Instationäre, Inkompressible Navier – Stokes Gleichungen Seminar: FEM für die Strömungsmechanik Prof. M. Griebel Dr. M. A. Schweitzer L. M. Köhler 02.02.2007

Ziel: Lösung durch Nutzung bisher verwendeter Methoden! Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Lösungsansätze zu Instationären, Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung 1. Kapitel: Lösbarkeit 1.1 Formulierung des Problems, Vorbemerkungen, Definition schwacher Lösungen 1.2 Existenz schwacher Lösungen 1.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen 1.4 Regularität schwacher Lösungen 2. Kapitel: Numerische Lösung, Diskretisierung 2.1 Linien Methode, Ɵ-Schema (Rothe Methode) 2.2 Raum-Zeit Finite Elemente (discontinuous Galerkin method) 2.3 Transport-Diffusions Algorithmus 2.4 Zusammenfassung, Ausblick, Quellen Ziel: Lösung durch Nutzung bisher verwendeter Methoden! Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

1.1 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 1.1 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung Erhaltung der Masse Da 0 = ∫V(t) ρ(x,t)dx ergibt sich in jedem Punkt für ρ(x,t) (Dichte): ∂ρ/∂t + div(ρv) = 0 in Ω x (0, ∞) Erhaltung des Impulses Die zeitlichen Änderung des Impulses ergibt punktweise: ∂/∂t(ρv) + div(ρv⊗v) = ρf + div T in Ω x (0, ∞) Konstitutive Gleichungen Unter vers. Voraussetzungen an den Spannungstensor T: T = 2λD(v) + μdiv(v)I – pI (Zustandsgleichung) Allgemeine Navier-Stokes ∂ρ/∂t + div(ρv) = 0 ∂/∂t(ρv) + div(ρv⊗v) = ρf + 2λ ∆(v) + (λ + μ) ∇ div(v) – ∇p Durch das Voraussetzen von Reibungsfreiheit, konstanter Dichte und Temperatur, stationärer Bewegung, diverser Skalierungen & Linearisierung konnten die allgemeinen Navier-Stokes Gleichungen auf das Stokes Problem reduziert werden. Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

1.1 Entwicklung einer Lösungsstrategie Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 1.1 Entwicklung einer Lösungsstrategie Stokes Gleichung -∆u + grad p = f in Ω div u = 0 in Ω u = 0 auf ∂Ω Konforme Elemente (nicht konforme) Xh⊂ X, Mh⊂ M bezeichnen zu Тh gehörige Finite Element Räume (Xh,Mh) stabil (inf-sup Bedingung unabhängig von h erfüllt) ⇒ diskrete Navier-Stokes Gleichungen sind eindeutig lösbar Mehrgitter für Stokes Sequenz von Räumen (Xh,Mh) mit Transferoperatoren Ph, Rh: Xh → X2h und Glättern Sh. Mehrgitterlöser für Stokes Stationäre, inkompressible Navier-Stokes ν∆u + ∇p + (u · ∇)u = f in Ω div u = 0 in Ω u = 0 auf ∂Ω Sequenz von Stokes Problemen Heute Instationäre, inkompressible Navier-Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 1.1 Die Instationären, Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung, Herleitung, Bedeutung ∂u/∂t - ν∆u + ∇p + (u · ∇)u = f in Ω x (0, T) div u = 0 u = 0 auf ∂Ω x (0, T) u(.,0) = u0 in Ω (1) Annahmen: Anwendung: Vernachlässigung der Energiegleichung ρ konstant p wird durch p / ρ ersetzt ν := η / ρ (dynamische Viskosität) Luftströmungen unterhalb der Schallgeschwindigkeit Wasserströmungen Flüssige Metalle (konst. Temp.) Nicht bei Überschall / heißer Luft Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

1.1 Vorbemerkungen & Definition Schwacher Lösungen Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 1.1 Vorbemerkungen & Definition Schwacher Lösungen Notationen: V := {u ∈ H01(Ω)n | div u = 0} H := {u ∈ L2(Ω)n | div u = 0 in Ω, u · n = 0 auf ∂Ω} Bilinearformen: a(u,v) := ∫Ω ∇u :∇v (bilinear, koerziv) b(v,p) := ∫Ω p divv (bilinear) N(u,v,w) := ∫Ω [(u · ∇)v] · w (trilinear, N(u,v,v) = 0, N(u,v,w) = -N(u,w,v)) Schwach Stetig: Ist φ eine Fkt. auf (0,T) mit Werten in X, so heißt φ schwach stetig in t0, wenn ∀ Folgen (tm)m∈ℕ ⊂ (0,T) mit limm→∞ tm = t0 und jedes ψ ∈ X´= L(X,ℝ) gilt: limm→∞ 〈φ(., tm),ψ〉X = 〈φ(., t0),ψ〉X Schwache Lösung: Seien T > 0, u0 ∈ H, f ∈ L2((0,T),V´) und u ∈ L∞((0,T),L2(Ω)n) ⋂ L2((0,T),V). Ferner sei u im L2 - Sinne schwach stetig auf [0,T]. Dann heißt u eine schwache Lösung von (1), wenn ∀ v ∈ C1((0,T),L2(Ω)n) ⋂ C0([0,T],V) mit v(.,T) = 0 gilt: -∫[0,T] (u, ∂v/∂t) + ν∫[0,T] a(u,v) + ∫[0,T] N(u,u,v) = ∫[0,T] (f,v) +(u0,v(.,0)) (2) Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

1.2 Existenz Schwacher Lösungen Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 1.2 Existenz Schwacher Lösungen Existenzsatz Seien f und u0 wie in der Definition schwacher Lösungen. Dann besitzt (1) mindestens eine schwache Lösung u. Außerdem gilt ∂u/∂t ∈ L1((0,T),V´). Beweis V ⊂ H01 (Ω)n abgeschlossen, somit separabel ⇒ V := clos(Um∈ℕ span{ wj | 0≤j ≤m}) u0,m bezeichne die L2 – Projektion von u0 auf Vm := { wj | 0 ≤ j ≤ m}, betrachte: ∑0≤ i≤ m (wi,wj) ġi,m(t) + ν ∑0≤ i≤ m a(wi,wj) gi,m(t) + ∑0≤ i,j≤ m N(wi,wl,wj) gi,m(t) = (f,wj) für 0 ≤ j ≤ m ∑0≤ i≤ m gi,m(0)wi = u0,m (für bel., aber feste m ∈ ℕ) (3) Erfüllt die Voraussetzungen von Picard-Lindelöf, besitzt daher eine eindeutige max. Lsg. (g0,m(t),…,gm,m(t)) auf max. [0,tm] mit 0 < tm ≤ T; um := ∑0≤ i≤ m gi,m(t) wi Ist tm < T ⇒ lim t→tm ||um(.,t)||0 = ∞ (3) Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

1.2 Existenz Schwacher Lösungen - Beweis Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 1.2 Existenz Schwacher Lösungen - Beweis Beweis In (3) multipliziere die j-te Gleichung mit gj,m(t) und summiere über j auf: ⇒ (∂um/∂t, um) + νa(um,um) = (f, um) ∀ u ∈ V, w ∈ H01(Ω)n ⇒ d/dt ||um(.,t)||02 + 2ν|um(.,t)|12 = 2(f, um (.,t)) ≤ 2||f||-1 |um(.,t)|1 ≤ 1/ν ||f||-12 + ν |um(.,t)|12 ⇒ ∀ s ∈ [0,tm] : ||um(.,s)||02 + ν∫[0,s] |um(.,τ)|12 dτ ≤ 1/ν ∫[0,s] ||f(.,τ)||-12 dτ + ||u0||02 ⇒ lim sup t → tm ||um(.,t)||0 < ∞ und daher tm = T. (um)m∈ℕ ⊂ beschränkter Teilmenge von L∞((0,T),H) ⋂ L2((0,T),V). Also ∃ u ∈ L∞((0,T),H) ⋂ L2((0,T),V), gegen welches eine Teilfolge (um‘) schwach in L2((0,T),V), schwach-* in L∞((0,T),H) & stark in L2((0,T),H) konvergiert. Diese Konvergenz einer Teilfolge (um‘) reicht aus um in (3) den Grenzübergang m’ → ∞ bei festem j zu vollziehen. Daher erfüllt u die Bed. (2) ∀ wj. Da Um∈ℕVm dicht in V,folgt die Behauptung. QED. Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen Lemma Für alle n ∈ {2,3} und alle φ ∈ H01(Ω) gilt || φ ||L⁴(Ω) ≤ 2(n – 1) / 4 || φ ||0 (4 – n) / 4 | φ |1n / 4 Eindeutigkeitssatz i) Sei n = 2. Dann besitzen die instationären Navier - Stokes Gleichungen (1) genau eine schwache Lösung. Außerdem gilt ∂u/∂t ∈ L2((0,T),V´), u ∈ C([0,T],H) und u(.,t) → u0 in H für t→ 0. ii) Sei n = 3. Dann gilt für jede schwache Lösung der instationären Navier - Stokes Gleichungen (1) u ∈ L8/3((0,T),L4(Ω)3), ∂u/∂t ∈ L4/3((0,T),V´). Es gibt höchstens eine schwache Lösung in L2((0,T),V) ⋂ L∞((0,T),H) ⋂ L8((0,T), L4(Ω)3). Eine solche Lösung ist automatisch in C([0,T],H) und erfüllt u(.,t) → u0 in H für t→ 0. Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen – Beweis (1) Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen – Beweis (1) Beweisskizze: allgemeine Bemerkungen; ad i) Definiere Operatoren A, B auf L2((0,T),V) ⋂ L∞((0,T),H) 〈Au, v〉 := a(u,v) 〈B(u), v〉 := N(u,u,v) Dann gilt (s. Existenzsatz) ∀ u (schwache Lösung von (1)): ∂u/∂t - νAu +B(u) = f f.ü. in V‘ u(.,t) → u0 in H‘ für t → 0. ad i) Regularität: ||B(u)||V’ = supv∈V, |v|=1 N(u,u,v) ≤ ||u||2L⁴(Ω) ≤ √2 ||u||0 |u|1 u ∈ L2((0,T),V) ⋂ L∞((0,T),L2(Ω)2) ⇒ Au, B(u) ∈ L2((0,T),V‘) & ∂u/∂t ∈ L2((0,T),V‘) Eindeutigkeit: sei w := u1 – u2 da w ∈ L2((0,T),V) und ∂w/∂t ∈ L2((0,T),V‘) ⇒ d/dt ||w (.,t)||02 + 2ν|w(.,t)|12 = 2(∂w/∂t , w) + 2ν a(w,w) ≤ 2ν|w(.,t)|12 + 1/ν |u1(.,t)|12 ||w(.,t)||02 ⇒ d/dt ( ||w (.,t)||02 exp (-1/ν∫[0,t] |u1(.,s)|12 ds)) ≤ 0 , da w(.,0) = 0 ⇒ QED. Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen – Beweis (2) Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen – Beweis (2) Beweisskizze: ad ii) Regularität: ||B(u)||V’ = ||u||2L⁴(Ω) ≤ 2 ||u||01/2 |u|13/2 u ∈ L2((0,T),V) ⋂ L∞((0,T),L2(Ω)3) ⇒ Au ∈ L2((0,T),V‘), B(u) ∈ L4/3((0,T),V‘) & somit ∂u/∂t ∈ L4/3((0,T),V‘). Daher auch u ∈ L8/3((0,T),L4(Ω)3). Eindeutigkeit: sei w := u1 – u2 & unter bekannten Regularitätsannahmen ⇒ d/dt ||w (.,t)||02 + 2ν|w(.,t)|12 = -2N(w,u1,w) = 2N(w, w, u1) ≤ 2 ||w||L⁴(Ω) |w|1 ||u1||L⁴(Ω) ≤ 4 ||w||01/4 |w|17/4 ||u1||L⁴(Ω) Young`sche Ungleichung: ab ≤ 7/8 a8/7 + 1/8 b8 ∀ a,b ∈ ℝ+ für a := (16/7 ν)7/8 |w|17/4 & b := 4 (16/7 ν)7/8 ||w||01/4 ||u1||L⁴(Ω) ⇒ d/dt ||w (.,t)||02 + 2ν|w(.,t)|12 ≤ 2ν|w(.,t)|12 + 1/7 (7/ 4ν)7 ||w (.,t) ||02 ||u1||8L⁴(Ω) ⇒ d/dt ||w (.,t)||02 ≤ 1/7 (7/ 4ν)7 ||w (.,t) ||02 ||u1||8L⁴(Ω) Wegen u1 ∈ L8/3((0,T),L4(Ω)3) folgt w = 0. ⇒ QED. Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

1.4 Regularität Schwacher Lösungen Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 1.4 Regularität Schwacher Lösungen Regularitätssatz i) Sei n = 2 und f, ∂f/∂t ∈ L2((0,T),V‘), f(.,0) ∈ H und u0 ∈ H2(Ω)2 ⋂ V. Dann gilt für die eindeutige schwache Lösung der instationären Navier-Stokes Gleichungen ∂u/∂t ∈ L2((0,T),V) ⋂ L∞((0,T),H). Ist zusätzlich ∂Ω ∈ C2 und f ∈ L∞((0,T),H), so ist u ∈ L∞((0,T),H2(Ω)2). ii) Sei n = 3 und f ∈ L∞((0,T),H), ∂f/∂t ∈ L1((0,T),H) und u0 ∈ H2(Ω)3 ⋂ V. Definiere d1 := ||f(.,0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||22 d2 := ||f||L∞((0,T),V‘) Falls ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||02 + ν -1 T d2)exp (∫[0,T] ||∂/∂t f(.,s)||0 ds)) hinreichend klein ist, besitzen die instationären Navier-Stokes Gleichungen eine eindeutige schwache Lösung, und es gilt ∂u/∂t ∈ L2((0,T),V) ⋂ L∞((0,T),H). Ist zusätzlich ∂Ω ∈ C∞, so ist u ∈ L∞((0,T),H2(Ω)3). (ohne Beweis) Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 1.4 Druck Bemerkung 1 Die Regularitätsaussagen des vorausgehenden Satzes für ∂u/∂t sind zu schwach, um eine Fehlerabschätzung der Ordnung 2 oder höher für Zeitdiskretisierungen der instationären Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten. Bemerkung 2 u sei schwache Lösung, definiere U(t) := ∫[0,t] u(.,s)ds b(t) := ∫[0,t] B(u(.,s))ds & F(t):= ∫[0,t] f(.,s)ds U, b, F ∈ C([0,T],V‘) Mit (2) folgt: ν a(U, v) = 〈g, v〉 ∀ v ∈ V Mit: g := F – b – u(.,t) + u0 ∈ C([0,T],V‘) Es ∃ q(.,t) ∈ L2(Ω): ∇q(.,t) = g + ν∆U ∇q ∈ C([0,T],H-1(Ω)), q ∈ C([0,T],L2(Ω)) Dies läßt sich im Distributionssinn bzgl. t ableiten, für p := ∂q/∂t erhält man: ∇p = f – B(u) – ∂u/∂t + ν∆u Nun folgt p ∈ L2((0,T), L2(Ω)) & somit ist p der gesuchte Druck in (1). Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

1.X Das Millenium Problem Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 1.X Das Millenium Problem Betrachte (1), eine schwache Lösung für (1) ist nur dann physikalisch sinnvoll, wenn gilt: i) p, u ∈ Ω x [0,∞) ∫ℝn |u(x, t)|2 < C ∀ t ≥ 0 Das Millenium Problem: Sei ν > 0 und n = 3. Sei u0(x) ein glattes, divergenzfreies Vektorfeld, welches die Bedingung (*) erfüllt. Nehme an, daß f(x,t) identisch null ist. Dann existieren glatte Funktionen p(x,t), ui(x,t) auf ℝ x [0,∞) welche (1) erfüllen und physikalisch sinnvoll sind. (*) |∂αu0(x) / ∂x| ≤ CαK(1 + |x|)-K auf ℝn, für irgendwelche α, K Anmerkung: In zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit längerem gelöst. Im drei dimensionale Fall weiß man allerdings, dass wenn man die Forderung [0,∞) aufgibt und für kleine T auf [0,T) übergeht, dann existieren Lösungen. Unter günstigen Annahmen läßt sich auch die Existenz von schwachen Lösungen zeigen. Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

2. Diskretisierung der Zeit, Grenzen der Technik Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 2. Diskretisierung der Zeit, Grenzen der Technik Bsp.: (i, j, k) ∀ i, j, k double (i, j, k, p) ∀ i, j, k, p double ∼ 24 Gigabyte ∼ 32 Terabyte 1m3 x 1min 1m3 109 Diskretisierung 1012 der 1000 Zeit 1000 1000 Uniformes Gitter zur Approximation eines Kubikmeters mit einer Schrittweite von 1mm Diskretisierung der Zeit in 1000 Schritte: Komplexität 1012 Lösung durch trade-off zwischen Rechenzeit & Speicherkapazität (num. Lösungsstrategie) Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

2. Aufgabenstellung & Numerische Lösungsstrategien Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 2. Aufgabenstellung & Numerische Lösungsstrategien Problem: Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhöht sich die Dimension, eine schwache Lösung wird nun auf Ω x (0, T) gesucht für Ω ⊂ ℝn, n ∈ {2,3}. Es sind nun ∂u/∂t und (u · ∇)u stabil zu diskretisieren, bzw. zu linearisieren. Strategie 1: Linien Methode: Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt. Dieses AWP wird schließlich über jedem Zeitschritt betrachtet. Strategie 2: Raum Zeit Finite Elemente: Orts- & Zeitvariable werden gleichzeitig diskretisiert. Insbesondere: Transport-Diffusions Algorithmus: Linearisierung & Diskretisierung erfolgen gewissermaßen in einem Schritt. Ziel: Einbeziehung der bekannten konformen Methode! Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

2.1 Linien Methode – Diskretisierung des Ortes Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 2.1 Linien Methode – Diskretisierung des Ortes Vorbem.: Тh sei affin äquivalente, zulässige, reguläre Unterteilung von Ω, weiterhin seien (Xh, Mh) stabile Paare zugehöriger Finite Element Räume. Setze Vh := {uh ∈ Xh ⊂ X ⊂ H01(Ω)n | ∫Ω ph div uh = 0 ∀ ph ∈ Mh} Schritt 1: Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2): Finde uh ∈ L2([0,T],Vh), so daß ∀ vh ∈ C1([0,T],Vh) gilt: -∫[0,T] (uh, ∂vh/∂t) + ν∫[0,T] a(uh,vh) + ∫[0,T] N(uh,uh,vh) = ∫[0,T] (f,vh) +(u0,vh(.,0)). (4) Schritt 2: Sei uh ∈ C1((0,T),Vh) ⋂ C([0,T],Vh), dann ist (4) bzgl. t partiell integrierbar: (4) ⇔: Finde uh ∈ C1((0,T),Vh) ⋂ C([0,T],Vh) mit uh(.,0) = u0,h (∂uh/∂t, vh) + 2νa(uh, vh) + N(uh,uh,vh)= (f, vh) ∀ vh ∈ Vh, t ∈ (0,T) (4*) Bem.: Beachte die unrealistisch starken Regularitätsvoraussetzungen! Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

2.1 Linien Methode – Aufstellung des gewöhnlichen AWP Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 2.1 Linien Methode – Aufstellung des gewöhnlichen AWP Schritt 3: Definiere Operatoren Ah, Bh : Vh → Vh durch (Ah uh, vh) := a(uh, vh) (Bh(uh), vh) := N(uh,uh,vh), So lässt sich (4*) umschreiben als gewöhnliches nicht lineares AWP: uh = Fh(uh) := f – ν Ah uh –Bh(uh) uh(.,0) = u0,h (5) Schritt 4: Dieses AWP lässt sich mit den üblichen Methoden bewältigen. Ah hat Kondition O(h-2) Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ ≤ ch2 für eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden. Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

2.1 Ɵ-Schema – Diskretisierung der Zeit Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 2.1 Ɵ-Schema – Diskretisierung der Zeit Ɵ-Schema: allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens Für (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τ: uh0= u0,h 1/τ (uhn+1 – uhn) = Ɵ (f n +1 – ν Ah uhn +1 –Bh(uhn +1) +(1 - Ɵ) (f n – ν Ah uhn –Bh(uhn) bzw. uhn +1+ τƟ ν Ah uh n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1 := uhn + τƟ f n +1 + τ(1 – Ɵ) (f n – ν Ah uhn –Bh(uhn) Die Näherung uhn +1 für uh(.,(n+1) τ) ist also Lösung der diskreten stationären Navier-Stokes Gleichung: (uhn +1,) + τƟ ν a(uhn +1, vh) + τƟ N(uhn +1, uhn +1, vh) = (gn +1,vh) ∀ vh ∈ Vh Dieses Problem ist z.B. durch Fixpunktiteration, das Newton-Verfahren zu lösen. Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

2.2 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 2.2 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen Schritt 1: Unterteile [0,T] durch 0 = t1 < t2 < … < tNτ < tNτ+1 = T & setze für 1 ≤ j ≤ Nτ Jj := [tj, tj+1], τj :=tj+1 – tj ∀ tj sei Тh affin äquivalente, zulässige, reguläre Unterteilungen von Ω. Vj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder. Vorbem.: Setze für 1 ≤ j ≤ Nτ & Ɵ ∈ [0,1]: 1/τj-1 (t – tj-1) für tj-1 ≤ t ≤ tj λj(t) := 1/τj (tj+1 – t) für tj ≤ t ≤ tj+1 0 sonst bj(t) := 4/τj2 (t – tj)(tj+1 – t) λjƟ(t):= λj(t) + 3/2 (Ɵ – 1/2) (bj(t) – bj-1(t)) Bem.: Die Funktionen bj und λj sind die stetigen, stückweise linearen, nodalen Basisfunktionen zur Unterteilung von [0,T]. Mit der Simpsonregel: ∫[tj-1,tj] λjƟ(t)dt = (1 – Ɵ) τj-1 ∫[tj,tj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

2.2 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 2.2 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung Vorbem.: Sτk,-1(Vh(τ)) :=span{ χ τj(t) tμ vj(x) | 0 ≤ μ ≤ k, 1≤ j≤ Nτ, vj ∈ Vj} SτƟ;1,0(Vh(τ)):=span{ λjƟ(t) vj(x) | 1 ≤ j ≤ Nτ, vj ∈ Vj} SτƟ;k,0(Vh(τ)):= SτƟ;1,0(Vh(τ)) ⊕ span{ bj(t) tμ wj(x) | 0 ≤ μ ≤ k –2, 1 ≤ j ≤ Nτ, wj ∈ Vj} Sτk,-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen, welche stückweise Polynome vom Grad ≤ k mit Koeffizienten in Vj sind. Funktionen in SτƟ;k,0(Vh(τ)) sind global stetig, verschwinden zur Zeit T Und sind stückweise Polynome vom Grad ≤ k mit Koeffizienten in Vj. Schritt 2: Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautet: Finde u h,τ ∈ Sτk,-1(Vh(τ)), so dass ∀ vh,τ ∈ SτƟ;k,0(Vh(τ)) gilt -∫[0,T] (uh,τ, ∂vh,τ/∂t) + ν∫[0,T] a(uh,τ,vh,τ) + ∫[0,T] N(uh,τ,uh,τ,vh,τ) = ∫[0,T] (f, vh,τ) +(u0,vh,τ(.,0)) (6) Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

2.2 Rückführung auf das Ɵ-Schema Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 2.2 Rückführung auf das Ɵ-Schema Schritt 1: (6) ⇔ ∑j {(uh,τ(.,tj + 0) – uh,τ(.,tj – 0), vh,τ(.,tj)) +∫[tj,tj+1] (uh,τ,∂vh,τ/∂t) + ν∫[tj,tj+1] a(uh,τ,vh,τ) + ∫[tj,tj+1] N(uh,τ,uh,τ,vh,τ)} = ∑j ∫[tj,tj+1] (f,vh,τ) 1 ≤ j ≤ Nτ (7) Schritt 2: k = 0, uhj := u h,τ auf Jj für 1 ≤ j ≤ Nτ & vh,τ:= λjƟ(t)vj ⇒ uh0 = uh,0 und (uhj – uhj–1, vj) + Ɵτjν a(uhj,vj) + Ɵτj N(uhj,uhj,vj) +(1 – Ɵ)τj–1ν a(uhj–1, vj) + (1 – Ɵ)τj–1 N(uh j–1,uh j–1,vj) = ∫[tj–1,tj+1] λjƟ(t) (f, vj) ∼ Ɵτj (f j, vj) + (1 – Ɵ)τj–1(f j–1, vj) Schritt 3: In Operatorschreibweise: uh0 = uh,0 uhj + ƟτjνAhuhj + ƟτjBh(uhj) = uhj–1 + τjƟ f j + τj–1(1 – Ɵ) (f j–1 – νAhuhj–1 – Bh(uhj–1) Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

2.3 Transport-Diffusions Algorithmus (1) Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 2.3 Transport-Diffusions Algorithmus (1) Bem.: Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode. Die wesentliche Idee ist die Rückführung des konvektiven Terms (u · ∇)u und der partiellen Ableitung ∂u/∂t auf die Materialableitung. Das Charak- teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten. Vorbem.: Тh sei affin äquivalente, zulässige, reguläre Unterteilung von Ω, weiterhin seinen (Xh, Mh) stabile Paare zugehöriger Finite Element Räume für Geschwindigkeit & Druck, Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder. Xh sei Lagranger`scher Finite Element Raum, d.h. ∃ nodale Basis (Gitterpunkte xi). Aus dem Transport-Theorem folgt, daß ∂u/∂t + (u · ∇)u die totale zeitliche Ableitung entlang den Trajektorien ist, somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt. Die Näherung uhn+1 für uh(.,tn+1) ergibt sich aus uhn für uh(.,tn) wie folgt: Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

2.3 Transport-Diffusions Algorithmus (2) Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 2.3 Transport-Diffusions Algorithmus (2) Schritt 1: Transport Schritt: Löse für jeden Gitterpunkt xi das gewöhnliche AWP: d/dt yi(t) = uhn(yi(t)) für tn < t < tn+1 yi(tn+1) = xi Schritt 2: Diffusions Schritt: Löse das diskrete Analogon des Stokes Problems: 1/(tn+1 – tn) (un+1 - u(y(tn),tn) - ν∆un+1 + ∇pn+1 = f(.,tn+1) in Ω div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf ∂Ω Es wird also der Term ∂/∂t uh(xi,tn+1) + (uh(xi,tn+1)·∇)uh(xi,tn+1) durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert: 1/(tn+1 – tn) (uh(xi,tn+1) - uh(yi(tn),tn) Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

2.4 Vergleich der verschiedenen Lösungswege Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 2.4 Vergleich der verschiedenen Lösungswege Merkmale Vorteile / Nachteile Linien Methode Komplexität O(h-3) Semidiskret Zeitpunktbetrachtung Nichtlineares AWP + Geringe Komplexität – Fehleranalyse schwierig – starke Regularität benötigt – m Stokes Prob. / Zeitschritt Raum Zeit Finite Elemente Komplexität O(1/∂t h-3) Diskretisierung in Ort & Zeit Komplette Historie Nichtlineares AWP + Fehleranalyse leicht (relativ) – Sehr hohe Komplexität Transport- Diffusions Algorithmus Komplexität O(h-3) Diskretisierung in Ort & Zeit Zeitpunktbetrachtung Lineares AWP + Stabil (große Reynoldszahlen) + Geringe Komplexität + Ein Stokes Prob. / Zeitschritt – Aufwendige Implementierung Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

2.4 Zusammenfassung, Ausblick Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 2.4 Zusammenfassung, Ausblick ∂u/∂t - ν∆u + ∇p + (u · ∇)u = f in Ω x (0, T) div u = 0 u = 0 auf ∂Ω x (0, T) u(.,0) = u0 in Ω 1. Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch die Zeitabhängigkeit der instationären Gleichungen 2. Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw. realitätsfernen Voraussetzungen an die Regularität („worst case“) 3. Entwicklung numerischer Lösungsstrategien durch Varieren der Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln Können jetzt die bekannten Methoden nutzen! Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

2.4 Quellen & Referenzen Skript Numerische Strömungsmechanik, Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen 2.4 Quellen & Referenzen Skript Numerische Strömungsmechanik, Prof. Dr. R. Verfürth, Ruhr-Universität Bochum Lineare Funktionalanalysis, Prof. H. W. Alt, Springer 3. Finite Elemente, Prof. Dr. D. Braess, Springer Dissertation Zeitabhängige gewichtete a posteriori-Fehlerschätzer Dr. M. Metscher, Rheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn Numerik partieller Differentialgleichungen, Prof. Dr. P. Knabner, Prof. L. Angermann, Springer Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

Backup 1 – Transport Theorem Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Backup 1 – Transport Theorem Transport Theorem Sei f : Ω x (0, ∞) → ℝ hinreichend oft differenzierbar. Dann gilt für jedes Volumen V in Ω: d/dt ∫V(t) f(x,t) dx = ∫V(t) [ ∂/∂t f(x,t) + div(fv)(x,t) ] dx Beweis Siehe Vortrag Dr. M. A. Schweitzer Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler