HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Christian Schindelhauer

2 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Radio Broadcasting Broadcasting –Ein Sender möchte eine Nachricht an alle n Stationen übermitteln Radio Broadcasting –Ungerichteter Graph G=(V,E) beschreibt mögliche Verbindungen Wenn Kante {u,v} existiert, kann u nach v senden und umgekehrt Wenn keine Kante, dann kein Empfang und keine Störung –Eine Frequenz, Funkstationen sind gleichgetaktet –Senden zwei benachbarte Stationen gleichzeitig, wird kein Signal empfangen (noch nicht einmal ein Störungssignal) Hauptproblem: –Graph G=(V,E) ist den Teilnehmern unbekannt –Verteilter Algorithmus zur Vermeidung von Konflikten

3 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Radio Broadcasting ohne ID Theorem Es gibt keinen deterministischen Broadcasting-Algorithmus für das Radio-Broadcasting-Problem (ohne ID) Beweis: Betrachte folgenden Graphen: 1.Blauer Knoten sendet (irgendwann) Nachricht an die Nachbarknoten 2.Sobald sie informiert sind, verhalten sie sich synchron (weil sie den gleichen Algorithmus abarbeiten) und senden (oder senden nicht) immer gleichzeitig 3.Roter Knoten erhält keine Nachricht.

4 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Simple-Random (I) Jede Station führt folgenden Algorithmus aus: Simple-Random(t) begin if Nachricht m vorhanden then for i 1 to t do r Ergebnis fairer Münzwurf (0/1 mit jeweils Wkeit 1/2) if r = 1 then Sende m an alle Nachbarn fi od fi end

5 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Simple-Random (II) D: Durchmesser des Graphen Δ: Grad Lemma Ein Nachbarknoten wird in einer Runde mit Wahrscheinlichkeit Δ 2 Δ informiert, falls mindestens ein Nachbar informiert ist. Beweis: 1.Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer von m Δ informierten Nachbarknoten ungestört sendet, ist: Wkeit, dass m 1 Nachbarn nicht senden Wkeit, dass ein Nachbarn sendet # Möglich- keiten Sender

6 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Ein probabilistisches Verfahren Ein Nachbarknoten wird in einer Runde mit Wahrscheinlichkeit p Δ 2 Δ informiert, falls mindestens ein Nachbar informiert ist. –Betrachte bel. Knoten mit Abstand D zur Quelle –Sei (u,u 1,u 2,..,u D ) ein Pfad von der Quelle u zu diesem Knoten –Wir unterschätzen den wirklichen Informationsfluß und betrachten nur den Informationsfluß auf diesen Pfad p 1 p p p p p 1

7 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Der Markov-Prozess der Informationsausbreitung Zeit p 1 p p p p p 1 1 p p Weg Lemma Für jedes α>1 und β 0 gilt: Wenn auf einem Pfad der Länge D eine Nachricht mit unabhängiger Wkeit p voranschreitet und mit Wkeit 1 p stehen bleibt, dann ist die Wkeit, dass die Information nach spätestens t Schritten mit nicht durchgelaufen ist, höchstens

8 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Laufzeit von Simple- Random Lemma Für geeignetes c>1 gilt: Simple-Random informiert das gesamte Netzwerk mit Wahrscheinlichkeit von mindestens 1 2n k in Zeit c 2 Δ / Δ ( D+ log n), wenn alle Stationen bis zum Ende aktiv bleiben. Beweis: –Betrachte Knoten und Pfad der Länge D –Betrachte Informationsfluss auf den Pfad: p Δ 2 Δ –Setze α=2 und β = (k+1) log n –Damit folgt das Lemma

9 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Modellerweiterung Modell bis jetzt zu restriktiv Deterministisches Modell: –Jeder der n Spieler kennt seine eindeutige Identifikationsnummer (ID) aus dem Bereich {1,..,n} Probabilistisches Modell: –Die Anzahl n der Spieler ist bekannt –Der maximale Grad Δ ist bekannt –Aber keine ID vorhanden

10 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Decay (I) Idee: Randomisierte Ausdünnung der Teilnehmber Decay(k,m) begin j 1 repeat j j + 1 Sende Nachricht m an alle Nachbarn r Ergebnis fairer Münzwurf (0/1 mit jeweils Wkeit 1/2) until r=0 oder j > k end

11 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Decay (II) d Nachbarknoten informiert Alle d Nachbarknoten starten gleichzeitig Decay(k,m) P(k,d):Wkeit, dass Nachricht wird von d Nachbarn in k Runden erhalten Lemma Für d2 gilt:

12 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX BGI-Broadcast [Bar-Yehuda, Goldreich, Itai 1987] Alle Informierten haben synchronisierten Rundenzähler –D.h. Time wird mit Nachricht weiter gegeben –Und in jeder Runde inkrementiert BGI-Broadcast( Δ, ) begin k 2 log Δ t 2 log (N/ ) wait until Nachricht kommt an for i 1 to t do wait until (Time mod k) = 0 Decay(k,m) od end