Friedhelm Meyer auf der Heide 1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Approximationsalgorithmen …liefern in polynomieller Zeit Lösungen für Optimierungsprobleme, die nur um einen festen Faktor (die Güte des Appr. Algo) vom Optimum entfernt sind. TSP: Falls in (G, w) die kürzeste Rundreise Länge k hat, muss ein Appr. Alg. mit Güte c eine Rundreise der Länge liefern. [Minimierungsproblem, c > 1] Rucksack: Falls G, g, W eine Lösung mit Gewicht k erlaubt, muss ein Appr. Algo mit Güte c eine Lösung mit Gewicht liefern. [Maximierungsproblem, c < 1]

Friedhelm Meyer auf der Heide 2 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Bsp 1: Max-Cut Ein Schnitt (Cut) eines Graphen G = (V, E) ist definiert durch eine Menge w(S):= # Kanten zwischen S und V-S in G. Max Cut: Berechne zu Graph G einen Max-Cut, d.h. Zugehöriges Entscheidungsproblem: Eingabe: (G, k) Frage : Ist Max-Cut ist NP-vollständig.

Friedhelm Meyer auf der Heide 3 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Appox. Algo für Max-Cut Eingabe: G = (V, E) S := Solange v 2 V existiert, so dass w(S M {v}) > w(S) ist, setze S := S M {v} Ausgabe w(S), S Laufzeit: O(E) pro Schleifendurchlauf, · E Schleifen- durchläufe polynomielle Laufzeit Appr. Güte: Algo liefert Lösung mit Güte ¸ ½ d.h. Für jeden Graphen G liefert er eine Lösung w(S) ¸ ½ Optimum

Friedhelm Meyer auf der Heide 4 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Bsp. 2: Metrisches TSP (MTSP) Eingabe: vollst. Graph G mit Kantengewichten w(e) 2, so dass die Dreiecksungleichung gilt: w(a,c) · w(a, b) + w (b,c). Ausgabe: minimale Rundreise (Permutation ) Spezialfall: Euklidisches TSP: V µ, w(a,b) = ||a-b|| Die Entscheidungsprobleme zum metrischen und zum Euklidischen TSP sind NP-vollständig. (ETSP ist Spezialfall von MTSP)

Friedhelm Meyer auf der Heide 5 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Appr. Algo für MTSP Eingabe: G = (V,E) vollständig, Kantengewichte die die Dreiecksungleichung erfüllen. 1.Berechne Minimalen Spannbaum T in (G, w). 2.Durchlaufe T in Preorder (Start bei beliebigen Knoten), gebe diese als Rundreise aus. Laufzeit: polynomiell Approximationsgüte: gefundene Rundreise ist höchstens um Faktor 2 länger als optimale Rundreise.

Friedhelm Meyer auf der Heide 6 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Grenzen der Approximierbarkeit Satz: Falls NP P gilt, gibt es kein polynomiellen Appr. Algo für TSP mit konstanter Güte c.