Algorithmische Geometrie Komplexität & Effizienz Von Holger Jakusch

Ziel Notwendigkeit Unterschied: Komplexität /Effizienz Vorgehensweise

Inhalt Effizienz Notation Optimalität/ Komplexität

Warum? Vergleichbarkeit Abschätzung des Rechen- & Speicheraufwands

Effizienz Effizienz= Sparsamer Umgang mit Ressourcen Die Effiziens eines Algorithmus(für eine spezielle Eingabe) kann man messen Kleine Datenmengen: Egal Große Datenmengen: Effizienz = Machbarkeit Laufzeiteffizienz/ Speichereffizienz

Effizienz Beispiel: Effizientes & Uneffizientes Suchen Uneffizient: Lineares Suchen: Suche nach 40 Laufzeit: f(n) = 2n Worst Case g(n)= n+1 Best Case 12 24 34 36 40 47 63 77

Effizienz Allgemein: Abschätzung von Rechenzeit & Speicheraufwand Ahängigkeit: f (n) Worst case g(n) Average case Interessant für n →∞ Numerische Konstanten sind uninteressant Art des Input Nicht: Millisekunde und Bit Elementaroperationen

Effizienz Elementaroperationen: Vergleich zweier Zahlen Die 4 arithmetischen Operationen Normale Mathematische Funktionen Elementaroperationen im Beispiel Elementaroperationen sind nicht festgelegt!

Effizienz Effizient: binäres Suchen Beispiel: Suche nach 40 Laufzeit: f(n)= 1+log n 12 24 34 36 40 47 63 77 40 47 63 77 40 47 40

Effizienzklassen Warum Effizienz Klassen? Realisierung des Vergleiches zweier Algorithmen Welche Effienzklassen gibt es? Notation mit Hilfe der Landau- Symbole:O, Ω, Θ

Effizienzklassen Klassifikation der Effizienz: Asymptotisches verhalten log n, n, n log n, n², n³, … ,2ⁿ Langsam Steigend: log* n kleiner als 5 bis 2 Schnell steigend: Fakultät n! 65535

Effizienzklassen Asymptotisches verhalten; Standart Effizienzklassen

Landau Symbole Im Fogenden: f und g seien zwei Algorithmen und c eine Konstante

Landau Symbol: O Obere Grenze für die die Effizienz eines Algorithmus Gebräuchlich: f(n)= O(g(n)) n≥n0 f(n) ≤ cg(n) Math. korrekt: fO(g):(c>0)(n0 N)(n ≥ n0) f(n) ≤cg(n) f(n) hat höchstens die Größenordnung g(n)

Landau Symbol: Ω Untere grenze für die Effizienz eines Algorithmus Gebräuchlich:f(n)= Ω(g(n)) n≥n0 f(n) ≥ cg(n) Math. korrekt: f Ω(g):g O(f) f(n) hat mindestens die Größenordnung g(n)

Landau Symbol: Θ Untere & obere Grenze für die Effizienz eines Algorithmus Gebräuchlich: f(n)= Θ(g(n)) n≥n0 c1g(n) ≤f(n) ≤c2(g(n)) Math. korrekt: f  Θ(g):(f  O(g) und f  Ω(g)) :(f  O(g) und g  O(f)) f(n) hat die gleiche Größenordnung wie g(n)

Optimales Verhalten: Untere Grenzen Wann heißt ein Algorithmus Optimal? Effizienz hat die gleiche Größenordnung wie die Komplexität des Problems Optiemierung heißt: versuch Effizienz nahe an Komplexität zu bringen Es ist wichtig, die Komlexität eines Problems zu kennen

Fazit Komplexität ist nicht gleich Effizienz Optimaler Algoritmus = Komplexität des Problems Komplexität hängt nicht nur von Größe, sondern auch von dem Inhalt des Inputs ab Die Effizienz lässt sich im Verhältnis zum Input berechnen Probleme lassen sich durch bereits vorhandene Lösungen darstellen

Ende Fragen?