Durchlaufen eines Binärbaumes - Baumdurchlauf (tree traversal): Verarbeitung aller Baumknoten gemäß vorgegebener Strukturierung - Rekursiv anzuwendende Schritte 1) Verarbeitete Wurzel: W 2) Durchlaufe linken UB: L 3) Durchlaufe rechten UB: R - Durchlaufprinzip impliziert sequentielle, lineare Ordnung auf der Menge der Knoten. 6 Möglichkeiten 1 2 3 4 5 6 W L L W R R L W R R W L R R W L L W Konvention: linker UB vor rechten UB

Preorder: besuche Wurzel, traversiere linken Teilbaum, 3 Strategien 1) Vorordnung ( preorder ): WLR 2) Zwischenordnung (inorder): LWR 3) Nachordnung (postorder): LRW Preorder: besuche Wurzel, traversiere linken Teilbaum, traversiere rechten Teilbaum Postorder: traversiere linken Teilbaum, traversiere rechten Teilbaum, besuche Wurzel Inorder : traversiere linken Teilbaum, besuche Wurzel, traversiere rechten Teilbaum Inorder heißt auch symmetrische Ordnung.

Beispiel: 28 12 34 16 19 49 8 29 15 31 Preorder: 28, 16, 12, 8, 15, 19, 34, 31, 29, 49 Postorder: 8, 15, 12, 19, 16, 29, 31, 49, 34, 28 Inorder: 8, 12, 15, 16, 19, 28, 29, 31, 34, 49 Hinweise: wenn man Baum von der Wurzel aus umfährt, erhält man Preorder durch Besuch aller Knoten, an deren linker Seite man vorbeikommt Postorder durch Besuch aller Knoten, an deren rechter Seite man vorbeikommt Inorder durch Besuch aller Knoten, an deren unterer Seite man vorbeikommt

Rekursive und Iterative Version: LWR - Rekursive Version : LWR LWR(Knotenzeiger Wurzel) { if (Wurzel != NULL) { LWR (Wurzel --> Lsohn); Verarbeite (Wurzel --> Info); LWR (Wurzel --> Rsohn); } } /* End LWR */

- Iterative Version: LWR Ziel: effizientere Ausführung durch eigene Stapelverarbeitung Vorgehensweise: Nimm, solange wie möglich linke Abzweigung und speichere den zurückgelegten Weg auf einen Stapel. Aktion 1: PUSH (S , Current); Current = Current --> Lsohn ; Wenn es links nicht mehr weiter geht, wird der oberste Knoten des Stapels ausgegeben und vom Stapel entfernt. Der Durchlauf wird mit dem rechten Unterbaum des entfernten Knotens fortgesetzt. Aktion 2: WriteString (TOP(S) --> Info) ; /*Verarbeite Info */ Current = TOP(S) --> Rsohn; POP(S);

Gefädelte Binärbäume - Weitere Verbesserung von iterativen Durchlaufalgorithmen - Methode benutzt einen „Faden“, der die Baumknoten in der Folge der Durchlaufordnung verknüpft. Zwei Typen von Fäden Rechtsfaden verbindet jeden Knoten mit seinem Nachfolgerknoten in Durchlaufordnung. Linksfaden stellt die Verbindung zum Vorgängerknoten in Durchlaufordnung her.

Einfügen Neue Knoten werden immer als Blätter eingefügt Aussehen des Baumes wird durch die Folge der Einfügungen bestimmt (Reihenfolge der Eingabeelemente!) Einfügen in binären Suchbäumen typedef struct Knoten { struct Knoten *Lsohn; Schluesseltyp Key; struct Knoten *Rsohn; } ; typedef struct Knoten *Kptr; Kptr Wurzel;

void Einfuegen (Knotenzeiger p, int k) { if ( p == NULL ) /* Leerer Baum */ p = (struct Knoten *) malloc (sizeof *p); p --> leftson = NULL; p --> rightson = NULL; p --> key = k; } else if (k < p --> key) Einfuegen( p --> leftson, k ) ; else if (k > p --> key ) Einfuegen ( p --> rightson, k ) ; else printf („Schluessel bereits vorhanden \n“);

Problem: es können "degenerierte" Bäume entstehen (etwa Listen). Entfernen eines Knotens: Sehr einfach: Entfernen eines Blattes Einfach: Entfernen eines Knotens p mit 1 Nachfolger: Knoten einfach durch Nachfolger ersetzen Schwieriger: Entfernen eines Knotens p mit 2 Nachfolgern: Suche am weitesten links stehenden Knoten q im rechten Teilbaum (symmetrischen Nachfolger). Ersetze p durch q, streiche q aus seiner ursprünglichen Position.

Knotenzeiger vatersymnach ( Knotenzeiger p) /* Liefert Zeiger auf Vater des symmetrischen */ /* Nachfolgers von p --> */ { if ( p --> rightson --> leftson == NULL) p = p --> rightson; while ( p --> leftson --> leftson == NULL) p = p --> leftson; } vatersymnach = p; return vatersymnach;

void Entfernen (Knotenzeiger p, int k) /* Entfernt Knoten mit Schluessel k aus Baum mit Wurzel p */ Knotenzeiger q ; { if (p == NULL) printf („Schluessel nicht im Baum \n“); if (k < p-->key) Entfernen ( p--> leftson, k); else if ( (k > p --> key) Entfernen (p --> rightson, k ); else if ( p --> leftson == NULL) p = p --> rightson ; else if (p --> rightson == NULL) p = p --> leftson ; else /* zwei Nachfolger */ { q = vatersymnach (p); if ( q == p ) { p --> key = q --> rightson.key ; q --> rightson = q --> rightson.rightson; } else { p --> key = q --> leftson.key; q --> leftson = q --> leftson.rightson ; } }

Suche in binären Suchbäumen Direkte Suche: (Vorgehensweise wie bei Suche nach Einfügeposition Suchen eines Knotens (rekursive Version) Suche ( Kptr Wurzel, Schluesseltyp Skey) { if (Wurzel == NULL) return NULL; else if (Wurzel --> Skey < Key) return Suche(Lsohn, Skey); else if (Wurzel --> Skey > Key) return Suche(Rsohn, Skey); else return Wurzel; }

Suchen eines Knotens (iterative Version) Finde (Ktpr Wurzel, Schluesseltyp Skey) { int Gefunden; Gefunden = FALSE; do { if (Wurzel == NULL) Gefunden = TRUE; else if(Wurzel --> Skey < Key) Wurzel = Lsohn; else if (Wurzel --> Skey > Key) Wurzel = Rsohn; else Gefunden = FALSE; } while (Gefunden = TRUE); return Wurzel; } Sequentielle Suche Einsatz eines Durchlauf-Algorithmus (Zwischenordnung)

Binäre Suchbäume: Zugriffskosten Kostenmaß: Anzahl der aufgesuchten Knoten bzw. Anzahl der benötigten Suchschritte oder Schlüsselvergleiche. sequentielle Suche direkte Suche Mittlere Zugriffskosten z eines Baumes B erhält man durch Berechnung seiner gesamten Pfadlänge PL als Summe der Längen der Pfade von der Wurzel bis zu jedem Knoten Ki. n PL ( B )=  Stufe (Ki) i = 1

Die mittlere Pfadlänge ergibt sich zu l = PL / n . Maximale Zugriffskosten Die längsten Suchpfade und damit die maximalen Zugriffskosten ergeben sich, wenn der binäre Suchbaum zu einer linearen Liste entartet. Höhe: h = lmax + 1 = n

Maximale mittlere Zugriffskosten: zmax = 1/n *  ( i + 1 ) * 1 = n * -------- = -------- = O (n) 2 2n i = 0 Minimale ( mittlere ) Zugriffskosten Sie können in einer fast vollständigen oder ausgeglichenen Baumstruktur erwartet werden. Gesamtzahl der Knoten: 2 h-1 -1 < n  2 h -1 Höhe h = [ log 2 n ] + 1 Minimale mittlere Zugriffskosten: z min  log 2 n - 1

Durchschnittliche Zugriffskosten Extremfälle der mittleren Zugriffskosten sind wenig aussagekräftig. Differenz der mittleren zu den minimalen Zugriffskosten ist ein Maß für die Dringlichkeit von Balancierungen. Bestimmung der mittleren Zugriffskosten zn i B l B r i - 1 Knoten n - i Knoten zi-1 zn - i

n verschiedene Schlüssel mit den Werten 1, 2, ..., n seien in zufälliger Reihenfolge gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Schlüssel den Wert i besitzt, ist 1/n. (Annahme: gleiche Zugriffswahrscheinlichkeit auf alle Knoten) Für den Baum mit i als Wurzel erhalten wir zn ( i ) = 1/n * ( ( zi-1 + 1 ) * ( i - 1) + 1 + ( zn-1 + 1) * ( n - i ) ) Die Rekursions-Gleichung lässt sich in nicht-rekursiver, geschlossener Form mit Hilfe der harmonischen Funktion n 1 i Hn =  darstellen. i =1

zn = 2 * ----------* Hn - 3 = 2 ln ( n) - c . n Es ergibt sich: ( n + 1 ) zn = 2 * ----------* Hn - 3 = 2 ln ( n) - c . n Relative Mehrkosten: z n 2 ln ( n ) - c 2 ln ( n ) - c --------- = ---------------  --------------- = 2 ln ( 2 ) = 1.386... z min log 2 ( n ) - 1 log 2 ( n ) Der ausgeglichene binäre Suchbaum verursacht für alle Grundoperationen die geringsten Kosten. Perfekte Balancierung zu jeder Zeit kommt jedoch sehr teuer.