Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Behandlung von Unstetigkeiten Wir wollen uns heute dem Problem der Behandlung von Unstetigkeiten in der Modellbeschreibung zuwenden. Modelle aus den Ingenieurbereichen weisen häufig Unste- tigkeiten auf, die Schaltvorgänge, Begrenzer, trockene Reibung, Stösse oder ähnliche Vorgänge repräsentieren mögen. Die Modellierungsumgebung muss sich dieser Vorgänge speziell annehmen, da sie in starkem Masse die Numerik der Differentialgleichungslöser beeinflussen.

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Übersicht Die numerische Lösung von DifferentialgleichungenDie numerische Lösung von Differentialgleichungen Unstetigkeiten in ZustandsgleichungenUnstetigkeiten in Zustandsgleichungen Integration über UnstetigkeitenIntegration über Unstetigkeiten Zustandsereignisse Ereignisbearbeitung Mehrwertige KennlinienMehrwertige Kennlinien Der elektrische SchalterDer elektrische Schalter Die ideale DiodeDie ideale Diode Die ReibungskennlinieDie Reibungskennlinie

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Numerische Differentialgleichungslöser Alle heute im Einsatz stehenden numerischen Differentialgleichungslöser arbeiten mit Polynom- extrapolation. Der Wert einer Zustandsvariablen x zum Zeitpunkt t+h, wobei h die momentane Schrittlänge ist, wird ermittelt, indem durch bereits bekannte Stützwerte von x und dx/dt der jetzigen Zeit t sowie der Vergangenheit ein Polynom n ter Ordnung hindurchgelegt wird. Der Wert dieses Polynoms zum Zeitpunkt t+h repräsentiert die angenäherte Lösung der Differentialgleichung. Bei impliziten Verfahren wird die Zustandsableitung zum Zeitpunkt t+h ebenfalls als Stützwert beigezogen.

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Beispiele Explizites Eulerverfahren erster Ordnung: x(t+h)  x(t) + h · x(t) · Implizites Eulerverfahren erster Ordnung: x(t+h)  x(t) + h · x(t+h) ·

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Unstetigkeiten in der Zustandsbeschreibung Polynome sind immer stetig und stetig differenzierbar. Wenn also die Zustandsraumbeschreibung des Systems: eine Unstetigkeit aufweist, ist die Polynomextrapolation eine sehr schlechte Approximation der Wirklichkeit. Somit weisen Verfahren mit fester Schrittlänge einen grossen Integrationsfehler auf, während Verfahren mit variabler Schrittlänge den Schritt in der Umgebung der Unstetigkeit sehr stark reduzieren. x(t) = f(x(t),t) ·

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Integration über Unstetigkeiten Ein Verfahren variabler Schrittlänge reduziert die Schrittlänge bei jeder Unstetigkeit. Nach der Unstetigkeit wird die Schrittlänge nur langsam wieder vergrössert, da das Verfahren nicht unterscheiden kann zwischen einer Unstetigkeit und einem Punkt grosser lokaler Steifigkeit (mit grossem absolutem Wert der Ableitung). h t Unstetigkeiten Die Schrittlänge ist dauernd viel zu klein. Das Verfahren ist zu- mindest sehr ineffizient, falls nicht ungenau.

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Das Zustandsereignis Diese Probleme können vermieden werden, wenn dem System explizit mitgeteilt wird, wo es Unstetigkeiten in der Modellbeschreibung gibt. Beispiel: Begrenzerfunktion x f(x) xpxp fmfm xmxm fpfp  m = tg(  ) 1 f = f m 2 f = m·x 3 f = f p f = if x < xm then fm else if x < xp then m*x else fp ;

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Die Ereignisbearbeitung I x f(x) xpxp fmfm xmxm fpfp  x xpxp t Schwellwert h Iteration h x xpxp t Modellumschaltung h h t Ereignis Schrittlängenreduktion während Iteration

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Die Ereignisbearbeitung II h t h t Schrittlänge ohne Ereignis- behandlung Schrittlänge mit Ereignis- behandlung

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Repräsentation von Unstetigkeiten In Modelica wird die Unstetigkeit durch ein if-Statement repräsentiert. Bei der Übersetzung werden diese Statements in korrekte Ereignisbeschreibungen (Sätze von Modellen mit Um- schaltbedingungen) abgebildet. Der Benützer braucht sich um die Ereignisbeschreibungs- mechanismen selbst nicht zu kümmern. Diese bleiben hinter den if-Statements verborgen. f = if x < xm then fm else if x < xp then m*x else fp ;

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Probleme Der Benützer sollte beachten, dass während der Iteration die unstetige Kennlinie temporär verlassen wird. ist gefährlich, da abs  p temporär negativ werden kann. löst dieses Problem. q =  |  p |  p = p 1 – p 2 ; abs  p = if  p > 0 then  p else –  p ; q = sqrt(abs  p) ;   p = p 1 – p 2 ; abs  p = noEvent( if  p > 0 then  p else –  p ) ; q = sqrt(abs  p) ;

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Die „noEvent“-Klausel Die noEvent-Klausel sorgt dafür, dass if-Statements oder Boole’sche Ausdrücke, die normalerweise in Simulations- code übersetzt würden, bei welchem die Diskontinuitäten durch Ereignisse abgefangen werden, so stehengelassen werden, wie sie im Modellierungscode formuliert wurden. Dadurch wird die korrekte Simulation dieser Diskontinuitäten der Schrittsteuerung des numerischen Integrationsverfahrens überlassen.  p = p 1 – p 2 ; abs  p = noEvent( if  p > 0 then  p else –  p ) ; q = sqrt(abs  p) ;

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Mehrwertige Kennlinien I Die bisher eingeführten Sprachelemente reichen nicht aus, um damit mehrwertige Kennlinien, wie zum Beispiel Hysteresefunktionen zu beschreiben. Wenn x grösser wird als x p, muss f von f m nach f p umgeschaltet werden. Wenn x kleiner wird als x m, muss f von f p nach f m umgeschaltet werden. x f(x) xpxp xmxm fpfp fmfm

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Mehrwertige Kennlinien II x f(x) xpxp xmxm fpfp fmfm when initial() then reinit(f, fp); end when; when x > xp or x < xm then f = if x > 0 then fp else fm; end when; } Diese Statements werden nur ausgeführt, wenn entweder x grösser wird als x p oder aber wenn x kleiner wird als x m. Ausgeführt am Anfang der Simulation. wird grösser ist grösser

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Der elektrische Schalter I i u Wenn der Schalter offen ist, ist der Strom i=0. Wenn der Schalter zu ist, ist die Spannung u=0. 0 = if offen then i else u ; Das if-Statement in Modelica ist akausal. Es wird sortiert, genau wie alle anderen Statements.

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Der elektrische Schalter II Mögliche Implementation:Schalter offen: s = 1 Schalter geschlossen: s = 0  0 = s · i + ( 1 – s ) · u Schalter offen: SF Schalter geschlossen: SE f = 0 e = 0  Sw s e f Die Kausalität des Switch Elements ist eine Funktion des Werts des Steuersignals s.

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Die ideale Diode I u i Schalter geschlossen Schalter offen i u Wenn u < 0 ist, ist der Schalter offen. Kein Strom fliesst. Wenn u > 0 ist, ist der Schalter geschlossen. Strom kann fliessen. Die ideale Diode verhält sich wie ein Kurzschluss. offen = u < 0 ; 0 = if offen then i else u ; D e f

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Die ideale Diode II Da Strom, wenn er durch die Diode fliesst, nicht einfach unterbrochen werden kann, muss das Diodenmodell noch leicht modifiziert werden. Die Variable offen muss als Boolean deklariert werden. Ihr wird der Wert des logischen Ausdrucks rechts vom Gleichheitszeichen zugewiesen. offen = u 0 ; 0 = if offen then i else u ;

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Die Reibungskennlinie I Kompliziertere Vorgänge, wie zum Beispiel die Reibungs- kennlinie müssen sorgfältig analysiert werden. Der Vorgang wird hier an Hand der Reibung erklärt. fBfB v R0R0 RmRm -R m -R 0 Gleitreibung Haftreibung Wenn v  ist die Rei- bungskraft eine Funktion der Geschwindigkeit. Wenn v , wird die Reibungskraft so gerech- net, dass die Geschwin- digkeit 0 bleibt.

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Die Reibungskennlinie II Wir unterscheiden fünf Fälle: Haftung:Die Reibungskraft kompensiert die Summe der angrei- fenden Kräfte, es sei denn |  f | > R 0. Vorwärtsbewegung: Die Reibungskraft berechnet sich zu: f B = R v · v + R m. Rückwärtsbewegung: Die Reibungskraft berechnet sich zu: f B = R v · v  R m. Einsetzen der Vorwärtsbewegung: Die Reibungskraft berechnet sich zu: f B = R m. Einsetzen der Rückwärtsbewegung: Die Reibungskraft berechnet sich zu: f B =  R m. v = 0 a = 0 v = 0 a > 0 v = 0 a < 0 v > 0 v < 0

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Das Zustandsübergangsdiagramm Der genaue Vorgang kann in einem Zustandsübergangs- diagramm dargestellt werden. Anfang Rückwärts- bewegung (v < 0) Rückwärts- beschleunigung (a < 0) Haftung (a = 0) Vorwärts- beschleunigung (a > 0) Vorwärts- bewegung (v > 0) v < 0v > 0 v = 0  f <  R 0  f >  R 0 a  0 and not v < 0a  0 and not v > 0 v <  v >  v  0 v  0

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Das Reibungsmodell I model Reibung; parameter Real R0, Rm, Rv; parameter Boolean ic=false; Real fB, fc; Boolean Haft(final start = ic); Boolean Vor(final start = ic), Rück(final start = ic); Boolean StartVor(final start = ic), StartRück(final start = ic); fB = if Vor then Rv*v + Rm else if Rück then Rv*v - Rm else if StartVor then Rm else if StartRück then -Rm else fc; 0 = if Haft or initial() then a else fc;

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Das Reibungsmodell II when Haft and not initial() then reinit(v,0); end when; Vor = initial() and v > 0 or pre(StartVor) and v > 0 or pre(Vor) and not v <= 0; Rück = initial() and v < 0 or pre(StartRück) and v < 0 or pre(Rück) and not v >= 0;

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Das Reibungsmodell III StartVor = pre(Haft) and fc > R0 or pre(StartVor) and not (v > 0 or a 0); StartRück = pre(Haft) and fc < -R0 or pre(StartRück) and not (v = 0 and not v < 0); Haft = not (Vor or Rück or StartVor or StartRück); end Reibung;

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Referenzen I Cellier, F.E. (1979), Combined Continuous/Discrete System Simulation by Use of Digital Computers: Techniques and Tools, Swiss Federal Institute of Technology, ETH Zürich, Switzerland.Combined Continuous/Discrete System Simulation by Use of Digital Computers: Techniques and Tools Elmqvist, H., F.E. Cellier, and M. Otter (1993), “Object- oriented Modeling of Hybrid Systems,” Proc. ESS'93, SCS European Simulation Symposium, Delft, The Netherlands, pp.xxxi-xli.Object- oriented Modeling of Hybrid Systems Cellier, F.E., M. Otter, and H. Elmqvist (1995), “Bond Graph Modeling of Variable Structure Systems,” Proc. ICBGM'95, 2 nd SCS Intl. Conf. on Bond Graph Modeling and Simulation, Las Vegas, NV, pp Bond Graph Modeling of Variable Structure Systems

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Referenzen II Elmqvist, H., F.E. Cellier, and M. Otter (1994), “Object- oriented Modeling of Power-electronic Circuits Using Dymola,” Proc. CISS'94, First Joint Conference of International Simulation Societies, Zurich, Switzerland, pp Object- oriented Modeling of Power-electronic Circuits Using Dymola Glaser, J.S., F.E. Cellier, and A.F. Witulski (1995), “Object-oriented Switching Power Converter Modeling Using Dymola with Event-handling,” Proc. OOS'95, SCS Object-Oriented Simulation Conference, Las Vegas, NV, pp Object-oriented Switching Power Converter Modeling Using Dymola with Event-handling