Das Flussgitter affiner Punktkonfigurationen oder ein anderer lustiger Titel Robert Nickel, Winfried Hochstättler Mathematische Grundlagen der Informatik Institut für Mathematik Brandenburgische Technische Universität Cottbus

Outline Rundflüsse in Digraphen Punkte, Kreise und das Flussgitter Punkte in allgemeiner Lage Punkte in der Ebene “Graphische” Punktmengen

Kreise und Rundflüsse in Digraphen Kreis mit Umlaufsinn: Rundfluss Nichtnullfluss: Flusszahl: 1 -1 2 -2 1 -1 1 4 3 5 7 2 8 6 9

Punkte im Raum Satz von Radon (1952): Seien paarweise verschieden. Dann existiert für alle mit eine Partitionierung (Radon-Partition), so dass Zu jedem Digraphen existiert eine Punktmenge, deren Radon-Partitionen die gleiche Kreisstruktur definiert (graphische Punktmengen) S 1 2 3 4 5 6 7 S 123: +-+000 146: +00+0- 256: 0+00+- 345: 00+-+0 1245:+-0+-0 1356:+0+0+- 2346:0+-+0- 1 2 3 4 5 6 T S T T Radon-Partitionen verallgemeinern den Kreisbegriff in Digraphen (genauso Rundfluss, Nichtnull-Fluss, Flusszahl)

Reorientierung In Digraphen geschieht Reorientierung durch Umorientieren der Kanten Für Punktmengen benötigen wir etwas projektive Geometrie: Die Punkte befinden sich auf der projektiven Sphäre Reorientieren eines Elements bedeutet, dass anstelle des Punktes sein auf der anderen Sphärenhälfte liegendes Double benutzt wird Durch eine projektive Abbildung wird die neue Punktmenge wieder auf eine Halbkugel transformiert (siehe Grünbaum – Convex Polytopes) Kreise vorher: 1234:+--+0 1235:+--0+ 1245:+-0-+ 1345:+0+-+ 2345:0++-+ Kreise nachher: 1234:+-++0 1235:+-+0+ 1345:+0--+ 2345:0+--+

Das Flussgitter Wir betrachten das ganzzahlige Gitter der Kreise Jedes Element von charakterisiert also einen “Rundfluss” in der Punktmenge Die Flusszahl von wird dann analog zu Digraphen definiert: Insbesondere wird uns die Dimension des Flussgitters interessieren Das Flussgitter ist reorientierungsinvariant

Punkte in allgemeiner Lage Annahme: Punkte liegen nicht auf einer Hyperebene Alle Kreise haben Elemente Beispiel:

Für ungerade Dimension gilt: (Hochstättler, Nešetřil 2003) Satz: Sei gerade, und . Dann gibt es eine Reorientierung von mit so dass Insbesondere ist Es gibt eine Reorientierung die nur balancierte Kreise enthält, Beispiel :

Neighborly Polytope Sei nun so reorientiert, dass alle Kreise balanciert sind ist konvex unabhängig Sei weiterhin eine -elementige Menge Für jede -elementige Teilmenge von gilt: Jede Menge von Punkten ist eine Seitenfläche von gehört zur Klasse der neighborly Polytope

Charakterisierung des Flussgitters Genauer gilt: genau dann wenn reorientierungsequivalent zu einem neighborly Polytop ist Auf dieser Grundlage konnten wir das Flussgitter für Punkte in allgemeiner Lage vollständig charakterisieren: Daraus lässt sich sofort die Flusszahl ablesen:

Punkte in der Ebene Sei nun und die Punkte in beliebiger Lage. Wie ist nun die Dimension des Flussgitters? Induktionsanfang: (für weniger Punkte ist die Dimension 1 oder 0) Dies sind alle Reorientierungsklassen (Lukas Finschi 2001)

Noch mehr Punkte in der Ebene Um eine sinnvolle Vermutung äußern können schauen wir uns noch den Fall an (17 Reorientierungsklassen). Die einzigen nicht volldimensionalen Flussgitter gehören zu

Die Dimension für Punkte in der Ebene Satz: Seien Punkte in der Ebene, die nicht parallel, nicht neighborly und nicht graphisch sind. Dann gilt: Beweis: Eine Gerade hat volle Dimension Hinzunahme von zwei Punkten, die nicht beide auf der Gerade liegen erhöht die Dimension um genau eins. Eine Erweiterung einer Menge mit -Punkt-Geraden-Minor hat nur dann niedere Dimension, wenn der neue Punkt auf der Gerade liegt alle Erweiterungen von neighborly oder graphischen Punktemengen haben volle Dimension (sofern sie nicht wieder neighborly oder graphisch sind)

Graphische Punktmengen Satz: Sei eine Punktmenge. Dann gilt: Offene Fragen: Struktur des Flussgitters und Flusszahl für Punkte in der Ebene (coming soon) Struktur des Flussgitters und Flusszahl für graphische Punktmengen (Das ist aber viel zu schwer!!), Tutte’s 5-flow conjecture Dimension des Flussgitters für beliebige Punktmengen (hopefully coming)

Orientierte Matroide Aussagen für orientierte Matroide: Ein uniformes orientiertes Matroid von ungeradem Rang hat Flussgitterdimension genau dann wenn es neighborly ist. Ein simples und cosimples orientiertes Matroid mit Rang 3 hat volle Flussgitterdimension genau dann wenn es nicht regulär oder neighborly ist. Ein orientiertes Matroid mit Rang ist regulär genau dann wenn es Flussgitterdimension hat.

Und was nun? ? Polytope orientierte Matroide Graphenfärbung Tutte

Danke für Eure Aufmerksamkeit