Kombinatorische Topologie in der 3d Geomodellierung

Können wir mit Punktmengen geomodellieren? ein geologischer Körper besteht aus einer unendlichen Menge von Punkten (Kristalle,Atome,Strings, ...) im 3d-Raum Betrachtung der geologischen Körper als topologische Punktmengen mit Innerem und Rand (d.h. geol. Grenzfläche) Das Problem: unendliche Mengen kann man nicht im Computer speichern

Die Lösung: Abstraktion durch Diskretisierung Die Idee: Alle Punkte einer Grenzfläche lassen sich als durch Triangulation interpolierte Punktmenge darstellen Die Grenzfläche teilt den Raum in 2 topologische Punktmengen der geologische Körper wird durch die Punktmenge in der geschlossenen Grenzfläche repräsentiert

Im Modell mit mehreren Objekten: Grenzflächen unterteilen den Raum in topologische Räume, die geologischen Einheiten entsprechen z.B. 2 Schichten, 1 Störung, 1 Box => 5 Räume: ... wo ist der 5. Raum?

Zellen im Detail: 0d, 1d, 2d, 3d Standardmethode in CAD: Modellierung von Objekten durch simpliziale Zell-komplexe ein simplizialer Komplex besteht aus einer Menge gleichartiger, n-dimensionaler Simplex-Zellen: 0d - Punkt 1d - gerade Kante 2d - Dreieck 3d - Tetraeder

Zell-Hierarchie Simplexe höherer Dimension sind aus Simplexen niederer Dimension (Teilsimplexen) aufgebaut: Tetraeder besteht aus Grenzfläche + Innerem, Grenzfläche besteht aus 4 Dreiecken Dreiecke bestehen aus Rand(=3 Kanten) + Innerem Kanten bestehen aus 2 Knotenpunkten + Innerem

Simpliziale Komplexe Ein Simplizialkomplex besteht aus zusammenhängenden Simplexen. Beispielmodell mit 3 Simplizialkomplexen: in Gocad: 1 surface-Objekt "Störung" bestehend aus 1 part 1 surface-Objekt "Schichtgrenze" bestehend aus 2 parts

Von einzelnen Grenzflächen zu topologischen Geomodellen

Von einzelnen Grenzflächen zu topologischen Geomodellen 2d-Simplizialkomplexe =triangulierte Punktmenge, Fläche Doch was passiert an den Berührungslinien mehrerer Flächen? (Berührungslinie = topologischer Rand der Fläche)

Boundary Representation (BRep)- Weiler Modell Hierarchisches topologisches Modell zur Behandlung nicht-mannigfaltiger Topologie (d.h. Elemente höherer Dimensionalität grenzen an Objekte niederer Dimensionalität) Region (topologischer 3d Raum, 3d-Makrozelle) Shell (Menge der Grenzflächen einer Region) Face (eine Grenzfläche) Loop (aneinandergrenzende Kanten einer Fläche) Edge (Kante) Vertex (Knotenpunkt)

Kante trifft Fläche:

Simpliz. Komplexe + Weiler Modell Realisierung in Gocad: Kombination von Simplizialkomplexen und Weiler - Modell

Beispiel - Gocad Model3d Datei TSURF 2 boxGrenze ... TSURF 1 innereGrenze REGION 3 Universe -2 REGION 4 innen +1 REGION 5 aussen +2 -1 - + - +

Geometrie und Topologie Das topologische Modell ist abhängig von der Geometrie der Stützpunkte 2 Möglichkeiten der Modellerstellung: 1. ein topologisches Weiler-Modell kann aus einer Menge sich schneidender Flächen erzeugt werden (in Gocad: Model3d). Die Topologie ist hier implizit durch die Geometrie definiert. 2. man definiert die Topologie explizit, dann kann sie bei der Modellerstellung berücksichtigt werden (z.B. automatisches Beseitigen von Lücken durch snapping). Dabei wird die Geometrie der Topologie angepasst.

Zusammenfassung Ein Gocad-Geomodell umfasst im allgemeinen: hierarchische Diskretisierung in topologische Zellen in 2 Stufen Mikro-Zellen (Simplizialkomplexe) (triang. Surfaces mit Triangles, Segments, Nodes) Makro-Zellen (Weiler Modell) (Model3d mit Regions, Faces, Borders, BorderStones) Geometrie wird nur für Nodes der Mikro-Zellen definiert, sonst (meist linear) interpoliert Topologie und Geometrie werden auch im Datenformat getrennt gespeichert.

Vorteile der topologischen Geomodellierung Konsistenz: es gibt keine Lücken (...Vakuum) im Modell oder Überlappungen (ein Punkt kann nicht gleichzeitig zu 2 geol. Einheiten gehören) Änderungen der Geometrie (z.B. Faltung) sind möglich, ohne die Topologie zu ändern (topologische constraints) man kann die geologischen Strukturen (= topologische Grenzflächen) später bei der Modellierung von Eigenschaften in Gittern berücksichtigen Definition von Nachbarschaftsbeziehungen (GIS)

Der letzte Schrei: GMaps Datenstruktur für n-dimensionale kombinatorische Topologie einfacher geht's nicht: generalized maps haben nur einen Datentyp: Dart Darts stehen in Beziehung: Inzidenzgraph Vorteil gegenüber Weiler-Modell: generische, algebraische Formulierung

GMaps: Inzidenz-Graph, Beispiel

Topologie und Wahrscheinlichkeit Kann ein Punkt zu mehreren Regionen gehören? eineindeutige Abbildung Natur ↔ topolog. Geo-Objekt ist bei kategoriellen Variablen (z.B. stratigraph. Einheit) möglich, wenn man die Geometrie exakt kennt Geodaten haben Unsicherheiten → Punkt a gehört mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit 0.5<p<1 zu Geo-Objekt "Granit" "fuzzy kombinatorische Topologie" gibt es nicht Lösungen: Berechnung der Zugehörigkeits-Wahrscheinlichkeit p, und Speicherung von p mit den Stützpunkten der Grenzflächen oder in einem Voxet-Gitter Erstellen mehrerer Modelle (z.B. pGranit=1, pGranit=0.5) p(kalk)=1 p(kalk,granit)=0.5 a p(granit)=1 y x