Planares 3 SAT ist NP-vollständig Seminar über Algorithmen SS 07 Jale Hayta

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Gliederung Beweisidee 3SAT Graph von 3SAT 3SAT G(B)G(B‘) Planares 3SAT Beweis und Beispiel Quellen Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Beweisidee 3SAT liegt in NP und ist bekanntermassen NP-vollständig. Hier konkret: 3SAT ≤P P3SAT Das heißt: NP-Schwerheit muss bewiesen werden. Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Gegeben sind m Klauseln mit n Variablen in konjunktiver Normalform und jede Klausel enthält höchstens 3 Literale Gegeben sind Boolesche Variablen x1,…,xn . Zu jeder Variablen gibt es 2 mögliche Literale x und ¬x Alle Klauseln müssen mind. ein wahres Literal haben, damit die Formel erfüllt ist. 3-SAT ist NP-vollständig. Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Graph von 3SAT1 Definition: Sei B eine 3SAT Formel. Dann gilt G(B) = (N,A) N=cj|1 ≤ j ≤ m  vi|1 ≤ i ≤ n. A= A1A2, wobei gilt: A1 =  ci,vj |vj ci oder vj ci  A2 =  vj,vj+1 |1≤ j<n vn,v1  Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Graph von 3SAT2 Gegeben ist eine 3SAT Formel B, zu der es einen Graphen G(B) gibt. Dieser muss nicht unbedingt planar sein (kann aber). Bsp: B=(a+¬b+c)(c+d) a b c d Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

3SAT G(B)G(B‘) Planares 3SAT Das Ziel ist ein G(B) in polynomieller Zeit umzuwandeln in G(B‘) planar, sodass B‘ P3SAT* Formel. Es muss gelten: B ist erfüllbar  B‘ ist erfüllbar. * P3SAT – Planares 3SAT Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Beweis und Beispiel1 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Beweis und Beispiel2 ci cj Hier ein kleiner Auszug aus der Grafik zuvor. Das Problem hier ist die Kreuzung der Leitungen. a b Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Beweis und Beispiel3 Hier Negationen nicht erkennbar,daher ist eine Spezifikation nötig! Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Beweis und Beispiel4 Eine Kreuzung wird durch ein Gadget ersetzt. Hilfsvariablen { ,,, ,} und {a1,a2,b1,b2} werden eingeführt. Annahme laut Graphen: X ist erfüllbar  [a  a1], [b  b1] Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Spezifikation zu G(X) Der Graph G(B) wird durch einen Subgraphen G(X) ersetzt, der wie folgt spezifiziert ist: (a2+b2+) (a2+) (b2+) ,i.e. a2b2  ; (a2+b1+)(a2+)(b1+), i.e. a2b1  ; (a1+b1+)(a1+)(b1+), i.e.  a1b1  ; (a1+b2+)(a1+)(b2+), i.e.  a1b2  ; (+++); (+) (+) (+) (+); (a2+a) (a+a2)(b2+b) (b+b2), i.e. a  a2, b  b2; Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Spezifikation zu G(X) Der Graph G(B) wird durch einen Subgraphen G(X) ersetzt, der wie folgt spezifiziert ist: (a2+b2+) (a2+) (b2+) ,i.e. a2b2  ; (a2+b1+)(a2+)(b1+), i.e. a2b1  ; (a1+b1+)(a1+)(b1+), i.e.  a1b1  ; (a1+b2+)(a1+)(b2+), i.e.  a1b2  ; (+++); (+) (+) (+) (+); (a2+a) (a+a2)(b2+b) (b+b2), i.e. a  a2, b  b2; Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Gadget Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Gadget2 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Gadget3 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Spezifikation von G(X)2 Der Graph G(B) wird durch einen Subgraphen G(X) ersetzt, der wie folgt spezifiziert ist: (a2+b2+) (a2+) (b2+) ,i.e. a2b2  ; (a2+b1+)(a2+)(b1+), i.e. a2b1  ; (a1+b1+)(a1+)(b1+), i.e.  a1b1  ; (a1+b2+)(a1+)(b2+), i.e.  a1b2  ; (+++);  (++)(++ ) (+) (+) (+) (+); (a2+a) (a+a2)(b2+b) (b+b2), i.e. a  a2, b  b2; Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Gadget4 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Beweis „”: Gesucht: Wie sind (,,,) in X belegbar? X ist erfüllbar  X eine der erfüllbaren Belegungen annimmt. „“: Gesucht: Belegungen für a und b. a und b müssen Belegungen haben, sodass X erfüllbar wird. Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Kreuzungsproblem gelöst C i a C i a 1 Beides richtig da offensichtlich gelten muss: a1a Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig A= A1A2 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Beispiel3 Die Formel ändert sich, aber durch die Modifikation ändert sich nicht die Erfüllbarkeit. □ Jede Kreuzung wird durch ein Gadget ersetzt. Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Bibliographie D. Lichtenstein; Planar formulae and their uses. SIAM Journal on Computing 11 (1982), 329-343; D. E. Knuth and A. Raghunathan: The problem of compatible representatives. SIAM Journal on Discrete Mathematics 5 (1992), 422-427. Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig Danke! Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig