Wie viele gibt es? Wie findet man Primzahlen?

Haben Sie eine Lieblingsprimzahl? 2 7 11 23 (Trons Zahl) Meine kleine Lieblingsprimzahl : 17 Primzahlen

Der Plan: Was sind Primzahlen? Warum sind sie wichtig? Wie viele Primzahlen gibt es? Wie findet man Primzahlen? Wege zum Ruhm. Ende: Nach 40 Minuten, auf jeden Fall Primzahlen

Was ist eine Primzahl? Die Definition: Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Es geht um natürliche Zahlen, es geht um Teilbarkeit. Schon jetzt: 1 ist keine Primzahl, sie macht nur unnötigen Ärger! Primzahlen

Teilbarkeit 7 teilt 42: 7 | 42, 8 teilt 42 nicht: 8 ∤ 42, denn 42 ist Vielfaches von 7, d.h. 42 = 6 ∙ 7 8 teilt 42 nicht: 8 ∤ 42, denn 42 ist nicht Vielfaches von 8, d.h. es gibt keine Zahl c mit 42 = c ∙ 8 Primzahlen

Teilbarkeit Die grundlegende Definition: a | b bedeutet: a teilt b (ohne Rest), also: b ist Vielfaches von a. Primzahlen

Teilbarkeitseigenschaften 7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ (42 + 63), 7 │105 Teilt a die Zahlen b und c, dann auch b+c 7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ (42 - 63), 7 │-21 Teilt a die Zahlen b und c, dann auch b-c Primzahlen

Primzahlen Nochmals die Definition: Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 1 ist keine Primzahl. Die kleinste Primzahl ist 2. Primzahlen

Die Primzahlen bis 20, der Reihe nach:

Die Primzahlen bis 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 Anzahl = π(20) = 8 π(x) = Anzahl der Primzahlen bis zur Zahl x Primzahlen

Größte zweistellige Primzahl Kandidaten: 91 93 95 97 99 Primzahlen

Größte zweistellige Primzahl Kandidaten: 91: Durch 7 teilbar 93: Durch 3 teilbar 95: Durch 5 teilbar 97: Primzahl 99: Durch 3 teilbar 97 ist die größte zweistellige Primzahl. Primzahlen

Kleinste dreistellige Primzahl Kandidaten: 101 103 105 107 109 Primzahlen

Kleinste dreistellige Primzahl Kandidaten: 101: Primzahl 103: Primzahl 105: Durch 5 teilbar 107: Primzahl 109: Primzahl 101, 103 und 107, 109 sind Primzahlenzwillige Primzahlen

Kleinste dreistellige Primzahl Kandidaten: 1001 1003 1005 1007 1009 Gar nicht mehr so einfach! Primzahlen

Kleinste dreistellige Primzahl Kandidaten: 1001: Durch 11 teilbar (11·91) 1003: Durch 17 teilbar (17·59) 1005: Durch 5 teilbar (5·201) 1007: Durch 19 teilbar (19·53) 1009: Primzahl Primzahlen

Primzahlen sind wichtig für: Mathematiker Kryptologen Primzahlen

Primzahlen in der Mathematik Beispiele: 42 = 2∙3∙7 700 = 2∙2∙5∙5∙7 = 22∙52∙7 Sie finden dies bei Euklid. Primzahlen sind die Atome der Zahlen. Der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen. Primzahlen

Wie zerlegt man in Primfaktoren? Beispiele: Z = 42 Z = 182 Z = 3553 Z = 135014 Dies ist nicht einfach! Primzahlen

Wie zerlegt man in Primfaktoren? Beispiele: Z = 42 = 2∙21 = 2∙3∙7 Z = 364 = 2∙182 = 22∙7∙13 Z = 3553 = 11∙323 = 11∙17∙19 Z = 135014 = 2∙11∙17∙192 Es ist schwierig, große Zahlen zu „faktorisieren“ Primzahlen

Kryptologen und Primzahlen RSA Ron Rivest Adi Shamir Leonard Adleman Löst Problem der Schlüsselübergabe im Internet Primzahlen

RSA Asymmetrische Verschlüsselung Benötigt große geheime Primzahlen Entscheidend: Gibt es genügend viele große Primzahlen? Wie viele Primzahlen gibt es überhaupt? Primzahlen

Wie viele Primzahlen gibt es? Euklid: (325 – 265 v.Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Primzahlen

Euklids Beweis Die Idee: Die Folgerung: Es gibt unendlich viele Primzahlen! Die Idee: Aus endlich vielen Primzahlen kann man stets eine weitere konstruieren. Primzahlen

Euklids Beweisidee Beispiel: Primzahlen: 2, 3, 5 E = 2∙3∙5 + 1 = 31: Keine der Zahlen 2, 3, 5 kann E teilen. E ist sogar eine neue Primzahl! Primzahlen

Euklids Beweis Noch ein Beispiel: Primzahlen: 3, 5, 7 Keine der Zahlen 3, 5, 7 kann E teilen. E ist keine neue Primzahl! Aber: E enthält neue Primzahlen als Faktoren. Primzahlen

Euklids Beweis, allgemein: p1, p2, p3, …, pn seien Primzahlen. E = p1∙ p2 ∙ p3 ∙ … ∙ pn + 1 : Keine der Zahlen p1, p2, p3, …, pn teilt E. Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen. Primzahlen

Der Beweis von Hermite Charles Hermite 1822 – 1901 Wichtige Arbeiten: Zahlentheorie, elliptische Funktionen, quadratische Formen, e ist transzendent. Primzahlen

Der Beweis von Hermite Die Idee: Ist eine Zahl n gegeben, so gibt es eine Primzahl größer als n. Die Folgerung: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Primzahlen

Der Beweis von Hermite für n = 5 Keine der Zahlen 2, 3, 4, 5 kann H5 = (1 ·2 ·3 ·4 ·5) + 1 = 5! + 1 teilen. Also ist jeder Primfaktor von H5 größer als 5. Primzahlen

Der Beweis von Hermite für n Keine der Zahlen 2, 3, 4, …, n kann Hn = (1 · 2 · 3 · 4 · … · n) +1 = n! + 1 teilen. Also ist jeder Primfaktor von Hn größer als n. Primzahlen

Kummers Beweis: Der Schönste Ernst Eduard Kummer 1810 – 1893 Wichtige Arbeiten zur Analysis, Zahlentheorie, Fermats Vermutung Primzahlen

Kummers Beweis Die Idee: Die Folgerung: Es gibt unendlich viele Primzahlen! Die Idee: Wenn es nur endlich viele Primzahlen gibt, dann entsteht ein Widerspruch Primzahlen

Kummers Beweis: Annahme: Es gibt nur die n Primzahlen p1, p2, p3, …, pn. Bilde Z = p1,· p2, · p3 ·… · pn. Die Primfaktorzerlegung von Z-1 enthält dann eine dieser Primzahlen als Faktor, etwa pi. Dann muss pi auch Z – (Z-1) = 1 teilen. Dies geht nicht! Primzahlen

Unendlich viele Primzahlen, ist das genug? In der Kryptologie interessant: Primzahlen mit etwa 300 Stellen. Gibt es genügend viele davon? Es gibt unendlich viele Zahlen der Form nn, aber nur 149 mit weniger als 300 Stellen. Primzahlen

Richtig gemein: Primzahlenlücken Es gibt beliebig große Primzahlenlücken. Als Beispiel: Eine Lücke der Länge 42 43! + 2, 43! + 3, 43! + 4, ….. , 43! + 43 (Aber: 43! = 6 ∙ 1052) Primzahlen

Die Verteilung der Primzahlen

Erste gute Ergebnisse: Pafnuty Tschebycheff 1821 – 1894 Arbeiten zur Analysis, Zahlentheorie Primzahlen

Tschebycheffs Ergebnis: Primzahlen

Der Primzahlensatz (1896) Satz: Für große x: Primzahlen

Der Primzahlensatz (1896) Nicolas de la Vallee- Poussin (1866 – 1962)

Der Primzahlensatz (1896) Jacques Salomon Hadamard (1865 – 1963)

Wie viele Primzahlen bis 10300?

Bestimmung von Primzahlen Verschiedene Vorgehensweisen: Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe) Formeln (traurig und schön) Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen Primzahlen

Das Sieb des Eratosthenes Geb.: 276 v. Chr. In Cyrene (Libyen) Gest.: 194 v. Chr. in Alexandria U.a.: Zahlentheoretiker. Primzahlen

Eratosthenes Ein sehr kluger Mann Bestimmte den Erdradius Primzahlen

Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50 bestimmen. Sein modernes Verfahren: Iterationsverfahren Start: Wie fange ich an? Iterationsschritt: Immer die gleichen Schritte. Mit veränderten Daten. Abbruch: Wann höre ich auf? Primzahlen

Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen

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Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50: π(50) =15 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen

Primzahlen nach Formeln: Mersenne Zahlen Marin Mersenne Geb.: 1588 in Oize Gest.: 1648 in Paris Mathematiker und Physiker, suchte Formeln für Primzahlen Primzahlen

Mersenne Zahlen M(p) = 2p – 1, p Primzahl M(2) = 22 – 1 = 4 – 1 = 3 keine Primzahl Primzahlen

Primzahlen

Mersenne Zahlen: M44 (4.9.2006) M44 = 232 582 657 – 1 M44 besitzt 9 808 358 Stellen! M44 als Textdatei: 10 MB Primzahlen

3154164756188460809363030286645451701265196562623238703163237107951353874490069346209438629475170296 6362361422994450686916698686600279039593446893432936551204206347823658766440668754025307664209877402 0969609945983292505783928283570842567724222472424177384530775747071585395344060062523282594879423792 4394762048922434865847035028788593595047780850179458230391559238902357133419984601919493448218924829 7423971417367146785344920107187028854616889613680555081376552273643139066199808666001320015918479958 6344310640160882662896619835513624965683427527228832614627235339926202140626135740059405043680416024 5695791118476877879904040314888270764778638440564460594446715493640212840524640263853258648567875880 5207486603779584656802441561512807448053088924530413276985790310479275392759409642958887074769447677 8455686462581130357179495540007112806849012797583398279772692025012125112023957367805032874051785391 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M44 Ausgedruckt mit 8-Punktschrift: Etwa 1200 Seiten Primzahlen

Eine Formel für alle Primzahlen Hardy und Wrights Formel n Zweien bei f(n) ω = 1.9287800… Zur Berechnung von ω benötigt man alle Primzahlen Nicht sehr praktisch! Es gibt weitere solcher Formeln Primzahlen

Godfrey Harold Hardy Geb.: 1877 in Cranleigh Gest.: 1947 in Cambridge Einer der bedeutendsten Zahlentheoretiker des 20. Jahrhunderts Primzahlen

Primzahlenzwillinge Primzahlen im Abstand 2: 3, 5 11, 13 29, 31 101, 103 …….. Primzahlen

Wie viele Zwillinge gibt es? Man weiß es nicht. Wahrscheinlich unendlich viele (Hardy) Neueste Ergebnisse aus den USA und der Türkei stützen dies Primzahlen

Viggo Brun Mathematiker, Norweger 1885 – 1978 Bedeutender Zahlentheoretiker Primzahlen

Bruns Witz Primzahlen

Wege zum Ruhm: Probleme der Zahlentheorie Die Goldbachsche Vermutung, Die Riemannsche Vermutung, Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt Ein schnelle Algorithmus zur Primfaktorzerlegung Primzahlen

Konkurrenten Primzahlen

Die Goldbachsche Vermutung Christian Goldbach Geb.: 1690 in Königsberg Gest.: 1764 in Moskau Primzahlen

Die Vermutung Goldbach I: Beispiel: 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 13 + 87 = …. Goldbach II: Jede ungerade Zahl > 7 ist die Summe von drei ungeraden Primzahlen Beispiel: 51 = 3 + 17 + 31 = 5 + 17 + 29 = 5 + 23 + 23 = …. Goldbach I: Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe zweier Primzahlen. Primzahlen

Goldbach I: State of the Art Bestätigt bis 2x1016 Jede gerade Zahl ist Summe von höchstens 6 Primzahlen Vinogradov: Jede genügend große Zahl ist Summe von höchstens 4 Primzahlen Vinogradov: Fast alle geraden Zahlen sind Summe von 2 Primzahlen Cheng Jing-run (1966): Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe aus einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens zwei Primfaktoren Primzahlen

Goldbach I: Im Jahr 2000 wurde ein Preis von 1 000 000 $ für den Beweis der Goldbachschen Vermutung ausgesetzt. Nach Ansicht der meisten Mathematiker stimmt die Goldbachsche Vermutung; statistische Argumente sprechen dafür. Primzahlen

Bernhard Riemann (1826 – 1866) Nachfolger von Gauß in Göttingen Mathematisches Genie Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts- theorie Primzahlen

Die Riemannsche Vermutung Primzahlen

Primzahlenzwillinge Zeigen Sie, dass es unendlich viele gibt, entschärfen Sie den Witz von Viggo Brun. Sie werden länger berühmt sein als Daniel Kübelböck. Sie werden die Fields-Medaille oder den Abelpreis erhalten. Primzahlen

Ein schneller Algorithmus zur PFZ Überleben schwierig! Falls doch, Sie sind berühmt, für immer! Primzahlen

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Eine Literaturliste liegt aus. Der Vortrag unterliegt der GNU-License. PDF-Version des Vortrags demnächst auf der Tholeyer Homepage Für (nicht allzu) kritische Kommentare bin ich dankbar. Primzahlen