Mathematische Abstraktion Daniel Wickert Proseminar Logik / WS 2003

Gliederung Geometrie und Axiome Der Zahlenbegriff Boole und die Algebra der Logik Spätere Entwicklungen Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Zusammenfassung geometrischer Erkenntnisse seiner Zeit. Geometrie - Elemente I II III IV Euklids Elemente Zusammenfassung geometrischer Erkenntnisse seiner Zeit. Erkenntnisse abgeleitet von wenigen Grundsätzen und Postulaten (Axiome). Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Axiome der Euklidischen Geometrie Geometrie - Axiome I II III IV Axiome der Euklidischen Geometrie Man kann eine gerade Strecke von einem Punkt zu einem anderen Punkt ziehen. Man kann eine Strecke kontinuierlich zu einem Strahl verlängern. Um jeden Punkt kann man einen Kreis mit beliebigem Radius schlagen. Alle rechten Winkel sind einander gleich. Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Parallelenaxiom Geometrie - Axiome I II III IV 5. Wenn eine Strecke zwei andere Strecken derart schneidet, so dass die beiden inneren Schnittwinkel auf der einen Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann schneiden sich die beiden Strecken, wenn sie weit genug verlängert werden, auf der Seite, auf der die Schnittwinkel zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind. Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Parallelenaxiom II Geometrie - Axiome I II III IV Weitgehend abgelehnt Versuche der Herleitung aus anderen Axiomen Versuche des indirekten Beweises Saccheri(1733): Vorform der nicht-euklidischen Geometrie Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Nicht-euklidische Geometrie Geometrie – nicht-euklidische I II III IV Nicht-euklidische Geometrie Gauß, Riemann: Geometrie ohne Parallelenaxiom möglich Hilbert: nicht-euklidische Geometrie widerspruchsfrei, falls euklidische Geometrie widerspruchsfrei Abbildung der geometrischen Elemente aufeinander Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Fazit Geometrie – Fazit I II III IV Abkopplung von räumlicher Vorstellung Axiome funktionieren auch ohne Punkt, Linien und Ebenen. Weitere Entwicklungen: Analytische Geometrie Topologie Gruppentheorie Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Der Zahlenbegriff Zahlen – Griechen I II III IV Griechen: Viel Geometrie, wenig Algebra und Analysis Geometrie weniger Abstrakt Unscharfer Zahlenbegriff Pythagoräer hatten Probleme mit Inkommensurabilität Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Entwicklung des Zahlenbegriffs Zahlen – Entwicklung I II III IV Entwicklung des Zahlenbegriffs Zweck: Konkrete Objekte quantifizieren Zuerst Adjektive: „eins“, „zwei“, „drei“ ohne echte Adjektive zu sein. Später auch Namen, also Substantive Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Entwicklung des Zahlenbegriffs II Zahlen – Entwicklung I II III IV Entwicklung des Zahlenbegriffs II Erweiterung durch Probleme der Arithmetik x + 3 = 2  Negative Zahlen 2x - 3 = 0  Brüche x² - 2 = 0  Irrationale Zahlen x² + 1 = 0  Imaginäre Zahlen Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Entwicklung des Zahlenbegriffs III Zahlen – Entwicklung I II III IV Entwicklung des Zahlenbegriffs III Loslösung des Zahlenbegriffs vom ursprünglichen Zweck Zahlen sind Entitäten in einem Kalkül mit Addition und Multiplikation Kommutativität Assoziativität Distributivität Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

George Boole (1815-1864) Boole – Kurzbiographie I II III IV Sohn eines wissenschaftsbegeisterten Schusters Erste Interessen: Optik und Latein später Mathematik Erste Veröffentlichung mit 12 Jahren: Übersetzung einer Ode von Horace Mit 16 Aushilfslehrer, mit 20 eigene Schule 1849 Lehrstuhl am Queens College in Cork (Irland) ohne Akademischen Grad Wichtigste Arbeiten: Mathematical Analysis of Logic Investigation of the Laws of Thought Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Grundüberlegungen Boole – Grundüberlegungen I II III IV Gültigkeit der Symbolischen Algebra unabhängig von Interpretation der Symbole Gesetze zur Kombination von Symbolen eines wahren Kalküls sind bekannt und allgemeingültig. Sein Kalkül der Logik erfüllt diese Bedingungen Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Logik der Klassen Boole – Logik der Klassen I II III IV x, y sind Klassen, x = y  Klassen haben gleiche Mitglieder xy neue Klasse deren Mitglieder sowohl in x als auch in y sind. Universalklasse „1“ hat alle betrachteten Elemente als Mitglieder Nullklasse „0“ hat kein Element als Mitglied Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Logik der Klassen II Boole – Logik der Klassen I II III IV 1x = x und 0x = 0 aber xx = x Kein Division-Äquivalent, denn es gilt nicht xz = yz  x = y Vorschlag: Abstraktion als Division x/y = z Klasse der Menschen Klasse der Vernunftbegabten = Klasse der Tiere Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Logik der Klassen III Boole – Logik der Klassen I II III IV x + y : entweder x oder y Sehr ungünstig da viele praktische Regeln so nicht verwendbar (1 - x) : Komplement x(1 - x) = 0 Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Logik der Klassen - Syllogismen Boole – Logik der Klassen I II III IV Logik der Klassen - Syllogismen A, E, I und O beschreibbar Jedes X ist Y x(1 – y) = 0 Kein X ist Y xy = 0 Einige X sind Y xy ≠ 0, bzw. xy = v Einige X sind nicht Y x(1 – y) ≠ 0, bzw. x(1- y) = v Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Logik der Klassen - Gesetze Boole – Logik der Klassen I II III IV Logik der Klassen - Gesetze (1) xy = yx (5) x = y  xz = yz (2) x + y = y + x (6) x = y  x + z = y + z (3) x(y + z) = xy + xz (7) x = y  x - z = y – z (4) x(y - z) = xy – xz (8) x(1 - x) = 0 Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Logik der Klassen – Gesetze II Boole – Logik der Klassen I II III IV Logik der Klassen – Gesetze II Regeln (1) – (7) entsprechen Algebra mit Zahlen Regel (8): x(1 - x) = 0 nicht. Hinzunahmen von (9) Entweder x = 1 oder x = 0 Booles Konvention x = 1  Prämisse X ist wahr x = 0  Prämisse X ist falsch Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Logik der Klassen - Entwicklung Boole – Logik der Klassen I II III IV Logik der Klassen - Entwicklung f(x) Abkürzung für Booleschen Ausdruck abhängig von x  f(x) = ax + b(1 - x) f(1) = a, f(0) = b f(x) = f(1)x + f(0)(1 - x) Entwicklung von f(x) bezüglich x Ergibt Disjunktive Normalform Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Logik der Klassen - Techniken Boole – Logik der Klassen I II III IV Logik der Klassen - Techniken Reduktion mehrerer Gleichungen zu einer Lösung einer Gleichung (Umstellung nach einer Variablen) Eliminierung einer Variablen Werkzeuge für algebraische Repräsentation syllogistischer Schlüsse. h(1-a) = 0, a(1-m) = 0  h(1-m) = 0 Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Logik der Klassen - Fazit Boole – Fazit I II III IV Logik der Klassen - Fazit Wichtigste Neuerungen: Kalkül für Wahrheitsfunktionen Disjunktive Normalformen Grundlagen späterer Entwicklungen Durch einige Annahmen sich selbst Steine in den Weg gelegt Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Spätere Entwicklungen I II III IV Spätere Entwicklungen Venn-Diagramme J.Venn Bewunderer Booles Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Spätere Entwicklungen II I II III IV Spätere Entwicklungen II Inklusivität von + für DeMorgan-Regel DeMorgan, Pierce, Schröder: Theorie der Relationen Einführung von ∑ (einige) und ∏ (alle) Vorstufe zur Prädikatenlogik Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Axiomatisierung führte zu Abstraktion Fazit Axiomatisierung führte zu Abstraktion Algebra der Logik Ergebnis der Abstraktion des Zahlenbegriff Logikbegriff von Philosophie getrennt, neue Erkenntnisse kamen von Mathematikern Zwei große Hunde, Hund ist groß und Hund ist zwei? Gleiche Wörter auch als Substantive Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Quellen Kneele http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie The Calculus of Logic Cambridge and Dublin Mathematical Journal Vol. III (1848), pp. 183-98 http://homepages.enterprise.net/rogerp/george/boole.html Mathematische Abstraktion Daniel Wickert