Rotation Planning for the Continental Service of a European Airline Seminararbeit Vitali Gintner begrüßen Sich vorstellen Optimierung der Wagenumläufe im öffentlichen Personen-Nahverkehr: ein Modell mit Fahrzeugtyp- und Betriebshofzuordnung

Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch  Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs: Lagrange-Relaxation Lagrange-Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse

Prozess der Flugplanung Network Design Revenue Management Market Modelling Fleet Assignment Aircraft Rotation Crew Scheduling Air Traffic Control Viele Modelle, Lösungsansätze der Rotationsplanung für amerikanische Fluggesellschaften. Rotation Planning – Bestimmung von Routen (Route – eine Legfolge, die mit einem Flugzeug geflogen werden kann)

Amerikanisch Europäisch Das amerikanische Modell Hub-and-Spoke – Struktur (Passagiere müssen häufig während ihrer Reise umsteigen) Ziel – „through value“–Maximierung (der erwartete Ertrag + „die Attraktivität“ der Verbindung) Plus spezielle Wartungsrestriktionen (Besuch einer Wartungsstation nach bestimmter Zeit)

Amerikanisch Europäisch Das europäische Modell Keine Hub-and-Spoke – Struktur Eine kleine Flughafenanzahl in eigenem Land und viele in anderen Teilen Europas Fahrtunterbrechungen selten  „through value“ uninteressant. Wartungsarbeiten als virtuelle Flüge  schon im Flugplan modelliert Ziel – Reduzierung des Verspätungsrisikos

Amerikanisch Europäisch Das europäische Modell Eine relativ geringe Anzahl der Nachflüge Verspätungen können sich nicht über die Nacht anhäufen Zerlegung in Teilprobleme (Optimierung für jeden Tag)

Rotation Regeln Man definiert bestimmte Regeln für Rotationen Regelverletzung = Strafkosten Man sucht Rotationen mit der minimalen Summe von Strafen aus (geringe Verspätungsgefahr)

Rotation Regeln Lokale Regeln (2-Leg-Regel) eine bestimmte minimale Bodenzeit zwischen 2 Legs (Treibstoff, Inspektionen), Meidung der luftverkehrskritischen Flughäfen, 4 weitere Regeln. Nicht-lokale Regeln (n-Leg-Regel) nur bis zur x Besuchen der luftverkehrs-kritischen Flughäfen für ein Flugzeug pro Tag, nur eine bestimmte Anzahl von aufeinander-folgenden Legs mit nur minimaler Bodenzeit, eine propagierte minimale Bodenzeit für eine Route (Bodenzeit-Puffer). Die luftverkehrskrische Flughäfen – Flughäfen mit einem sehr großen Verkehrsvolumen. Da Verzögerungsrisiko groß. Propagierte Bodenzeit hängt von der Struktur des Teilpfades ab und davon, ob Verspätungen sich aufeinander häufen können. Nicht-lokale Regeln sind schwerer zu behandeln.

Der Graph Für jeden Flughafen i{1,...,n} Ai – Menge der Ankunftsknoten Di – Menge der Abflugknoten Ei – Menge der Kanten Falls es möglich ist ein Leg (mit dem Ankunftsknoten aAi) mit einem anderen Leg (mit dem Abflugknoten dDi) zu verbinden, fügt man eine Kante eadEi ein.

Der Graph Man ordnet jedem startenden Leg ein ankommendes Leg zu.  Ergebnis ist ein D-perfektes Matching Schwarze Knoten – Anfangsknoten.(kennzeichnet Start verschiedener Routen) Nicht-lokale Regeln können nicht in die Matching-Formulierung integriert werden. Integration von lokalen Regeln – man gewichtet jede Kante (a,d)E mit bestimmten Strafkosten c(a,d)R+, falls eine lokale Regel verletzt wurde. Rotationsproblem  ein minimales gewichtetes D-perfektes Matchingsproblem

ILP Sei P eine Menge von Teilpfaden. Jeder PP bestehet aus einer Folge von Kanten P=e1e2...ek. Sei |P|:=k die Länge des Pfades P Für jeden Pfad PP definiert man Strafkosten PR+ (bei einer Verletzung von nicht-lokalen Regeln) Für jede Kante (a,d)E definiert man eine binäre Variable 1, falls Kante (a,d) zu der Lösung gehört X(a,d)= 0, sonst. 1, falls jede Kante e aus dem Pfad P in der Lösung yP= vorkommt 0, sonst. Für jeden Pfad PP definiert man eine binäre Variable

ILP Optimale Lösung dieses linearen ganzzahligen Programms ist die optimale Lösung des Rotationsproblems Zielfunktionen – Summe aller Strafkosten. (1) und (2) zusammen mit der Binärbedingung für x-Variablen sichern, dass x-Teil der Lösung immer ein D-perfektes Matching definiert. (Aus (1) folgt, dass jeder Ankunftsknoten mit höchstens einer Kante verbunden werden darf. Aus (2) folgt, dass jeder Abflugknoten genau mit einer Kante verbunden werden darf. So sorgt der x-Teil für lokale Regeln

ILP ... Bei yP=1 für alle PP , ist diese Restriktion immer gültig und beeinflusst den x-Teil der Lösung nicht.  Es gibt immer eine gültige Lösung des ILP‘s. Problem – mehrere Tausende Da P0 für alle PP und Z minimiert werden soll, ist yP nur dann ungleich 0,wenn (d.h. wenn der x-Teil der Lösung eine Route definiert, die den Pfad P enthält)

ILP Problem Flugpläne enthalten Tausende solcher Teilpfade. Sie belasten das ganzzahlige lineare Programm mit einer sehr großen Zahl der Restriktionen und Variablen

Exkurs: Lagrange-Relaxation Gegeben ist ein gemischt-ganzzahliges Programm A ist eine mxn und D eine kxn-Matrix Angenommen, das Problem lässt sich ohne die Menge der Ungleichungen Ax  b relativ einfach lösen. Sei uRm ein Vektor der nicht-negativen Multiplikatoren  Entferne Ax  b und erweitere die Zielfunktion um den nicht-negativen Term u(b-Ax)

Exkurs: Lagrange-Relaxation Die optimale Lösung für einen festen u ist eine obere Schranke für Z (da u(b-Ax)0). Also, ZD(u)  Z für alle u  0 Wie bestimmt man nun u, so dass die obere Schranke möglichst „eng“ zu der optimalen Lösung wäre? Idealerweise soll u das folgende duale Problem lösen:

Exkurs: Lagrange-Relaxation ZD(u) ist konvex und differenzierbar, bis auf die Punkte, an denen das Lagrage-Problem mehrere optimale Lösungen liefert.  Subgradientenverfahren Nutzt die Steigung der Funktion ZD(u) An differenzierbaren Punkten ist die Steigung durch b-Ax gegeben An nicht differenzierbaren Punkten sucht man eine beliebige alternative optimale Lagrage-Lösung aus.

Exkurs: Lagrange-Relaxation Subgradientenverfahren - Definiert eine Folge, die rekursiv definiert ist: Wobei tk – Schrittgröße xk – eine optimale Lösung des Lagrange-Problems Z(uk). Für die Schrittgröße tk ist folgende Formel effektiv Bei der Bestimmung der Folge „lambda“ startet man oft mit einem Wert lambda=2 und halbiert ihn immer, wenn ZD(uk) sich nach einer bestimmten Anzahl an Iterationen nicht verbessert. Der zulässige Wert von Z* kann am Anfang auf 0 gesetzt werden. Falls eine uk erreicht wurde, so dass ZD(uk)=Z* , ist auch die optimale Lösung erreicht. Sonst kann das Subgradientenverfahren keine Optimalität garantieren. Man grenzt aber die Gesamtanzahl der Iterationen ab, damit der Optimierungsprozess terminiert. Z* - Zielfunktionswert der best erreichten zulässigen optimalen Lösung des Hauptproblems

Lagrange-Relaxation Zurück zu unserem Problem

Subgradienten-Optimierung Lagrange-Multiplikatoren: mit Wobei (x(k),y(k)) – optimale Lösung der Lagrange-Relaxation ZD(uk) Die Schrittgröße ist definiert:

Subgradienten-Optimierung Starte mit P=0 und =1,9 Keine Verbesserung nach 5 Iterationen  halbiere  Wurde Z* aktualisiert  setzte =1,9 Setze nur positive Multiplikatoren ein und entferne sie, sobald ihren Wert gleich 0 ist. In jeder Iteration wird das Lagrange-Problem gelöst und eine zulässige Lösung des Rotationsproblems geliefert. (immer gegeben, da der x-Teil immer ein gültiges D-perfektes Matching liefert)

Lösung des Unterproblems Bis zu 98% der Laufzeit wird zur Lösung des Unterproblems verbraucht (ein bipartites Matchingproblem) Problemreduktion viele Kanten können nicht einen Teil der Lösung sein  Preprocessing Effektive Lösungsansätze für das Matchingproblem Oft nur kleine Änderungen der Kantengewichte  „nächste“ optimale Lösung ändert sich nur leicht Das bipartites Matchingproblem als unkapazitiertes Transportproblem formulieren und mit einer speziellen Variante des Netzwerk-Simplex lösen.

Ergebnisse Getestet für 7 verschiedene Flotten (4 große und 3 kleine) Laufzeit für jede Flotte <5 sec. (SUN Ultra 4 Workstation mit 300 Mhz) Durchschnittlich 30%-60% weniger Regelnverletzungen Regel I – propagierte minimale Bodenzeit.

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