d.h. für alle  mit () = (s1,s2 ,...,sn,s) gilt: wenn Kapitel 6 Kongruenzen Definition "Kongruenzrelation" Eine -Kongruenz R über einer -Algebra A = [A , F ] ist eine Familie R = (Rs)sS von Äquivalenzrelationen Rs in As mit der Eigenschaft der Kompatibilität, d.h. für alle  mit () = (s1,s2 ,...,sn,s) gilt: wenn (ai ,bi)  Rsi für 1  i  n, so ist auch ( f (a1,a2 ,...,an), f (b1,b2 ,...,bn) )  Rs .

Äquivalenzklasse von a  As bzgl. Rs : [a]Rs oder [a]R oder [a]s oder [a] Familie der Mengen der Äquivalenzklassen: A  R = (As  Rs)sS mit As  Rs = { [a]Rs | a  As }. Durch f induzierte Operationen f* über den Äquivalenzklassen: f*([a1]Rs1, [a2]Rs2 ,..., [an]Rsn) =df [ f (a1,a2 ,...,an)]Rs Wenn die Rs bzgl. den f kompatibel sind, so ist diese Definition repräsentantenunabhängig, d.h. die f* sind tatsächlich Operationen über A  R.

R sei eine -Kongruenz über der -Algebra A = [A , F ]. Definition "Faktoralgebra" R sei eine -Kongruenz über der -Algebra A = [A , F ]. Die -Algebra [A  R , (f*)    ] mit den durch f induzierten Operationen f* heißt die Faktoralgebra A  R der -Algebra A nach der -Kongruenz R. Homomorphiesatz: Es sei A = [(As)sS , (f)   ] eine -Algebra und  eine -Kongruenz über A . Dann ist die Abbildung : A  A   mit (a) = [a] ein -Homomorphismus von A nach A   . Ist h: A  B ein weiterer -Homomorphismus, und ist h die Bildgleichheit bzgl. h, so ist h eine -Kongru-enz über A ; und wenn h zusätzlich surjektiv ist, dann sind A  h und B isomorph.

A B h    = nat() . Homomorphiesatz: A  h   A  h Die Abbildung  heißt auch natürliche Abbildung von  .  = nat() .

1. Jede Faktoralgebra ist homomorphes Bild der Ausgangs- algebra, und umgekehrt ist jedes homomorphe Bild einer Algebra isomorph zu einer Faktoralgebra dieser Algebra. 2. Damit kann jedes homomorphe Bild einer Algebra völlig „innerhalb“ der Algebra gefunden werden. 3. Eine Faktoralgebra ist festgelegt durch die Algebra und eine Kongruenz. Nach dem Homomorphiesatz kann das Studium der Homomorphismen gleichwertig ersetzt werden durch das Studium der Kongruenzen! 4. Semantik ist ein homomorphes Bild SEM der syntaktischen Algebra SYN. Damit gilt SEM  SYN  R für eine eindeutig bestimmte Kongruenz R. Semantik entspricht also einer Kongruenzrelation über der Syntax!

s(Xs) = {s(x) | x Xs } = { [x]Rs | x Xs } = Xs  Rs , Faktorisierung des Erzeugendensystems: Es sei A eine -Algebra und R eine -Kongruenz über A. Wenn X ein Erzeugendensystem von A ist, dann ist X  R ein Erzeugendensystem der Faktoralgebra A  R. Beweis: Wir haben A = [X]A .  = nat(R) ist Homomorphismus von A auf A  R. Also gilt A  R = (A) = ([X]A) = [(X)]A  R entsprechend dem Satz vom homomorphen Bild der Hülle. Weiter ist (X) = (s(Xs))sS mit s(Xs) = {s(x) | x Xs } = { [x]Rs | x Xs } = Xs  Rs , womit A  R = [X  R]A  R bewiesen ist.