Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 1 Termalgebren Definition "Freie Algebra" Die -Algebra A = [A, F ] heißt frei mit dem freien Erzeugendensystem X (über der Klasse aller -Algebren) gdw. X Erzeugendensystem von A ist, so daß für jede -Algebra B = [B, G ] und jede eindeutige Abbildungsfamilie 0 von X in B genau einen -Homomorphismus von A in B existiert, der 0 fortsetzt. Kapitel 4

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 2 A B 0 X A frei über X:

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 3 Isomorphie freier Algebren: A = [A, F ] und B = [B, G ] seien zwei freie -Algebren mit den freien Erzeugendensystemen X bzw. Y. Dann gilt: A und B sind isomorph, wenn ihre freien Erzeugendensysteme X bzw. Y sortenweise gleichmächtig sind. ' ' Beweisidee: Wegen der Gleichmächtigkeit von X und Y gibt es eine 1-1-Abbildung von X auf Y, die man wegen der Freiheit von A zu einem Homomorphismus ' von A in B fortsetzen kann. Die inverse Abbildung -1 kann analog wegen der Freiheit von B zu einem Homomorphismus ( -1 )' von B in A fortgesetzt werden. Um A B zu sehen, überzeuge man sich davon, daß beides Epimorphismen sind und zueinander invers.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 4 Syntaxanalyse (p (r q)) keine Variable, zu im(neg): keine Variable, zu im(con): (p (r q)) p (r q) Variable keine Variable, zu im(alt) (r q) r q Variable keine Variable, zu im(neg) q Variable

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 5 Definition "PEANO-Algebra" Eine -Algebra E = [(E s ) s S, (f ) ] heißt -Ausdrucksalgebra ( -Termalgebra) über dem Alphabet X oder auch - PEANO -Algebra über der PEANO -Basis X genau dann, wenn X = (X s ) s S und für alle s S ist X s E s, und die sogenannten verallgemeinerten PEANO -Axiome gelten. Die Elemente von E s heißen dann Terme oder Ausdrücke der Sorte s, die von X s heißen Variablen der Sorte s.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 6 Definition "PEANO-Algebra" Die verallgemeinerten PEANO -Axiome sind die folgenden Bedingungen: (P1) s a ( o ( ) = s a E i ( ) f ( a ) X ) (P2) 1 2 s a b ( 1, 2 o ( 1 )=o ( 2 )= s a E i ( 1 ) b E i ( 2 ) f 1 ( a ) = f 2 ( b ) 1 = 2 a = b ) (P3) [X] E = E

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 7 Fallunterscheidungssatz für Termalgebren: Ist E eine -Termalgebra über X, so gilt für alle e E: Es gibt ein s S und es ist entweder e X s oder es existiert genau ein mit o ( ) = s und genau ein Ausdruckstupel (e 1,e 2,...,e n ) E i ( ) mit e = f (e 1,e 2,...,e n ). Beweis: Wegen (P3) und dem Darstellungssatz für die algebraische Hülle ergibt sich die Behauptung trivialerweise aus den Bedingungen (P1) und (P2).

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 8 Folgerung: Ist E -Termalgebra über X, so gilt für alle s S : X s = E s \ im ( f ). Mit der Angabe einer -Termalgebra E = [E, F ] ist damit zugleich ihr Alphabet X festgelegt. o ( ) = s

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 9 Definition "homomorphe Fortsetzung einer Belegung" Es sei A = [A, F] eine -Algebra und E = [E, G] eine -Ausdrucksalgebra über dem Alphabet X. Jede eindeutige Abbildung : X A heißt A -Belegung von X. Eine eindeutige Abbildung *: E A, die für alle s S folgenden Gleichungen 1. s *(x) = s (x) für alle x X s und 2. s *(g (e 1,e 2,...,e n )) = f ( * w (e 1,e 2,...,e n )) alle mit ( ) = (w,s) und alle (e 1,e 2,...,e n ) E w genügt, heißt homomorphe (oder natürliche) Fortsetzung der A -Belegung von X. Die Voraussetzung E = [E, F ] -Termalgebra ist wesentlich.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 10 Fortsetzungssatz für Termalgebren: Es sei A = [A, F] eine -Algebra und E = [E, G] eine -Ausdrucksalgebra über dem Alphabet X. Dann existiert zu jeder A -Belegung von X genau ein Homomorphismus * von E in A, der über X mit übereinstimmt. Dieser ist die homomorphe Fortsetzung von. Beweis: Die Existenz einer homomorphen Fortsetzung * ergibt sich aus dem Fallunterscheidungssatz sofort. Außerdem ist * wegen 2. Gleichung Homomorphismus von E in A. Die Eindeutigkeit folgt aus dem Satz von der Eindeutigkeit der homomorphen Fortsetzung.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 11 Folgerung: Jede - PEANO -Algebra über X ist also freie Algebra mit dem freien Erzeugendensystem X über der Klasse aller -Algebren. E * A X

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 12 Isomorphie von PEANO-A lgebren: Zwei - PEANO -Algebren A = [A, F] und B = [B, G] sind isomorph genau dann, wenn ihre PEANO -Basen X bzw. Y sortenweise gleichmächtig sind. Beweis: Einfach wegen dem vorigen Satz und dem Satz über die Isomorphie freier Algebren, die umgekehrte Richtung ergibt sich leicht aus der Folgerung zum Fallunterscheidungssatz für Termalgebren.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 13 Konstruktion von Ausdrucksalgebren Definition "Standardtermalgebra" Sei = (S,, ) Signatur und sei X = (X s ) s S eine disjunkte Mengenfamilie, die auch zu disjunkt ist. Die Mengen T i,s, i Nz, s S seien folgende Mengen endlicher Folgen: T 0,s = X s { | ( ) = (s) }, T i+1,s = T i,s { t 1 t 2,...t n | w( ( ) = (w,s) (t 1,t 2,...,t n ) T i w }. Weiter bezeichne T s = T i,s i Nz und T (X) = ( T (X) s ) s S = ( T s ) s S.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 14 Konstruktion von Ausdrucksalgebren noch zur Definition "Standardtermalgebra" Bezeichnet nun f für jedes mit ( ) = (w,s) die Funktion f : T (X) w T (X) s vermöge f (t 1,t 2,...,t n ) = t 1 t 2,...t n für alle (t 1,t 2,...,t n ) T (X) w mit w und f ( ) =, dann ist T (X) = [ T (X), ( f ) ] eine -Algebra und heißt Standardtermalgebra T (X) der Signatur über dem Variablensystem (dem Alphabet) X.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 15 Rechtfertigung der Bezeichnung: Die Standardtermalgebra T (X) über X ist eine PEANO -Algebra über X. Beweis: durch Nachweis der verallgemeinerten PEANO -Axiome Folgerung: Jede - PEANO -Algebra über X ist isomorph zur Standardtermalgebra T (X).

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 16 Initialität: Für jede -Algebra A gibt es genau einen Homomorphismus h A : T A. In der Definition von T (X) kann X auch als S-sortige Familie leerer Mengen X = = ( ) s S gewählt werden. Definition "Grundterme" Es wird gesetzt: T = T ( ) und T = T ( ). Die Elemente von T heißen (Standard-)Grundterme.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 17 "frei ist PEANO sch": Ist die -Algebra A = [A, F] frei über der Klasse aller -Algebren mit dem freien Erzeugendensystem X, welches zu disjunkt ist, so ist A eine - PEANO - Algebra über der PEANO -Basis X. Beweis: durch Nachweis der verallgemeinerten PEANO -Axiome Folgerungen: 1. Ist A eine freie Algebra mit einem freien Erzeugendensystem X, so ist dieses eindeutig bestimmt. 2. Freie Algebren A und B sind isomorph genau dann, wenn ihre freien Erzeugendensysteme sortenweise gleichmächtig sind.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 18 Jede freie -Algebra A, frei über X, ist isomorph zur Standardtermalgebra T (X) vermöge eines X festlassenden Isomorphismus. A T (X) injektiv! X X

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 19 Zusammenfassung Begriff Charakterisierungen

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 20 Äquivalenz der drei Charakterisierungen für Termalgebren: Für jede -Algebra A = [A, F] und beliebige Teilfamilien X A sind folgende Aussagen äquivalent: 1. A ist - PEANO -Algebra über der PEANO -Basis X. 2. A ist frei in der Klasse aller -Algebren mit dem freien Erzeugendensystem X. 3. A ist isomorph zu T (X) vermöge eines X festlassenden Isomorphismus. Beweis: (1) (2) : Folgerung zum Fortsetzungssatz (Folie 11) (2) (1) : "frei ist PEANO sch" (Folie 17) (1) (3) : Folgerung zu T (X) ist PEANO -Algebra (Folie 15) (3) (2) : wird im folgenden noch gezeigt !

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 21 A * T (X) B X (3) (2) : = * Homomorphismus von A in B mit | X = ( * ) | X = * | X = * X = *| X =, also ist homomorphe Fortsetzung von.