7 Bäume = „verzweigte Folgen“ Z.B. Stammbaum, patriarchalisch: Abraham Isaak Jakob Juda

weitere Beispiele für Bäume: Organisationsbaum Turnierbaum Lehrbuchstruktur Dateibaum Syntaxbaum Operatorbaum: / - + a + d e b c

7.1 Modelle für Bäume Bäume als spezielle ungerichtete (i.a. endliche) Graphen: Definition 1: (freier) Baum : kreisfreier, zusammenhängender Graph (E,K) mit E = Menge der Ecken (Knoten, nodes), K = Menge der Kanten (edges) (= symmetrische, zweistellige Relation auf E) Definition 2: (Wurzel-) Baum : (w,B) mit freiem Baum B=(E,K) und Wurzel w aus E (Die Auszeichnung der Wurzel induziert eine Richtung „weg von der Wurzel“)

Rekursive Definitionen: Definition 3: Ein geordneter Baum ist eine Folge geordneter Bäume Wenn die Ordnung ignoriert wird: Definition 4: Ein Baum ist eine Multimenge von Bäumen (Äquivalent zu Definition 2 !)

Invarianten: Definition 5: Ein n-ärer Baum (n m 1) ist entweder leer oder ein k-tupel (k [ n) von n-ären Bäumen Ein n-ärer Baum mit n m 3 heißt Vielwegbaum (Mehrwegbaum, multi-way tree) (in der Regel geordnet) n = 2 heißt Binärbaum (binärer Baum, binary tree) n = 1 ist Liste „ohne Werte“

Terminologie: Wurzel (root) (ancestor) Vater (parent) Kind (child) Teilbaum Unterbaum (descendant) Blatt innerer Knoten Weg (path) = vertikaler Kantenzug

weiter Terminologie: Grad (degree) eines Knotens = Anzahl seiner Kinder = Anzahl der Teilbäume des zugehörigen Unterbaums, d.h. desjenigen Baums, dessen Wurzel der Knoten ist Ebene, Stufe (level) eines Knotens = Weglänge von der Wurzel bis zum Knoten Höhe eines Baums = maximale Ebene/Weglänge

weiter Terminolgie: Vollständiger Baum: alle Ebenen sind vollständig besetzt - eventuell mit Ausnahme der untersten 1 2 3

Zur Höhe von Binärbäumen: n = Knotenanzahl h = Höhe N(h) = maximale Knotenanzahl bei Höhe h (vollständiger Baum) B(h) = maximale Blätteranzahl bei Höhe h (vollständiger Baum) 1. h [ n-1 h = n-1 : zur Kette entarteter Baum 2. B(h) = 2h N(h) = 2h+1 - 1 3. Eine vorgegebene Anzahl n von Knoten kann in einem vollständigen Baum mit minimaler Höhe h = log2(n+1) - 1 untergebracht werden (weil N(h) m n).

Markierte Bäume = „verzweigte Folgen“ jeder Knoten k trägt Markierung t(k) mit Basistyp T Modell 1: B<T> = { (b,t) | b ist Baum mit Knotenmenge E, t ist Abbildung E -> T } Modell 2: B<S,T> = { (b,s,t) | b ist nichtleerer Baum mit Knotenmenge E, s ist Abbildung Blätter -> S, t ist Abbildung Nichtblätter -> T }

7.2 Spezifikation ... am Beispiel markierter Binärbäume, mit minimaler Signatur: Modell: data Tree t = Empty | Node(Tree t) t (Tree t) Invariante: - Signatur: -- Empty :: Tree t -- Node :: Tree t -> t -> Tree t -> Tree t root :: Tree t -> t left, right :: Tree t -> Tree t empty :: Tree t -> Boolean Semantik: root (Node l v r) = v left (Node l v r) = l right(Node l v r) = r empty t = t == Empty