Produktform der Inversen 1 Eine numerisch stabilere Form der Basisinversen Produktform der Inversen 1

Produktform der Inversen 2 Agenda Elementarmatrizen Alternative Darstellung der Iterationen Produktform der Inversen Implementierung BTRAN FTRAN Vorteile der Produktform-Implementierung Produktform der Inversen 2

Produktform der Inversen 3 1. Elementarmatrizen Produktform der Inversen 3

1.1 Berechnung des Eta-Vektors Produktform der Inversen 4

Produktform der Inversen 5 1.2 Beispiel Die Premultiplikation mit der Elementarmatrix ergibt: Produktform der Inversen 5

1.3 Darstellung der Basisinversen nach k Iterationen Produktform der Inversen 6

2. Alternative Darstellung der Iterationen Anstelle der Umrechung der gesamten Basisinversen und deren vollständigen Aktualisierung beschränkt man sich auf den Teil, der für den Fortgang der Rechnung unbedingt auf aktuellem Stand gehalten werden muss: die Pivotspalte Produktform der Inversen 7

Produktform der Inversen 8 2.1 Pivotspalten Die Zusammenfassung der Pivotspalten von 4 Iterationen mit Markierung der Position der Pivotelemente: Produktform der Inversen 8

2.2 Darstellung der 1. Iteration Produktform der Inversen 9

2.3 Darstellung der 2. Iteration Produktform der Inversen 10

2.4 Darstellung der 3. Iteration Produktform der Inversen 11

2.5 Darstellung der 4. Iteration Produktform der Inversen 12

3. Darstellung der Basisinversen Produktform der Inversen 13

Produktform der Inversen 14 3.1 Implementierung Anstelle der Basisinversen wird nur die Datei der Eta-Vektoren in folgender Form gespeichert: Produktform der Inversen 14

3.2 Vorteile der Eta-Datei Eta-Vektoren werden nicht mehr umgerechnet. Jeder Vektor ist so häufig tranformiert, wie die laufende Iterationszahl angibt. Sie sind anfangs dünn besetzt, wenn die Problemdatei dünn besetzt ist. Solange nicht mehr als m Iterationen durchgeführt sind, enthält die Datei weniger Spalten als die vollständige Basisinverse. Produktform der Inversen 15

3.3 Nachteile der Eta-Datei? Sind mehr als m Iterationen durchzuführen, wird die Eta-Datei größer als die Basisinverse. Wird bei Verwendung der komplizierten Basisinversen der Rechenaufwand durch die vielen Matrixmultiplikationen nicht sehr groß? … und in Folge nicht auch der Rundungsfehler immer größer? Produktform der Inversen 16

Produktform der Inversen 17 4. Implementierung Erst durch die Implementierung wird die Wirksamkeit der Produktform verständlich! Dazu muss untersucht werden, an welchen Stellen die Inverse benutzt werden muss: Berechnung der Simplex-Multiplikatoren, die ja nun nicht mehr abgelesen werden können: Bei der Aktualisierung der Pivotspalte: Produktform der Inversen 17

Produktform der Inversen 18 41. BTRAN Zur Berechnung der Simplex-Multipikatoren wird der Zeilenvektor der Zielzeile von rechts mit der Basisinversen multipliziert: In der Ausgangslösung ist dBT der Einheitsvektor: Produktform der Inversen 18

41.1 Reihenfolge der Auswertungsschritte: rückwärts Auswertung besteht aus Multiplikation eines Zeilenvektors mit einer Elementarmatrix von rechts: Produktform der Inversen 19

Produktform der Inversen 20 42. FTRAN Zur Berechnung der aktuellen Pivotspalte wird der Spaltenvektor der entsprechenden Spalte der Problemdatei von links mit der Basisinversen multipliziert: Die s-te Spalte des Ausgangsproblems wird nun also vorwärts mit allen Elementarmatrizen multipliziert. Produktform der Inversen 20

42.1 Reihenfolge der Auswertungsschritte: vorwärts Jede Multiplikation mit einer Elementarmatrix umfaßt folgende Rechung: Produktform der Inversen 21

42.3 Aktualisierung der Basis Einerseits wird jeweils die Rechte Seite durch direkte Umrechung aktualisiert (wird für das Quotientenkriterium benötigt!) Andererseits braucht die umgerechnete Pivotspalte nur der Eta-Datei hinzugefügt werden: Produktform der Inversen 22

5. Vorteile der Produktform-Implementierung Speicherplatz-Vorteile Rechenzeit-Einsparungen Rechengenauigkeit Produktform der Inversen 23

Produktform der Inversen 24 5.1 Kompakte Speicherung Es wird praktisch nur mit der Problemdatei und der Etadatei gearbeitet. Beide werden nicht umgerechnet, sondern nur benutzt. Da die Eta-Vektoren anfangs jedenfalls nur wenig transformiert sind, sind sie auch ähnlich dünn besetzt wie die Problemdatei. Folglich können beide Dateien kompakte gespeichert werden. Produktform der Inversen 24

5.2 Rechenzeiteinsparung Die kompakte Speicherung lässt eine effiziente Auswertung der Skalarprobdukte zu. Partial-Pricing und vor allem Multiple-pricing sind beschleunigende Techniken: Nun wird nur noch das Mini-LP gelöst, mit der ersten Major- und nachfolgenden Minor-Iterationen. Produktform der Inversen 25

5.3 Rechengenauigkeit : Reinversion INVERT In relativ kurzen Abständen wird die Basislösung jeweils neu berechnet, so dass die geringste Anzahl Iterationen benötigt werden: Dünne Besetzung Verkürzung der ETA-Datei Da der Pricing-Schritt praktisch entfällt, kann man die alternative, verkürzte Basisdarstellung schnell berechnen. Inversionen werden sehr häufig durchgeführt. Produktform der Inversen 26