Vorlesung Regelungstechnik 2 Normalformen der Zustandsgleichungen Definition von Systemeigenschaften 2. Juli 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Version 1.0 vom 15. August 2002 Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.1

Zustandsraum Allgemeines: Methoden der klassischen Regelungstechnik basieren auf die Beschrei- bung von Übertragungssystemen für jeweils eine Eingangs- und Aus- gangsgröße. Die Lösung erfolgt für zeitinvariante und lineare Systeme unter Anwendung der Laplace-Transformation in der s-Ebene. Die zugrunde- liegende Differentialgleichung wird in eine algebraische Gleichung überführt. Zustandsbeschreibung ist eine allgemeine Beschreibungsform im Zeit- bereich, die für mehrere Ein- und Ausgangsgrößen sowie auch für zeitvariante und nicht lineare Systeme angewendet werden kann. Zustandsgrößen erlauben zudem die Berechnung von inneren Größen, welche den Zustand eines Systems und nicht nur sein Ein- Ausgangs- verhalten beschreiben. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.2

Beispiel und Gegenüberstellung Vektorielle Darstellung der Zustandsdifferentialgleichung Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.3

Allgemeine Darstellung Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.4

Allgemeine Darstellung graphische Darstellung Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.5

Allgemeine Darstellung Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen: Aufbau / Benennung der Vektoren und Matrizen: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.6

Allgemeine Darstellung Beispiel System 3. Ordnung -> n = 3 jeweils eine Ein- und Ausgangsgröße: -> p = 1, q = 1 Aufbau der Vektoren/Matrizen: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.7

Allgemeine Darstellung für einfache Systeme Einfache Systeme mit nur einer Eingangs- und Ausgangsgröße ergibt sich folgende vereinfachte Zustandsgrößenbeschreibung: Für nicht sprungfähige Systeme ist d=0 Bild 2.1.5 Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.8

Zustandsgleichungen 1. Standardform Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.9

Aufstellen von Zustandsgleichungen Sonderfall n = 1 Zählergrad kleiner Nennergrad m < n -> n = 0 -> d = 0 Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.10

Aufstellen von Zustandsgleichungen Signalflussplan: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.11

Lösungen der Zustandsgleichung Laplace-Transformierte Zustandsgleichungen Zustandsgleichungen: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.12

Lösungen der Zustandsgleichung Laplace-Transformierte Zustandsgleichungen Betrachtungsfall Systeme mit jeweils einem Ein- und Ausgangssignal q = 1, p = 1 Zählergrad < Nennergrad -> d = 0 Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.13

Lösungen der Zustandsgleichung Mathematische Lösung Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.14

Lösung der Zustandsgleichung Der Ausdruck (sE-A)-1 wird in der sogenannten Transitionsmatrix (s) zusammengefasst. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.15

Lösung der Zustandsgleichung Lösung im Zeitbereich Fall a: skalarer Fall (bedeutet: es ist nur eine Zustandsgröße definiert) Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.16

Lösung der Zustandsgleichung Lösung im Zeitbereich Fall b: vektorieller Fall Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.17

Lösung der Zustandsgleichung Lösung im Zeitbereich Fall b: vektorieller Fall Lösung der Rücktransformation der Transitionsmatrix Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.18

Lösung der Zustandsgleichung Interpretation der gefundenen Lösung: Die Lösung besteht aus 2 Termen. 1. Term entspricht homogener Lösung (alle Eingangssignale 0). 2. Term entspricht partikulärer Lösung (ohne Anfangszustand) Lösung momentaner Systemzustand ist nur vom Anfangszustand und der Transitionsmatrix abhängig Für alle t > to kann der Zustand über die Transitionsmatrix er- mittelt werden. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.19

Lösung der Zustandsgleichung Interpretation der gefundenen Lösung: Die Lösung besagt: Die Ausgangsgröße ist nur vom Anfangszustand der Zustandsgrößen x(to) sowie der Eingangsgrößen abhängig. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.20

Lösung der Zustandsgleichung Eigenschaften der Lösung: Nur homogene Lösung bedeutet u(t) =0 Kenne ich den Anfangszustand x(to), kann über die Transitionsmatrix sofort auf den Verlauf von x(t) geschlossen werden. Lösung im einzelnen lautet: Umkehrung liefert: kennt man den Verlauf der Zustandsgrößen, kann man auf den Anfangszustand zurückrechnen. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.21

Beispiel für Transitionsmatrix und deren Berechnung Gegeben sei Lösung im Zeitbereich wird rückge- Führt auf eine Reihenentwicklung Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.22

Beispiel für Transitionsmatrix und deren Berechnung Lösung: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.23

Beispiel für Transitionsmatrix und deren Berechnung Lösung: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.24

Beispiel für Transitionsmatrix und deren Berechnung Alternative Lösung durch Bestimmung der Rücktransformierten von Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.25

Weitere Darstellungsformen der Zustandsgleichungen Darstellungsform Regelungsnormalform alternative Bezeichnungen: 1. Standardform Frobenius-Normalform Steuerungs-Normalform 2. Darstellungsform Darstellung nach physikalischen Variablen Darstellungsform Beobachtungsnormalform alternative Bezeichnungen: 2. Standardform Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.26

Zustandsgleichungen in der Beobachternormalform Herleitung der Beobachternormalform: Die Gesamtübertragungsfunktion ist definiert und wird am Beispiel für n = m = 3 beispielhaft hergeleitet: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.27

Zustandsgleichungen in der Beobachternormalform Herleitung der Beobachernormalform: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.28

Zustandsgleichungen in der Beobachternormalform Herleitung der Beobachernormalform: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.29

Zustandsgleichungen in der Beobachternormalform Herleitung der Beobachernormalform: Signalflussbild Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.30

Zustandsgleichungen in der Beobachternormalform Zusammenhang zwischen Regelungs- und Beobachtungsnormalform: Beide Zustandsdarstellungen sind dual zueinander Beide Zustandsdarstellungen können direkt in die andere überführt werden. Die Systemmatrix wird an der Diagonalen gespiegelt Die Eingangs- und Ausgangsmatrix (-vektor) werden getauscht. Beispiel Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.31

Systemeigenschaften Steuer-barkeit und Beobachtbarkeit Wir kennen folgende Systemeigenschaften: Stabilität von Systemen (setzen wir voraus) Steuerbarkeit von Systemen Beobachtbarkeit von Systemen Definition: Ein Übertragungssystem (in Zustandsgleichungen) ist steuerbar, wenn eine Eingangsvariable u so existiert, so dass die Zustandsvariable x(t) von einem beliebigen Anfangszustand x(to) in einen beliebigen Endzu- stand x(tE) überführt werden kann. Die Steuerzeit t = tE-to muss endlich sein. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.32

Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen? Satz: Ein lineares zeitinvariantes System ist dann und nur dann vollständig steuerbar, wenn der Rang der (n, np)-Steuerbarkeitsmatrix QS: gerade n ist, also r(QS) = n. Alternativ bedeutet das, das det QS 0 Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.33

Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen? Beispiel Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.34

Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen? Beispiel Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.35

Systemeigenschaft der Beobachtbarkeit Die Eigenschaft Beobachtbarkeit liefert eine Aussage darüber, ob man mit den zur Verfügung stehenden Ausgangsgrößen, unabhängig von rein meßtechnischen Problemen, alle Informationen aus dem System entneh- men kann, die zum Entwurf einer Regeleinrichtung erforderlich sind. Definition Ein lineares zeitinvariantes System ist dann vollständig beobachtbar, wenn der Anfangszustand x(t0) aus dem Verlauf des Ausgangsvektors v(t) innerhalb eines endlichen Zeitintervalls t-t0 bestimmt werden kann. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.36

Wie beurteilt man die Beobachtbarkeit von Systemen? Satz: Ein lineares zeitinvariantes System ist dann und nur dann vollständig beobachtbar, wenn der Rang der (n, nq)-Beobachtbarkeitsmatrix QB: gerade n ist, also r(QB) = n. Alternativ bedeutet das, das det QB 0 Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.37

Wie beurteilt man die Beobachtbarkeit von Systemen? Beispiel Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.38

Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen? Beispiel Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.39