Problemlösen im Mathematikunterricht Michael Rüsing B. M. V. – Schule Bardelebenstraße 9 45147 Essen michael@ruesing-essen.de

Voraussetzungen Problemlösen kann man nur durch Problemlösen lernen Problemlösen muss ein durchgehendes Prinzip im Mathematikunterricht sein Problemlösestrategien können in allen Gebieten der Mathematik erfahren und eingeübt werden Schulbuchaufgaben müssen Anlässe zum Problemlösen bieten

Abgrenzung Problemlösen - Modellieren (so wie es die Kernlehrpläne in NRW verstehen) Modellieren: Arbeiten in außermathematischen Kontexten Problemlösen: Arbeiten in innermathematischen Situationen, nachdem das Modell aufgestellt worden ist

- überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen Klasse 6: -  wenden die heuristischen Strategien „Beispiele finden“, „Überprüfen durch Probieren“, „Unterscheiden und Abarbeiten verschiedener Fälle“ an -  übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Rechenoperationen, Terme, Gleichungen, geometrische Darstellungen, Diagramme) Klasse 8: -  überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen -  wenden die heuristischen Strategien „Spezialfälle finden“ und „Verallgemeinern“ an und variieren damit die Problemstellung -  nutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung Klasse 10: -  zerlegen komplexe Probleme in Teilprobleme -  nutzen verschiedene heuristische Strategien („Zerlegen“, „Analogie bilden“, „Zurückführen auf Bekanntes“, „Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten“) und bewerten ihre Praktikabilität

Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien Systematisches Probieren Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten Transformation in eine andere Darstellungsart -         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle Mustererkennung Reduktion des Schwierigkeitsgrades -         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe Zerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien Systematisches Probieren Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten Transformation in eine andere Darstellungsart -         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle Mustererkennung Reduktion des Schwierigkeitsgrades -         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe Zerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

Strategie: Suche das Nachbarfeld mit der größeren Zahl Darstellung des Weges: Polygonzug Codierung u-r-r-r-u-r-u

Problem der Eindeutigkeit der Lösung

7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 7 0 0 5 0 7 0 0 0 5 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 7 0 0 5 0 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 0 7 5 5 7 0 0 0 5 0 7 0 0 5 0 0 7 0 5 0 0 0 7 0 5 7 0 0 0 5 0 7 0 0 5 0 0 7 0 0 5 7 0 0 0 5 0 7 0 0 0 5 7

7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 7 0 0 5 0 7 0 0 0 5 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 7 0 0 5 0 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 0 7 5 Strategie „Durchschieben“ 4 7 5 0 0 0

7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 7 0 0 5 0 7 0 0 0 5 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 7 0 0 5 0 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 0 7 5 Strategie „Durchschieben“ 4 3 2 1 7 5 0 0 0 7 5 0 0 0

Ergänzende Problemstellung: Wie viele unterschiedliche Wege gibt es von A nach E?

Ergänzende Problemstellung: Wie viele unterschiedliche Wege gibt es von A nach E? Wende die Strategie „Durchschieben“ an 7 Buchstaben: 4 x r und 3 x u u u u r r r r 5 Positionen u r u u r r r 4 Positionen r u u u r r r 4+3+2+1 Pos u r r u u r r 3 Positionen r r u u u r r 3+2+1 Pos u r r r u u r 2 Positionen r r r u u u r 2+1 Pos u r r r r u u 1 Position r r r r u u u 1 Pos

Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien Systematisches Probieren Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten Transformation in eine andere Darstellungsart -         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle Mustererkennung Reduktion des Schwierigkeitsgrades -         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe Zerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Übertragung in eine andere Darstellung K > A; K > J K > L; F > L F > N; F an Position 1; N an Position 2 F > N > K; die Reihenfolge von A, L und J ist unbestimmt

Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Übertragung in eine andere Darstellung K > A; K > J K > L; F > L F > N; F an Position 1; N an Position 2 Weitere Fragestellungen: Welche Aussage war überflüssig?

Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Übertragung in eine andere Darstellung K > A; K > J K > L; F > L F > N; F an Position 1; N an Position 2 F < L Weitere Fragestellungen: Ersetze (2) durch „Florian ist jünger als Leila.“

5. Stunde Arbeit am Vormittag Lehrling in einer Stunde Maler in einer Stunde

Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien Systematisches Probieren Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten Transformation in eine andere Darstellungsart -         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle Mustererkennung Reduktion des Schwierigkeitsgrades -         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe Zerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

n3 = 3² + 2 · 3

n3 = 3² + 2 · 3 n3 = 4² - 1 n100 = 100² + 2 ·100 n100 = 101² - 1

Ergänzung: Bestimme Umfang und Flächeninhalt der Figur im 100. Schritt

Flächeninhalt: 1 2 3 4 +1 Rechteckmuster mit Anfangswert 1 und Additionszahl 1

Umfang: 4 6 8 10 +2 Rechteckmuster mit Anfangswert 4 und Additionszahl 2

Verschiedene Zählweisen für die 4. Figur 2 · 101 2 · 100 + 2 101 · 2 2 · 5 2 · 4 + 2 5 · 2

Paradoxon des Zenon (Klasse 11) Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/s Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s Vorsprung 10 m Argumentations-schritt Zeitpunkt Ort von Achill Ort der Schildkröte Vorsprung 10 1 15 5 2 1,5 17,5 2,5 3 1,75 18,75 1,25 4 1,875 19,375 0,625

Paradoxon des Zenon (Klasse 11) Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/s Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s Vorsprung 10 m Argumentations-schritt Zeitpunkt Ort von Achill Ort der Schildkröte Vorsprung 10 1 15 5 2 1,5 17,5 2,5 3 1,75 18,75 1,25 4 1,875 19,375 0,625

Paradoxon des Zenon (Klasse 11) Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/s Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s Vorsprung 10 m Argumentations-schritt Zeitpunkt Ort von Achill Ort der Schildkröte Vorsprung 10 1 15 5 2 1,5 17,5 2,5 3 1,75 18,75 1,25 4 1,875 19,375 0,625 = 10 · 1 = 10 · 1,5 = 10 · 1,75 = 10 · 1,875

Paradoxon des Zenon (Klasse 11) Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/s Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s Vorsprung 10 m Argumentations-schritt Zeitpunkt Ort von Achill Ort der Schildkröte Vorsprung 10 1 15 5 2 1,5 17,5 2,5 3 1,75 18,75 1,25 4 1,875 19,375 0,625 = 10 · 1 = 10 · 3/2 = 10 · 1,5 = 10 · 1,75 = 10 · 7/4 = 10 · 1,875 = 10 · 15/8

Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien Systematisches Probieren Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten Transformation in eine andere Darstellungsart -         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle Mustererkennung Reduktion des Schwierigkeitsgrades -         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe Zerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

E 6.4 Eine Klassenfahrt wird geplant   Die Klasse 6c will eine Wanderfahrt machen. Es soll ins 165 km entfernte Waldbach gehen. Dort wollen die 32 Schülerinnen und Schüler mit zwei Begleitern 5 Tage lang in der Jugendherberge bleiben. An einem Tag ist die Besichtigung der nahe gelegenen Burg ‚Schreckenstein’ mit einer Führung geplant. Nun unterhalten sich die Schülerinnen und Schüler darüber, wie viel jeder einzelne bezahlen muss.

Ergänze die unvollständigen Sprechblasen und setze das Gespräch fort. Die 1. Sprechblase kann in die Sprache der Mathematik übersetzt werden: Einzelkosten = Gesamtkosten : Schülerzahl Übersetze die weiteren Sprechblasen und auch deine Fortsetzung des Gespräches in die Sprache der Mathematik. Vergleiche die Reihenfolge, in der du schließlich rechnen kannst mit der Reihenfolge des Sprechblasen.  

Die gesamte Abfolge kann in einem Lösungsplan übersichtlich zusammengestellt werden. Der Anfang ist hier schon vorgemacht. = Gesamtkosten : Schülerzahl Einzelkosten = = Fahrkosten + + Welche Informationen aus den Angeboten werden zum Lösen der Aufgabe nicht benötigt?

Busse Reisen, 57823 Neustadt Angebot Auf Ihre Anfrage vom 13.5. machen wir folgendes Angebot: Bus mit 38 Plätzen Waldbach (165 km) hin und zurück zum Gesamtpreis von 800 €. Wir würden uns freuen, Ihre Klasse zu fahren.

Jugendherberge Waldbach Wir danken für Ihre Anfrage und teilen Ihnen hiermit unsere Preise mit: Tagessatz einschließlich Verpflegung 26,00 € pro Person. Bei Gruppen von mehr als 25 Personen gewähren wir zwei Freiplätze. Wir freuen uns auf Ihren Aufenthalt in unserer Herberge

Burg Schreckenstein – die Attraktion von Waldbach Öffnungszeiten täglich von 10.00 Uhr bis 18.00 Uhr Eintritt: Kinder bis 14 Jahre 1,50 € Jugendliche / Erwachsene 2,50 € Gruppen ab 10 Personen 1,20 € pro Person Für Gruppen bieten wir qualifizierte Führungen zum historischen Hintergrund an. Preis für die gesamte Gruppe 40,00 €

Fazit In modernen Schulbüchern lassen sich Aufgaben zur Problemlösekompetenz finden In vielen dieser Aufgaben steckt weiteres Potential Ergänzungen der vorgegebenen Aufgaben sind oft sinnvoll Wir müssen unseren Blick für Problemlöseaufgaben schärfen