Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004 29.4. Einführung, Modelle, Modellklassen 6.5. Zustandsmodelle, Rekursion 13.5. Beispiel Phyllotaxis, Definition von Ökosystemen 27.5. Definition von Ökosystemen 3.6. Populations- und Individuenbasierte Modelle (FK) 17.6. Individuenbasierte Modelle 24.6. Modelle der Hydrologie, zelluläre Automaten 1.7. Fallbeispiel Gårdsjön: Parameteridentifikation 8.7. Modelle zur Gewässerversauerung 15.7. Flussnetzwerke, Modelle in der Geomorphologie 22.7. Besprechung der Übungsaufgaben (FK) 1-2 weitere Termine: Besprechung der Übungsaufgaben (FK)

Modellierung (nach Robert Rosen) Simulation Natural System ENCODING DECODING Formal System INFERENCE CAUSALITY 1 2 4 3 Newton: Dynamik Naturgesetze Simulation ist in diesem Sinne (Sie werden später noch einen weiteren kennenlernen) eine schwächere Form der Modellierung. Die enge Beziehung zwischen dem formalen und dem natürlichen System wird aufgeweicht, in dem man z.B. mit einer numerischen Näherungslösung für das formale System arbeitet. In der Hydrologie (z.B. wenn sei eine Lösung für die Richardsgleichung unter realistischen Rand- und Anfangsbedingungen suchen) existieren in der Regel keine analytischen Lösungen. Man muss dann sich für einige Punkte in Raum und Zeit (Diskretisierung) entscheiden für die man Eine Näherungslösung berechnen möchte. Anschließend muss man beachten, diese Lösung nicht „über zu interpretieren“ (z.B. daraus das Verhalten aus weiteren Raum oder Zeitpunkte aus der Lösung zu interpolieren). Mit anderen Worten: für die Simulation wird die Forderung der naturgesetzlichen Verbindung zwischen dem formalen und dem natürlichen System aufgegeben bzw. aufgeweicht. „Aufgegeben“ bedeutet: es wird nur noch das beobachtete Verhalten (z.B. gemessener Abfluss) imitiert (simuliert) ohne, dass die Struktur des Modells noch dem wirklichen System zu entsprechen versucht (Beispiel: Neuronale Netze). „Aufgeweicht“ wäre das Beispiel im Falle mit einer numerischen Lösung anstelle einer exakten des analytischen Gesetzes. Die zustätzliche Schwierigkeit in der Hydrologie ist dabei allerdings, dass der Status der Naturgesetze selbst (z.B. Darcy Gesetz oder Richards Gleichung) umstritten bleibt, solange keinen echten „überraschenden“ Vorhersagen damit gelingen. Dafür gibt es dann wieder jede Menge unterschiedlicher Erklärungen (System zu komplex, Parameter nicht genau genug zu bestimmen).

Zustandsysteme Kontinuierliche Zustandssysteme (Dynamische Systeme) z.B. logistisches oder exp. (kont.) Wachstum Diskrete Zustände (Diskrete dynamische Systeme), z.B.: z.B. logistisches diskretes Wachstum (Chaos) Endliche Automaten (Zeit und Zustände sind diskret) Zelluläre Automaten ( “ ) heute: Einführung einer räumlichen Abhängigkeit der Dynamik

Kurze Einführung in dynamische Systeme Untersucht wird das typische Langzeitverhalten (unabhängig von den Details der Anfangsbedingungen) Nicht einzelne Trajektorien, sondern topologische Eigenschaften von Trajektorienensembles werden untersucht Stabilitätsanalyse liefert mögliches Verhalten: - instabil/explodierend ("runaway solutions") - Fixpunkt - periodisches Verhalten - Grenzzyklus - Kompakte Mengen: Attraktoren Dies ist eine Einführung in dynamische Systeme mit periodischem Verhalten .

Zustände eines dynamischen Systems Was ist ein Zustand (eines dynamischen Systems)? Der Zustand eines dynamischen Systems zu einem Zeitpunkt wird durch Angabe einer Menge von Zustandsgrößen als Vektor beschrieben: Die Menge der Zustandsgrößen sind genau die, deren Werte man alle kennen muss, um das Verhalten des Systems in der nahen Zukunft vorhersagen zu können. (?) Der Zustandsbegriff sieht harmloser aus als er ist. Die Identifikation des Zustandsvektors ist der entscheidende Schritt bei der Modellbildung und oft ein sehr langsamer Prozess. Die Lieblings-Systeme der Einzelwissenschaften sind oft mehr Zufallsprodukte. Erinnern an die Rekursion und das Taylor Theorem. Von den potentiell unendlich vielen Größen, die in die Berechnung des nächsten Wertes eingehen (zu einem beliebigen anderen Zeitpunkt) werden aber nur wenige aktuell tatsächlich benötigt. (wie viele das ist dann der Inhalt eines Naturgesetzes) In der Ökologie können wir bisher die Beobachtungen nur gut beschreiben (simulieren), daraus folgt keine neue Vorhersagekompetenz (das ist der Test auf Verständnis). Aus der einfachen Beschreibung folgt kein Nachweis eines Verständnisses: Das ist der entscheidende Punkt, der in der Ökologie anders ist als in der Physik (die Erklärung des Unterschieds ist offen und wird sich hier immer wieder um die Frage: „Interaktiv oder komplex?“ drehen. Zustandsvektoren sind nicht eindeutig. Die Zustandsvektoren spannen den Zustandsraum auf; die Dimension n des Zustandsraums zu finden ist i.a. sehr schwierig. (Ist n z.B. unendlich?)

Wdh.: Kontinuierliche dynamische Systeme Def.: Ein dynamisches System ist ein Paar (f , X), wobei f eine n-dimensionale Abbildung, X eine n-dimensionale Menge ist. Es gilt (Bewegungsgleichung) ist der Zustand des Systems, X der Zustandsraum, In der 2. Stunde schon mal dagewesen Hängt nicht explizit von der Zeit ab, heisst das System autonom: durch Vorgabe eines Anfangswertes liegt die Entwicklung fest

Diskrete dynamische Systeme, Attraktoren, Einbettung Autonomes dynamisches System im Zustandsraum: Die Menge der asymptotischen Trajektorien ist der Attraktor des Systems (Dimension D) Takens Theorem: Beobachtung einer Zustandsvariablen und Bildung von Einbettungsvektoren liefert eine treue Abbildung des Attraktors, falls

Phasenraumverhalten des Lotka-Volterra-Systems Invariante: Wdh.: Lotka Volterra war in der vierten Stunde dran

Beispiel: der Lorenz-Attraktor In der letzten Stunde wurde das Chaos im (bekanntesten) diskreten Fall behandelt, hier im (bekanntesten) kontnuierlichen Fall Der Attraktor bleibt für unendlich lange Zeiten in einem endlichen Volumen und wiederholt sich dort niemals (die Trajektorien schneiden sich in keinem Punkt). Wenn zwei Trajektorien in einem deterministischen System (wie diesem hier) auch nur einen Punkt gemeinsam haben, dann sind sie in allen Punkten identisch. Es ist anschaulich klar, dass das kontinuierliche dynamische System mindestens drei Variablen benötigen, um diese Bedingungen zu erfüllen (eine Trajektorien-Linie füllt Volumen, ohne dass Schnittpunkte mit sich selbst auftreten). Der Zustandsraum ist daher in dieser Figur 3-dimensional Die disktreten dynamischen Systeme können dagegen schon bei einer Variablen chaotisches Verhalten zeigen (letzte Stunde: diskretes logistisches Wachstum).

Quantifizierung von Chaos: der kontinuierliche Fall Man betrachtet -Kugeln um einen Punkt zum Zeitpunkt 0: Die Kugeln verformen sich zu späteren Zeiten zu Ellipsoiden mit Hauptachsen . Dann lassen sich die Lyapunov-Exponenten des Systems so ermitteln: (Zeitmittel) (für ergodische Systeme nicht vom Ort abhängig)

Schritte der Modellbildung Wahl eines Ausschnittes der Wirklichkeit, Zielsetzung Belebte Systeme, Ökosysteme Idealisierungen, Abstraktionen, physikalische Annahmen ? Mathematischer Ansatz: diskret, kontinuierlich; Erzeugen oder beschreiben? Zustandssysteme? deterministisch? Automaten? Berechenbar?

Zelluläre Automaten Die Zustände sind Zellen zugeordnet mit einer räumlichen (Nachbarschafts)-Beziehung Die Verarbeitung der Zustandübergänge erfolgt: Parallel: gleichzeitig für alle Zellen (für den aktuellen Zustand) Lokal: als Eingabe wird der aktuelle Zustand der jeweiligen Zelle und die ihrer unmittelbaren Nachbarn verwendet Homogen: Die Zellen werden alle nach denselben Regeln behandelt (analog zu einem physikalischen Gesetz)

Der einfachste Fall: eindimensionale Zelluläre Automaten tn 1 Binäres Alphabet {0,1} 3-er Nachbarschaften (Zelle und Nachbarn) werden für die Zustands-Aktualisierung verwendet: 23 = 8 mögliche Worte 28 = 256 mögliche Regelsätze (256 1-d zelluläre Automaten mit binärem Alphabet und 3-er Nachbarschaft) Aus Wolfram (collected papers) 1994

Nummerierung der Regeln tn 1 tn+1 ? Aus Wolfram (collected papers) 1994 111 110 101 100 011 010 001 000 0 1 1 0 0 1 0 0

Nummerierung der Regeln z.B. die Regel 110 tn 111 110 101 100 011 010 001 000 0 1 1 0 0 1 0 0 27 26 25 24 23 22 21 20 64 + 32 + 4 = 110 tn+1 Faktor: Aus Wolfram (collected papers) 1994

Zweidimensionale zelluläre Automaten 1-Bit Regeln (binäres Alphabet) 9-er Nachbarschaft 29 =516 Möglichkeiten 2516 Regelsätze Totalistische und semi-totalistische Regeln (Summe über Nachbarschaft) Beispiele: Vote (nur 210 = 1024 verschiedene Möglichkeiten) Life

Majority: Totalistic Code 1111100000b = 992d NineSum 1 2 3 4 5 6 7 8 9 NewState Vote: Totalistic Code 1111010000b = 976d NineSum 1 2 3 4 5 6 7 8 9 NewState

Semitotalistic Vote Table Vote: Totalistic Code 1111010000b = 976d NineSum 1 2 3 4 5 6 7 8 9 NewState Semitotalistic Vote Table   EightSum CellState 1 2 3 4 5 6 7 8

Semitotalistic Life Table   EightSum CellState 1 2 3 4 5 6 7 8 Form the EightSum of each cell's eight neighbors. If a cell is 0 and its EightSum is 3, the cell's new state is 1. If a cell is 1 and its EightSum is 2 or 3, the new state is 1. In all other cases the cell's new state is 0.

Übungsaufgabe: Wie lauten die Regeln im zwei-dimensionalen zellulären Automaten „Game of Life“ ? (möglichst knappe Formulierung) Ändern Sie die Regel (2-3 mal) und beurteilen Sie das Ergebnis In welcher Hinsicht finden sie diese Simulationen interessant oder uninteressant ? Zur Lösung: siehe Kommentare zu dieser Folie Kommentare: 1. Hier finden Sie eine Seite in der sie einige bekannte Start Formationen ausführen können (Glider, Fische, ...) http://www.bitstorm.org/gameoflife/ 2. Hier ist eine Seite auf der Sie die Regeln verändern können http://www.rufenacht.com/CA/FunWithLifeGame.html (Achtung: das „Spiel des Lebens“ ist nicht vor eingestellt). Durch Veränderung der Regeln und Vergleich mit dem Verhalten des fest-verdrahteten „Spiel des Lebens“ auf der ersten Seite können Sie kontrollieren, ob Sie die richtigen Regeln eingestellt haben. 3. Verändern Sie diese Regeln etwas und analysieren Sie die Ergebnisse (für die Standardformen aus der 1.Seite und für eine zufällige Angangskonfiguration Weitere Seiten: http://www.math.com/students/wonders/life/life.html (allgemein) http://www.fourmilab.ch/cellab/ (demos aus der Vorlesung sind von hier) http://kidojo.com/~yebb/cellauto/generate.cgi (1-d) http://www.ibiblio.org/e-notes/Life/Game.htm (Erweiterung zu 3-d) http://www.collidoscope.com/cgolve/words.html (in Frabe)