Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 1 Algebraische Hülle und Homomorphie A = [A, F ] sei  -Algebra. Eine Teilfamilie B  A heißt abgeschlossen bezüglich der Operation f  aus F gdw. mit (a 1,a 2,...,a n )  B i  (  ) stets auch f  (a 1,a 2,...,a n )  B o  (  ) gilt. B heißt abgeschlossen gegenüber F bzw. abgeschlossen in A genau dann, wenn B abgeschlossen bezüglich jeder Operation f  aus F ist. Kapitel 3

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 2 A = [A, F ] sei  -Algebra. Eine Teilfamilie B  A heißt algebraische Hülle der Teilfamilie C  A, kurz B = [C] A oder B = [C] gdw. B =   A' | C  A'  A und A' abgeschlossen in A . Die algebraische Hülle von C ist die kleinste abgeschlossene Teilfamilie, die C umfaßt. Ist C abgeschlossen gegenüber F, so ist [C] A = C

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 3 Für die algebraische Hülle gelten die Hülleneigenschaften: B  [B] A Einbettung Wenn B  C, so [B] A  [C] A. Monotonie [ [B] A ] A  [B] A Abgeschlossenheit Für eine  -Algebra A = [A, F ] = [(A s ) s  S, (f  )    ] bezeichne im folgenden K = (K s ) s  S mit K s = {f  |      (  ) = (s) } die Familie der Konstanten der Sorte s.  = (  ) s  S bezeichne die S-sortige Familie leerer Mengen. Hülle von  : [  ] A = [K] A [  ] A =  gdw. es in  keinen nullstelligen Operator gibt.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 4 [C]A[C]A C K C (0) f 1 (a) f 2 (a,b) C (1) f 2 (b,d ) f 1 (c) f 4 (a,c) C (n)......

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 5 A = [A, F ] sei  -Algebra. Die Anwendung des von F = (f  )    erzeugten BAIRE - Operators F auf die Teilfamilie B  A ist definiert als F(B) = ( { f  (b 1,b 2,...,b n ) |      (  ) = (w, s)  w     (b 1,b 2,...,b n )  B w } ) s  S Der BAIRE -Operator beschreibt also die einmalige Anwendung aller in F vorkommenden Operationen auf alle in deren Vorbereich liegenden Argumentfolgen, die mit den Elementen der Familie B gebildet werden können.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 6 Darstellung der algebraischen Hülle [C] A : Die algebraische Hülle kann induktiv wie folgt erzeugt werden: C (0) = C  K C (i+1) = C (i)  F (C (i) ) für alle i > 0 [C] A =  C (i) i  Nz Beweisidee: Setze B =  C (i).  C  B  A i  Nz Zeige B ist abgeschlossen in A.  [C] A  B Zeige induktiv für alle i : C (i)  [C] A.  B  [C] A

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 7 A = [A, (f  )    ] und B = [B, (f '  )    ] seien zwei  -Algebren. Dann heißt B eine Unteralgebra von A gdw. B  A und für alle (b 1,b 2,...,b n )  B w gilt: f '  (b 1,b 2,...,b n ) = f  (b 1,b 2,...,b n ). 1. A sei  -Algebra. Dann ist B = [B, (f '  )    ] Unteralgebra von A gdw. (a) B  A, (b) für alle    ist f '  = f  | B i  (  ), (Einschränkung) (c) B ist abgeschlossen gegenüber (f '  )   . 2. Zu jedem B  A gibt es damit höchstens eine Unteralgebra B von A.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 8 Hülle und Unteralgebra : Es sei A eine  -Algebra und X  A. Dann ist B = [ [X] A, (f  )    ] Unteralgebra von A. 1. X ist genau dann ein Erzeugendensystem der Algebra A = [A, F ], wenn [X] A = A ist. 2. Eine Algebra kann auch ein leeres Erzeugendensystem besitzen. B = [ [X] A, (f  )    ] heißt die von der Familie X in A erzeugte Unteralgebra; die Mengenfamilie X heißt ein Erzeugendensystem von B.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 9 Beispiele für Erzeugendensysteme 1. A = [ AUS ; neg, con, alt ] - die Algebra der pfeilfreien aussagenlogischen Ausdrücke besitzt als Erzeugendensystem die Menge V der aussagenlogischen Variablen, denn es ist [V] A = AUS  vergleiche dazu die Konstruktion der algebraischen Hülle einerseits und die aus der Logik bekannte Ausdrucksdefinition 2. G = [ G ; 0, + ] - die Algebra der ganzen Zahlen mit der Konstanten 0 und der Addition + besitzt als Erzeugendensystem { -1, 1} (und jede umfassende Menge).

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 10 Beispiele für Erzeugendensysteme (Forts.) noch zu 2. G = [ G ; 0, + ] : - zum Begriff der Unteralgebra betrachte man die Algebra N der natürlichen Zahlen N = [ Nz ; 0, + ] wieder mit 0 und der Addition +. N ist selbstverständlich eine Unteralgebra von G. G ist bekanntermaßen eine Gruppe, d.h. aber nicht, daß die Unteralgebra N eine Untergruppe von G ist! 3. Suche ein minimales Erzeugendensystem für das "Semiotische Quadrupel" S = [ W, X ; ,  ] ! Zur Definition vgl. das Beispiel 6. für Algebren.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 11 Prinzip der algebraischen Induktion : Es sei A = [A, F ] eine  -Algebra und X ein Erzeugendensystem von A. Wenn dann für eine Teilfamilie B von A folgendes gilt: X  B, B ist abgeschlossen gegenüber F, dann ist B = A. Der Beweis ist eine einfache ÜA.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 12 Beweisverfahren (algebraische Induktion): H(a) sei für alle a  A zu zeigen. X sei Erzeugendensystem von A. 2 Beweisschritte: (IA) Zeige H(x) für alle x  X. (IS) Zeige für beliebige    ( es sei  (  ) = (w, s) ) und beliebige (a 1,a 2,...,a n )  A w : Wenn H (a 1 )  H (a 2 ) ...  H (a n ), so auch H ( f  (a 1,a 2,...,a n ) ). Für die Rechtfertigung betrachte im letzten Satz B = (B s ) s  S mit B s = { a | a  A s  H(a) }.

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 13 A = [A, (f  )    ] und B = [B, (g  )    ] seien zwei  -Algebren. Ein  -Homomorphismus (kurz Homomorphismus) von A in B ist eine eindeutige Abbildung (sfamilie) h : A  B, so daß für alle    mit  (  ) = (s 1,s 2,...,s n,s) und für alle (a 1,a 2,...,a n )  A s 1  A s 2 ...  A s n gilt: h s f  (a 1,a 2,...,a n ) = g  (h s 1 a 1, h s 2 a 2,..., h s n a n ).

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 14 f  A w A s h w h s B w B s g  h s f  (a 1,a 2,...,a n ) = g  (h s 1 a 1, h s 2 a 2,..., h s n a n ) = g  (b 1, b 2,..., b n )

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 15 Spezialfälle von Homomorphismen von A in B : Einbettung: eineindeutiger Homom. von A in B Isomorphismus: eineind. Homom. von A auf B A und B heißen dann isomorph: A  B Epimorphismus: Homomorphismus von A auf B B heißt dann homomorphes Bild von A Endomorphismus: Homomorphismus von A in A Ein Homomorphismus bildet die Konstanten von A auf die von B ab. Denn: Für alle    mit i  (  ) = , o  (  ) = s folgt h s f  = g .

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 16 Nacheinanderausführung von Homomorphismen: A, B und C seien drei  -Algebren, h sei ein Homomorphismus von A in B, g sei Homomorphismus von B in C. Dann ist g  h Homomorphismus von A in C. Homomorphes Bild der Hülle: Sei h ein Homomorphismus von A in B. Weiter sei X  A. Dann ist h( [X] A ) = [ h( X )] B

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 3 / 17 Eindeutigkeit der homomorphen Fortsetzung: Es seien A = [A, F ] und B = [B, G ] zwei  -Algebren, X sei Erzeugendensystem von A, und  0 eine eindeutige Abbildungsfamilie von X in B. Dann gibt es höchstens einen  -Homomorphismus  von A in B, der die gegebene Abbildung  0 fortsetzt. Beweisidee: Gäbe es zwei Homomorphismen  und , die  0 fortsetzen:  | X =  | X =  0. Betrachte nun die Mengenfamilie M = (M s ) s  S mit M s = { a | a  A s   s (a) =  s (a) } von Mengen bildgleicher Elemente und zeige durch algebraische Induktion, daß M = A ist.