Compound Graphen und hierarchisches Layout Basierend auf Sander, G.: Layout Of Compound Directed Graphs Technical Report A/03/96 Hendrik Stroh 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund Compound-Graphen Zusammenfassung von Knoten Semantische Gruppierung Verallgemeinerter Cluster-Graph Compounds können Start- und/oder Endpunkte von Kanten sein Anwendungen UML-Diagramme Kontrollflussdiagramme Schaltpläne 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Compound-Graph C‘=(G, T) Gerichteter Graph G = (B υ C, EG) Kanten zwischen „base nodes“ B und Compounds C 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Compound-Graph C‘=(G, T) „nesting tree“ T = (B υ C, ET) Blätter: „base nodes“ B Innere Knoten: Compounds C Kanten: Inklusionsrelation ET v gehört zu u, gdw. ein Weg u + v existiert 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Layout von Compound Graphen Ziel: Compound-Graphen unter Einhaltung folgender Konventionen zeichnen Kreuzungen jeglicher Art sollten möglichst vermieden werden Kanten sollten möglichst wenige Knicke haben Kanten sollten möglichst einheitlich gerichtet sein Überlappungen jeglicher Art sind nicht erlaubt Ein Compound u darf nur die Elemente, die zu u gehören, enthalten Hier: Auf Schichten basierendes Layout-Verfahren 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Lokale vs. Globale Schichtzuweisung Lokale Schichtzuweisung Jedes Compound bekommt eigene Schichten Jedes Compound ist genau einer Schicht zugewiesen Wenige Knoten pro Schicht Algorithmus von Sugiyama/Misue (1991) 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Lokale vs. Globale Schichtzuweisung Eine Schichtmenge für alle Knoten Compounds können über mehrere Schichten gehen Kompakter, da weniger Schichten mit mehr Knoten Algorithmus von Sander (1996) 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Phasen des Verfahrens von Sander Schichtzuweisung Zuordnung der Knoten zu Schichten, y-Koordinaten Produktion von Dummy-Knoten Lange Kanten durch Folgen von Dummy-Knoten und kurzen Kanten ersetzen Kreuzungsminimierung Umordnung der Knoten innerhalb der Schichten, so dass möglichst wenige Kreuzungen bestehen Positionierung von Knoten und Kanten Berechnung absoluter Koordinaten 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund Schichtzuweisung Ränge R(v) für alle Knoten berechnen Rang gibt die Schichtzugehörigkeit an Knoten einer Schicht haben gleiche y-Koordinate 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund Schichtzuweisung Compound u hat obere Grenze mit Rang Rmin(u) und untere Grenze mit Rang Rmax(u) Ziel: „legal rank assignment“ Rmin(a) < Rmax(a) Rmin(a) < R(v) < Rmax(a) Rmin(a) < Rmin(b) < Rmax(b) < Rmax(b) 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund Schichtzuweisung „border nodes“ u(-) und u(+) für alle Compounds u Rmin(u) = R(u(-)) und Rmax(u) = R(u(+)) 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund Schichtzuweisung „nesting graph“ Zwei Kopien des „nesting tree“ T „border nodes“ u(-) in oberer Kopie, u(+) in unterer Kopie Kanten in unterer Kopie werden umgekehrt „nesting edges“ 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund Schichtzuweisung Durchlauf in topologischer Reihenfolge mit Rangberechnung ergibt gültige Rangzuordnung R(v) = max{R(w) | w є pred(v)} + 1 Gilt auch, wenn Kanten hinzugefügt werden, die keine Kreise produzieren 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund Schichtzuweisung „extended nesting graph“ Alle Kanten e є EG, die keine Kreise produzieren, zum „nesting graph“ hinzufügen Nun Top-Down-Durchlauf mit Rangberechnung Die Quelle r(-) hat den Rang 1 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund Schichtzuweisung Korrektur der Ränge oberer „border nodes“ 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Produktion von Dummy-Knoten Ziel: „proper hierarchy“ Lange Kanten werden in Folgen von Kantensegmenten und Dummy-Knoten zerlegt Ausgangspunkt: „extended nesting graph“ 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Produktion von Dummy-Knoten „nesting edges“ entfernen Für alle Kanten ist ersichtlich, zwischen welchen Schichten sie verlaufen 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Produktion von Dummy-Knoten Kanten e є EG, die Kreise produziert hätten, zum Graphen hinzufügen Auswahl geeigneter Begrenzungslinien als Endpunkte von Kanten Kanten sollten möglichst einheitlich gerichtet sein Kanten, die gegen die einheitliche Richtung verlaufen, werden temporär umgedreht 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Produktion von Dummy-Knoten Nun lange Kanten zerlegen Spannweite jeder Kante (v,w) ist R(w) - R(v) = 1 Dummy-Knoten zum „nesting tree“ T hinzufügen „border nodes“ u(-) und u(+) sowie Kanten (u,u(-)) und (u,u(+)) zu T hinzufügen Für Dummy-Knoten, die zu einer Kante (w1,w2) gehören, gibt es zwei Strategien Kreuzungen zw. Kanten und Rechtecken vermeiden 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Produktion von Dummy-Knoten Strategie 1: Kanten (w1,w2) verlaufen bevorzugt außerhalb von Compounds 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Produktion von Dummy-Knoten Strategie 2: Kanten (w1,w2) verlaufen bevorzugt innerhalb von Compounds 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Kreuzungsminimierung Ausgangspunkt: „proper hierarchy“ „base nodes“, „border nodes“, normale Dummies Jeder Knoten v hat relative Position P(v) in seiner Schicht und gehört zu einem Compound u Alle Kantensegmente zeigen abwärts mit Spannweite 1 Umordnung der Knoten mit Barycenter-Werten Arithmetisches Mittel der Position aller Vorgänger (Top Down) bzw. Nachfolger (Bottom Up) Ergibt bessere P(v)-Werte  weniger Kreuzungen Aber: Spezielle Regeln für Compound-Graphen werden missachtet 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Kreuzungsminimierung Regel 1: Knoten eines Compound mit gleichem Rang müssen in ununterbrochener Folge innerhalb der Schicht angeordnet werden 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Kreuzungsminimierung Regel 2: Compounds dürfen nicht verflochten werden 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Kreuzungsminimierung Trotz Missachtung der Regeln ist die Barycenter-Methode ein guter Ausgangspunkt 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Kreuzungsminimierung In Folge werden die Knoten entsprechend der Regeln innerhalb der Schichten umgeordnet Richtwert für die Position eines Compounds u ist die mittlere Position seiner Knoten „complete average position“ P*(u) Mittlere Position aller Blätter des Compounds u „average position“ für Schicht i P*i(u) Mittlere Position aller Blätter von u mit Rang i Idee: Wenn P*i(u1) < P*i(u2), dann ist zu erwarten, dass viele zu u1 gehörende Knoten links von zu u2 gehörenden positioniert sind 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Kreuzungsminimierung Markierung des „nesting tree“ T Für alle inneren Knoten u wird P*i(u) und die Anzahl Ni(u) von Blättern, die zu u gehören und Rang i haben, gespeichert Für Blätter v gilt: P*i(v) = P(v) und Ni(v)=1 Schichten werden unabhängig voneinander betrachtet „reduced nesting tree“ Ti 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Kreuzungsminimierung „reduced nesting tree“ Ti Enthält nur Blätter v mit Rang i 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Kreuzungsminimierung Durchlauf, so dass die Kinder jedes inneren Knotens nach P*i(u) sortiert werden 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Kreuzungsminimierung Ergebnis: Innerhalb der Schichten bestehen keine Verflechtungen mehr Aber: In Bezug auf alle Schichten können Compounds immer noch verflochten sein Deshalb: „subgraph ordering graph“ 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Kreuzungsminimierung 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Kreuzungsminimierung Topologische Sortierung ergibt Ordnung λO, die angibt, welches Compound links von anderen ist Bei Verflechtungen bestehen Kreise und der Graph kann nicht topologisch sortiert werden Kreise am Knoten mit kleinstem P*(w) auflösen 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Kreuzungsminimierung Nun alle Schichten durchlaufen und Knoten innerhalb der Schichten entsprechend λO sortieren Ergebnis: Compounds sind nicht mehr verflochten 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Positionierung von Knoten & Kanten 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

Positionierung von Knoten & Kanten 27.10.2005 PG 478 - OGDF: An Open Graph Drawing Framework - Uni Dortmund

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