heißt Basislösung und die Variablen, die nicht Null sind bilden eine Basis.  Ecken haben 2 Nullkomponenten und eine Basislösung.

Erste Ecke bzw. erste Lösung des LGS NB (in Normalform):  3x1 + 5x2 + x3 = 4 x1 + x2 + x4 = 11 3x1 + x2 + x5 = 27 x1 , x2, x3 , x4 , x5  0 ZF : f(x1, x2, x3, x4, x5) = 4 x1 + 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 = max Erste Ecke (sofort ersichtlich): x1 = ( 0, 0, 4, 11, 27) f(x1) = 0 ; entspricht im x1 / x2 - Koordinatensystem der Ursprungsecke.  Wandern nun in x1 - Richtung, da in diese Richtung die Zielfunktion am meisten wächst (Koeffizient in der Zielfunktion ist am größten).

Tafelanschrieb

Aufstellen der Simplextableaus NB: 3x1 + 5x2 + x3 = 4 x1 + x2 + x4 = 11 3x1 + x2 + x5 = 27 ZF : f(x1, x2, x3, x4, x5) = 4 x1 + 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 = max f(x1, x2, x3, x4, x5) = – 4 x1 – 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 = max 3 5 1 45 11 27 -4 -3 0 = f (x1)

3 5 1 45 11 27 -4 -3 0 = f (x1) 3 5 1 45 11 27 -4 -3 0 = f (x1)

3 5 1 45 11 27 -4 -3 0 = f (x1) 4 1 -1/3 18 2/3 2 1/3 9 -5/3 4/3 36 = f (x1)

4 1 -1 18 2/3 -1/3 2 1/3 9 -5/3 4/3 36 = f (x1) 4 1 -1 18 2/3 -1/3 2 1/3 9 -5/3 4/3 36 = f (x1)

4 1 -1 18 2/3 -1/3 2 1/3 9 -5/3 4/3 36 = f (x1) 1 -6 6 3/2 -1/2 3 2/3 8 5/2 1/2 41 = f (x1)