Mathematische Kompetenzen und ihre Diagnose in unterschiedlichen Bildungsetappen Wolfgang Schneider Institut für Psychologie Universität Würzburg Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Entwicklung mathematischer Kompetenzen Schulbeginn bedeutet nicht die „Stunde Null“ Basale Zählfertigkeiten und ein grundlegendes Verständnis für Mengen entwickelt sich schon im Verlauf der Kindergarten Frühe Unterschiede in basalen mathematischen Kompetenzen haben langfristige Auswirkungen Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Erwerb mathematischer Kompetenzen Im Unterschied zum Lese- Rechtschreibbereich ist der Bereich der mathematischen Kompetenzen erst innerhalb der letzten beiden Jahrzehnten im Hinblick auf Erwerbsprozesse systematischer untersucht worden. Wie für den Schriftsprachbereich gilt auch hier, dass individuelle Kompetenzunterschiede schon im Vorschulbereich erkennbar werden und Risiko-Entwicklungen auch schon in dieser Phase vergleichsweise erfolgreich entgegengewirkt werden kann.

Entwicklung früher mathematischer Kompetenzen (Krajewski, 2008) I) Basis- fertigkeiten Mengen- unterschiede Zähl- prozedur exakte Zahlenfolge Mengen- relationen II) Anzahl- konzept a) unpräzises A. wenig viel sehr b) präzises A. 1 5 2 3 4 eins zwei eins drei zwei eins vier drei zwei eins fünf vier drei zwei eins zwei eins acht tausend drei zwanzig hundert III) Anzahl- relationen a) Zerlegung b) Differenzen 2 „zwei“ 5 „fünf“ 5 „fünf“ 3 „drei“ 3 „drei“ 2 „zwei“

Triple-Code-Modell nach Dehaene (1992) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Vorläufermerkmale mathematischer Kompetenzen (1) unspezifisch: Geschlecht Schicht Intelligenz Arbeitsgedächtnis Informationsverarbeitungsgeschwindigkeit Phonologische Bewusstheit (2) spezifisch: Mengen-Zahlen-Kompetenz „Zahlensinn“ Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Modell des Arbeitsgedächtnisses nach Baddeley (1986) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Vorhersage von mathematischen Kompetenzen Inzwischen liegen eine Reihe von Längsschnittstudien vor, über die der Einfluss von vorschulischen Fertigkeiten (Zählfertigkeit, Mengen-Schätzen) auf die schulische Entwicklung im Bereich Mathematik untersucht wurden (z.B. Krajewski & Schneider, 2006). Wesentlicher Befund: Vorschulische Mengen-Zahlen-Kompetenzen erklären einen beträchtlichen Anteil an Varianz in den Mathematikleistungen zu Ende der Grundschulzeit. In der Studie von Krajewski & Schneider (2006) wurden etwa 26% der Unterschiede in den Mathematikleistungen durch Anzahl- und Invarianzkonzepte der Kindergartenzeit vorhergesagt. Letztere wurden wiederum durch IQ-Unterschiede und Unterschiede in den numerischen Basisfähigkeiten vorhergesagt. Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Vorhersage der Mathematikleistungen in der 4 Vorhersage der Mathematikleistungen in der 4. Klasse aus den im Kindergarten erhobenen Prädiktoren (MZK – Mengen-Zahlen-Kompetenzen); nur signifikante Pfade dargestellt (vgl. Krajewski & Schneider, 2006) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Vorhersage der Mathematikleistung und des Leseverständnisses in der dritten Klassenstufe durch die im Kindergarten erhobene nonverbale Intelligenz und das Arbeitsgedächtnis (Krajewski & Schneider, 2009) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Zentrale Inhalte des Grundschulcurriculums in Mathematik Ausbau des Zahlen- und Mengenkonzepts Erwerb der vier Grundrechenarten Erweiterung des Zahlenraums (von 20 im ersten Schuljahr bis zu einer Million im vierten Schuljahr) Erwerb von Zähl- und anderen Rechenstrategien Automatisierung des Faktenabrufs (Einspluseins und Einmaleins) Erwerb geometrischer Vorstellungen Umgang mit Größeneinheiten (umwandeln) Erste Modellierungen (Abbildung der Inhalte von Sachaufgaben in der Sprache der Mathematik) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Prozentsatz der durch Schulklassenzugehörigkeit aufgeklärten Varianz zu den unterschiedlichen Messzeitpunkten für Textaufgaben und Arithmetiktests (leicht modifiziert nach Stern, 1997) Prozent aufgeklärte Varianz Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Allgemeine Kompetenzen der Bildungsstandards (leicht modifiziert nach Gölitz et al., 2005) Inhaltliche Konkretisierung für 4. Klasse Problemlösen   2. Kommunizieren 3. Argumentieren 4. Modellieren    5. Darstellen Analyse mathematischer Probleme, Generierung mathematischer Lösungsstrategien, Übertragung auf weitere mathematische Probleme (in der Gruppe) mathematische Lösungswege verstehen, reflektieren und fachsprachlich kommunizieren können den Wahrheitsgehalt mathematischer Aussagen erkennen, prüfen und begründen können Sachaufgaben in der Sprache der Mathematik abbilden und lösen können, mathematische Aussagen in Sachaufgaben abbilden können verschiedene Darstellungen für mathematische Probleme nutzen und beurteilen können Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Mathematische Inhaltsbereiche der Bildungsstandards (leicht modifiziert nach Gölitz et al., 2005) Inhaltliche Konkretisierung für 4. Klasse Zahlen und Operationen   2. Raum und Form 3. Muster und Strukturen 4. Größen und Messen 5. Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Zahldarstellungen und -beziehungen im Zahlenraum bis eine Million verstehen, Rechenoperationen verstehen und beherrschen sowie in Kontexten rechnen Orientierung im Raum, geometrische Figuren und einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen, Flächen und Rauminhalte vergleichen und messen Gesetzmäßigkeiten bei Mustern sowie funktionale Beziehungen in Sachsituationen und Tabellen erkennen, beschreiben und darstellen Größeneinheiten kennen, vergleichen, schätzen, messen und umwandeln können, mit Größen in Sachsituationen umgehen können Daten erfassen und darstellen können, Wahrscheinlichkeiten einfacher Zufallsexperimente einschätzen und vergleichen können Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Entwicklung mathematischer Kompetenzen in der Sekundarstufe Kompetenzerwerb verläuft meist nicht kontinuierlich, sondern vielfach auch in Entwicklungssprüngen, die an bestimmten „Schlüsselstellen“ (Blum & Heinze, 2010) auftauchen: Beispiele für „Schlüsselstellen“: - Erweiterung des Zahlbegriffs etwa um Menge der Bruchzahlen - Ausbildung des Variablenbegriffs, über den der Übergang von der Arithmetik zur Algebra eingeleitet wird (Übergang von konkreten Zahlengrößen zu abstrakten Variablen) - vertiefende Betrachtung von Flächen- und Rauminhalt über konkrete Mess- und Vergleichsaktivitäten vor jeder Formelan- wendung - Erwerb eines angemessenen Wahrscheinlichkeitskonzepts - Erweiterung der Modellierungs-Fähigkeiten, also die Entwicklung eines Verständnisses der Zuordnung von Zahlen und Größen zu realen Gegebenheiten Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Wirkungen der Vorkenntnisse auf die Mathematikleistung in der Sekundarstufe (nach Weinert & Helmke, 1987) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Entwicklung der mathematischen Fähigkeiten von Klasse 5-10 (vom Hofe et al. 2009) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Dyskalkulie und Rechenschwäche Definition Die Forschung zu Schwierigkeiten im Rechnen ist noch recht jung. Rechenstörung: beeinträchtige Rechenleistungen mit Diskrepanz zur allgemeinen Begabung und zu anderen Schulfächern, Ausschluss einer ungenügenden Unterrichtung oder neurologischer/organischer Defizite. Es sind eher grundlegende Rechenfertigkeiten betroffen (wie Addition, Subtraktion) und weniger höhere mathematische Fertigkeiten (wie Algebra, Geometrie). Rechenschwäche (analog zur Lese- und Rechtschreibschwäche) beschreibt das Auftreten sehr schwacher mathematischer Leistungen (die zu den untersten 5-25% der Leistungen von Gleichaltrigen zählen).

Dyskalkulie und Rechenschwäche Vorgehen in der Diagnostik Ausschluss von Seh- oder Hörschwächen, neurologischen Ursachen oder einer unzureichenden Beschulung IQ mindestens 85 Leistungen in einem Rechentest durch höchstens 10% aller Kinder des betreffenden Altersjahrgangs unterboten werden Hohe Differenz zwischen allg. Begabung und Leistung im Rechnen; Diskrepanz auch zu anderen schulischen Leistungen -> Rechenstörung Etwa 1-7% der Kinder einer Altersstufe sind betroffen, häufiger Mädchen als Jungen.

Reaktionszeiten für Zahlengrößenvergleich und physischen Größenvergleich für 8- bis 9-Jährige mit unauffälliger Entwicklung, Legasthenie, Dyskalkulie und kombinierter Legastenie/Dyskalkulie (modifiziert aus Landerl & Kaufmann, 2008) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Prozentuale Anteile von Schülerinnen und Schülern unter oder auf der Kompetenzstufe I beziehungsweise auf der Kompetenzstufe IV in den Ländern Deutschlands (Frey et al., 2008) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Gütekriterien von Tests Objektivität: Das Testergebnis hängt nicht vom Untersucher ab (Vorgaben für die Durchführung und Auswertung sind für die Testleiter leicht nachvollziehbar) Reliabilität: gibt die Zuverlässigkeit an, mit der etwa bei Testwiederholung unter gleichen Bedingungen mit der gleichen Ergebnis gerechnet werden kann Validität: Der Test misst in der Tat das, was er zu messen vorgibt Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Testverfahren zur Erfassung früher mathematischer Kompetenzen Inhaltsbereich Altersbereich Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung (OTZ; van Luit et al., 2001) Zahlenwissen und Zahlenverständnis 4-7 Neuropsychologische Testbatterie für Zahlenverarbeitung und Rechnen (ZAREKI-K; von Aster et al., 2009) Zahlen nachsprechen Kopfrechnen Mengenbearbeitung Zählen/Abzählen 4-5 Mathematische Basiskompetenzen im Vorschulalter (MBK-O; Krajewski et al., im Druck) Kenntnis der Zahlenfolge Ziffernkenntnis (1-20) Anzahlkonzept Anzahldifferenz 4-6 Mathematik und Rechentest zur Erfassung von Konzepten im Vorschulalter (MARKO-D; Ricken et al., 2012) Zählen Mentaler Zahlenstrahl Kardinalität und Zerlegbarkeit Enthaltensein Rationaler Zahlenbegriff 4-6;5 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Ziel: Prüfung der Zahlbegriffsentwicklung im Zahlenraum bis 10 Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung (OTZ; van Luit, van de Rijt & Hasemann, 2001) Ziel: Prüfung der Zahlbegriffsentwicklung im Zahlenraum bis 10 Subtests: 8 Komponenten des frühen Zahlbegriffs Gütekriterien: Reliabilität: α = .88 (Testversion A) α = .84 (Testversion B) Validität: Normstichprobe: N = 330 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Neuropsychologische Testbatterie für Zahlenverarbeitung und Rechnen – Kindergartenversion (ZAREKI-K; von Aster, Bzufka & Horn, 2009) Ziel: Erfassung des Zahlenverständnisses, der Zahlenverarbeitung und erster rechnerischer Operationen bei Kindergartenkindern Subtests: N=18: 1. Schätzen, 2. Zahlenerhaltung, 3. Mengenbeurteilung kognitiv, 4. Vorwärtszählen, 5. Rückwärtszählen, 6. Zählen in 2er-Schritten, 7. Vorgänger/Nachfolger, 8. Abzählen, 9. Zahlenlesen, 10. Zahlenschreiben, 11. Zahlenvergleich mündlich, 12. Zahlenvergleich schriftlich, 13. Symbol-Mengen-Zuordnung, 14. Visuelles Rechnen, 15. Kopfrechnen, 16. Zahlenstrahl, 17. Zahlennachsprechen, 18. Textaufgaben. Gütekriterien: Reliabilität: r = .93 Validität: Augenscheinvalidität Normstichprobe: N = 334 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Ziel: Erfassung erster Rechenkonzepte im Vorschulalter Mathematik- und Rechenkonzepte im Vorschulalter – Diagnose (MARKO-D; Ricken, Fritz-Stratmann & Balzer, 2012) Ziel: Erfassung erster Rechenkonzepte im Vorschulalter Subtests: 55 Items, mit denen fünf Konzepte erfasst werden: Zählzahl, ordinaler Zahlenstrahl, Kardinalität und Zerlegbarkeit, Enthaltensein und Klasseninklusion sowie Relationalität. Gütekriterien: Reliabilität: α = .91 Validität: Inhaltsvalidität ist gegeben Normstichprobe: N = 1095 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Beispielaufgaben für die jeweiligen Niveau-Stufen (MARKO-D) Konzepte Itemanzahl pro Niveau Itembeispiele Niveau I Zahlen 15 Gib mir 5 Plättchen Niveau II Mentaler Zahlenstrahl 10 Wie heißt die Zahl, die zwischen der 5 und der 7 kommt? Niveau III Kardinalität und Zerlegbarkeit 14 Hier (links) hat Ben hingemalt, wie viele Nüsse er hat. Lege bitte hier (rechtes Kästchen genau so viele Punkte hin, dass es genau so viele sind wie hier (auf das linke Kästchen zeigen). Niveau IV Enthaltensein 8 Jetzt möchte der Biber 6 Blumen haben – mehr blaue als rote. Gib mir bitte 6 Plättchen, davon sollen mehr blau als rot sein. Niveau V Rationaler Zahlenbegriff 9 Und jetzt bringt mir 8 Blumen. Es sollen 2 mehr blaue als rote sein. Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Erfassung mathematischer Basiskompetenzen (MBK-0 und MBK1; Krajewski, Ennemoser & Sinner, im Druck; Sinner, Ennemoser & Krajewski, im Druck) Ziel des MBK-1: Erfassung mathematischer Basiskompetenzen im Verlauf der ersten Klasse (Gruppentest) Subtests: 2 Subtests (Ebene I): Zahlendiktat, Zahlenlücken 4 Subtests (Ebene II): Anzahlkonzept, Zahlenstrahl, Anzahlseriation, Anzahlvergleich 4 Subtests (Ebene III): Eins mehr und Eins weniger, Zahlergänzung, Teil-Ganzes, Textaufgaben Gütekriterien: Reliabilität: α = .89 bis α = .93 Validität: Inhaltsvalidität erfüllt Normstichprobe: N = 3600 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Test zur Erfassung numerisch-rechnerischer Fertigkeiten vom Kindergarten bis zur 3. Klasse (TEDI-MATH, Kaufmann, Nuerk, Graf, Krinzinger, Delazer & Willmes, 2009) Ziel: Prüfung basaler rechnerischer Kompetenzen, Identifikation von Rechenstörungen (Dyskalkulie) Subtests: 28 Untertests, von denen jeweils einige durchgeführt werden z.B. Zahlenverarbeitung (Größenvergleich arabische Zahlen und Zahlwörter, Transkodierübungen) Rechnen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Textaufgaben) Gütekriterien: Reliabilität: zufriedenstellend bis gut (r = .59 bis.98) Validität: ab Einschulung mittelhohe Korrelationen mit Mathe-Note (r=-.37 bis -.67) Normstichprobe: N = 873 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Deutsche Mathematiktests für die Grundschule Inhaltsbereich Dauer N DEMAT 1+ Mengen – Zahlen Addition – Subtraktion Teil – Ganzes Sachaufgaben 45 min 2936 DEMAT 2+ Längenvergleiche Verdoppeln, Halbieren Sachaufgaben, Geometrie 4014 DEMAT t 3+ Arithmetik Sachrechnen Geometrie 4209 DEMAT 4+ 5266 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Deutscher Mathematiktest für erste Klassen (DEMAT 1+; Krajewski, Küspert & Schneider, 2002) Ziel: Überprüfung der mathematischen Kompetenz von Grundschülern in Bezug auf die Inhalte der Mathematiklehrpläne der 1. Klassen (aller deutschen Bundesländer) sowie zur frühzeitigen Diagnose einer Rechenschwäche bzw. besonderer Mathematikstärken. Subtests: Zu Mengen-Zahlen, Zahlenraum, Addition und Subtraktion, Zahlenzerlegung-Zahlenergänzung, Teil-Ganzes-Schema, Kettenaufgaben, Ungleichungen und Sachaufgaben Gütekriterien: Reliabilität: α = .89 bzw. α = .88 für die 1. bzw. 2. Klasse Validität: Kriteriumsvalidität gegeben: Korrelation mit Mathe-Note r =-.66, mit „Diagnostikum Basisfähigkeiten“ mit r=.77 Normstichprobe: N = 1354 (1. Schuljahr) und N = 1582 (erste drei Monate des 2. Schuljahres) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Deutscher Mathematiktest für zweite Klassen (DEMAT 1+; Krajewski, Liehm & Schneider, 2004) Ziel: Überprüfung der mathematischen Kompetenz von Grundschülern in Bezug auf die Inhalte der Mathematiklehrpläne der 2. Klassen (aller deutschen Bundesländer) sowie zur frühen Diagnose einer Rechenschwäche bzw. besonderer Mathematikstärken. Subtests: Zu Zahleneigenschaften, Längenvergleich, Addition und Subtraktion, Verdoppeln und Halbieren, Division, Rechnen mit Geld, Sachaufgaben und Geometrie Gütekriterien: Reliabilität: α = .93 (2. Klasse), α = .91 (3. Klasse) Validität: Korrelation mit Mathe-Note: r = -.66 Normstichprobe: N = 3960 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Deutscher Mathematiktest für dritte Klassen (DEMAT 3+: Roick, Gölitz &Hasselhorn, 2004) Ziel: Überprüfung der mathematischen Kompetenz in Bezug auf die Mathematiklehrpläne der 3. Klassen sowie zur frühen Diagnose einer Rechenschwäche bzw. besonderer Mathematikstärken. Subtests: Arithmetik: Zahlenstrahlen, Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen Sachrechnen: Sachrechnungen und Längen umrechnen Geometrie: Spiegelzeichnungen, Formen legen und Längen schätzen Gütekriterien: Reliabilität: α = .83 Validität: Korrelation mit Mathe-Note: r = -.61; mit anderen Mathetests: r = .61 - .70) Normstichprobe: N = 4209 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Deutscher Mathematiktest für vierte Klassen (DEMAT 4+: Gölitz, Roick &Hasselhorn, 2006) Ziel: Überprüfung der mathematischen Kompetenz in Bezug auf die Inhalte der Mathematiklehrpläne der 4. Klassen (orientiert an den Bildungsstandards) sowie zur frühen Diagnose von Rechenschwäche bzw. besonderer Mathematikstärken. Subtests: Arithmetik: Zahlenstrahlen, Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen Sachrechnen: Größenvergleiche und Sachrechnungen Geometrie: Lagebeziehungen und Spiegelzeichnungen Gütekriterien: Reliabilität: α = .84 (Mitte 4. Klasse) und α = .85 (Ende 4. Klasse) Validität: Korrelation mit Mathe-Note: r -.70 Korrelation mit anderen Tests: r = . 60 bis .81 Normstichprobe: N = 2250 (Mitte 4. Klasse) und N = 3016 (Ende 4. Klasse) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Neuere Mathematiktests im Bereich der Grundschule Innerhalb der letzten Jahre wurde eine beeindruckende Zahl von Diagnoseinstrumenten für den Grundschulbereich publiziert, die meist Lehrplan-Gültigkeit aufweisen und sich sowohl für die Erfassung des allgemeinen Leistungsstands in Mathematik als auch zur Identifikation von rechen-schwachen Kindern eignen. Die folgende Aufstellung von diagnostischen Verfahren ist nicht erschöpfend. Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Heidelberger Rechentest Erfassung mathematischer Basiskompetenzen im Grundschulalter (HRT 1-4; Haffner, Baro, Parzer & Resch, 2005) Ziel: Erfassung basaler Rechenoperationen, der Größen- und Mengenverarbeitung sowie der räumlich-visuellen Reizverarbeitung Gütekriterien: Reliabilität: rtt= .87-.93 Validität: Korrelationen mit Mathe-Note: r = -.66 bis -.70 Normstichprobe: N = 3.075 Grundschulkinder aus 4 Bundesländern sowie zusätzlich Kinder aus Sprachheilschulen und Förderschulen Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Beschreibung der Untertests des Heidelberger Rechentests (HRT) (aus Haffner, Baro, Parzer, Wu & Resch, 2005) Abk. Untertest Messinhalt Aufgaben-zahl Zeit (min.) SG Schreibgeschwindigkeit Visuomotorisches Arbeitstempo 60 0,5 RA Addition Grundrechnen – Plus 40 2 RS Subtraktion Grundrechnen – Minus RM* Multiplikation Grundrechnen – Mal RD* Division Grundrechnen – Geteilt EG Ergänzungsaufgaben Rechenleistung bei variablen Gleichungs-Aufgaben GK Größer-Kleiner-Aufgaben Größenvergleiche, Überblicksrechnen, Ungleichungen ZF Zahlenfolgen Mathematisch logisches Denken, Erkennen von Regeln 20 3 LS Längenschätzen Visuelle Größenerfassung 24 WÜ Würfel Mengenerfassung unter Berück-sichtigung räumlicher Vorstellung 28 MZ Zählen geordneter Mengen Zählgeschwindigkeit, Mengenstrukturierung 21 1 ZV Zahlenverbinden Wahrnehmungsgeschwindigkeit, Visuomotorik 200 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Diagnostisches Inventar zu Rechenfertigkeiten im Grundschulalter (DIRG; Grube, Weberschock, Blum, Hasselhorn & Gölitz, 2010) Ziel: Dokumentation der Entwicklung des Lernstandes, frühzeitige Erkennung und spezifische Diagnostik von Rechenschwierigkeiten und Rechenstörungen. Subtests: Modul»BASIS« (ab Ende 1. Schuljahr): Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 20, jeweils mit und ohne Zehnerübergang). Das Modul »M100«: Multiplikationsaufgaben (kleines Einmaleins) Modul »D100«: Divisionsaufgaben (kleines Einsdurcheins) Modul »AS1000«: Addition und Subtraktion dreistelliger Zahlen Gütekriterien: Reliabilität: Zwischen rtt = .80 und rtt = .93 Validität: Inhaltsvalidität ist gegeben Normstichprobe: Modul BASIS: N = 5428, Modul M100: N = 2034, Modul D100: N = 1180, Modul AS1000: N = 2156 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Kettenrechner für dritte und vierte Klassen (KR 3-4, Roick, Gölitz & Hasselhorn, 2011) Ziel: Erfassung arithmetischer Rechenleistungen, Leistungs-Screening innerhalb einer Schulklasse, Diagnose von Rechenstörungen, ökonomische Testung großer Stichproben im Bereich der Forschung Subtests: 4 Subskalen: Aufgaben zur Addition, Subtraktion und Multiplikation im Zahlenraum bis 20 in Form kurzer Rechenketten Gütekriterien: Reliabilität: rtt = .90 Validität: Substantielle Korrelationen mit Leistungen im Bereich Arithmetik der DEMATs 3+ und 4 Normstichprobe: N = 3423 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Basisdiagnostik Mathematik für die Klassen 4–8 (BASIS-MATH 4–8; Moser Opitz, Reusser, Moeri Müller, Anliker, Wittich, Freesemann & Ramseier, 2010) Ziel: Zentrale Kenntnisse der Grundschulmathematik (mathematischer Basisstoff) bei Schülerinnen und Schülern mit schwachen Mathematikleistungen erfassen Subtests: 48 Aufgaben: Überprüfung der Grundoperationen, aber auch der Rechenwege bzw. Vorgehensweisen beim Rechnen, des Verständnisses des dezimalen Stellenwertsystems, der Zählkompetenz, des Operationsverständnisses und der Mathematisierungsfähigkeit Gütekriterien: Reliabilität: α = .92 Validität: Inhaltsvalidität ist gegeben Normstichprobe: N = 692 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Testverfahren zur Dyskalkulie bei Kindern - revidierte Fassung (ZAREKI-R; von Aster, Weinhold & Horn, 2005) Ziel: Überprüfung der Zahlenverarbeitung und des Rechnens von Grundschulkindern, Exploration von Rechenstörungen 12 Subtests: 1. Abzählen, 2. Zählen rückwärts mündlich, 3. Zahlen schreiben, 4. Kopfrechnen, 5. Zahlenlesen, 6. Anordnen von Zahlen auf einem Zahlenstrahl, 7. Zahlen nachsprechen vorwärts und rückwärts, 8. Zahlenvergleich (Worte), 9. Perzeptive Mengenbeurteilung, 10. Kognitive Mengenbeurteilung, 11. Textaufgaben, 12. Zahlenvergleich (Ziffern). Gütekriterien: Reliabilität: α = .89 Validität: Inhaltsvalidität ist gegeben Normstichprobe: N = 764 (Kinder des 1. bis 4. Schuljahrs) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Rechenfertigkeiten- und Zahlenverarbeitungs- Diagnostikum für die 2 Rechenfertigkeiten- und Zahlenverarbeitungs- Diagnostikum für die 2. bis 6. Klasse (RZD 2-6; Jacobs & Petermann, 2005) Ziel: Erfassung basaler Zahlenverarbeitung und Exploration umschriebener Rechenstörungen Je nach Klassenstufe 17 oder 17 Untertests zu Zählfertigkeiten, Zahlenwissen, Kopfrechnen und schriftliches Rechnen, Textaufgaben und visuell-räumliche Mengen-Aufgaben Gütekriterien: Reliabitität: r = .89 bis .95 Gültigkeit: Augenscheinvalidität Normstichprobe: 497 Kinder aus Bremen Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Hamburger Rechentest 1-4 (HaReT 1-4; Lorenz, 2005) Ziel: Frühzeitige Erkennung von Kindern mit Rechenschwächen (Basis: Triple-Code-Modell) Aufbau: vier Jahrgangstests mit jeweils 8 bis 10 Untertests (z.B. Größen vergleichen, Spiegelbilder erkennen, Bilder ordnen, Mengen vergleichen) Gütekriterien: Reliabilität: r = .94 - .97 Validität: ? Normstichprobe: mehr als 2000 Kinder aus dem Großraum Hamburg Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Test zur Diagnose von Dyskalkulie (TeDDY-PC; Schroeders & Schneider, 2008) Ziel: Computergestützte Überprüfung der Rechenkompetenz von Schülerinnen und Schülern der ersten bis zur vierten Klassenstufe Aufbau: Zusammenstellung der Untertests orientiert sich am Triple-Code-Modell; die Subtests beziehen sich auf Grundrechenarten, geometrische Aufgaben und Sachaufgaben (lehrplanorientiert) Gütekriterien: Reliabilität: r = .92 - .93 Validität: Lehrplanvalidität ist gegeben; Korrelationen mit Mathe-Noten: r = -.55 bis -.66 Normstichprobe: N = 795 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Der Bielefelder Rechentest für das zweite Schuljahr (BIRTE 2; Schipper, Wartha, & v. Schroeders, 2011) Ziel: Erfassung arithmetischer Kompetenzen mit einem software-gestützten Diagnose-Verfahren Aufbau: 4 Modulgruppen, die wiederum aus insgesamt 13 Einzelmodulen bestehen (Orientierung im Zahlenraum; Basis-kompetenzen; Rechnen, Grundvorstellungen zu Größenbereichen und zu Grundrechenarten) Gütekriterien: Reliabilität: r = .77 - .78 Validität: Lehrplangültigkeit ist gegeben; Korrelation mit Mathe-Note: r = -.62 Normstichprobe: N = 2087 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Testverfahren zur Erfassung mathematischer Leistungen in der Sekundarstufe Inhaltsbereich Dauer N Deutscher Mathematiktest für fünfte Klassen (DEMAT 5+; Götz et al., 2013a) Arithmetik Geometrie Sachrechnen 35 min 2400 Deutscher Mathematiktest für sechste Klassen (DEMAT 6+; Götz et al., 2013b) Deutscher Mathematiktest für neunte Klassen (DEMAT 9; Schmidt et al., 2012) Arithmetik/ Gleichungen - Funktionen Geometrie Sachrechnen Stochastik 35-40 min 1230 Test zur Erfassung des Konventions- und Regelwissens (KRW; Ennemoser, 2012) Basale Rechenkompetenzen Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Die Deutschen Mathematiktests für die fünfte und sechste Klassenstufe (DEMAT 5+ und DEMAT 6+; Götz, Lingel & Schneider, 2013a und b) Ziel: Überprüfung des Leistungsstands im mathematischen Bereich gegen Ende der 5. und 6. Klassenstufe in unterschiedlichen Schulformen, orientiert an den Leitlinien der Bildungsstandards Aufbau: Jeweils 3 Subskalen (Arithmetik, Geometrie, Sachrechnen) Gütekriterien: Reliabilität: r = .89 - .91 Validität: Lehrplangültigkeit ist gegeben; Korrelation mit anderen Mathe-Tests variiert zwischen .55 (HRT) und .81 (LEMAT) Normstichproben: N = 2345 (DEMAT 5+) und N = 1931 (DEMAT 6+) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Überblick über die Aufgabeninhalte des DEMAT 5+ (leicht modifiziert nach Götz et al., 2013) Inhaltsbereich Aufgabeninhalt Anzahl Items Leitidee Bearbeitungszeit Subtest A Arithmetik   Zahlenstrahl 2 1, 3 11 Min. Bestimmung eines Anteils 1 Rechengesetze Umwandung von Maßeinheiten Rechnen mit Maßeinheiten Rechnen mit unbekannter Variable 1, 4 Schriftliches Rechnen mit unbekannten Variablen Aufstellen eines Terms Aufstellen einer Gleichung Grundrechenarten 14 Anmerkung: Zuordnung zu den Leitideen der Kultusministerkonferenz – fett markiert ist die Primärzuordnung wie folgt: 1: Zahl und Operation; 2: Raum und Form; 3: Größen und Messen; 4: Funktionaler Zusammenhang; 5: Daten und Zufall Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Überblick über die Aufgabeninhalte des DEMAT 5+ (leicht modifiziert nach Götz et al., 2013) Inhaltsbereich Aufgabeninhalt Anzahl Items Leitidee Bearbeitungszeit Subtest B Geometrie Umfangmessung 1 2, 3 5 Min. Symmetrie 2 Umfang Quadrat 1, 3 Umfang Rechteck 1 , 3, 4   4 Subtest C Sachrechnen Proportionalität Dezimalzahl 1, 3, 4 15 Min. Aufstellen eines Terms: Division Proportionalität Aufstellen eines Terms: Subtraktion Aufstellen eines Terms: Addition Gleichung Datenbearbeitung Tabelle 1, 3, 5 Aufstellen eines Terms: Differenz Datenbearbeitung Diagramm 5 15 Summe DEMAT 5+ Gesamt 33 31 Min. Anmerkung: Zuordnung zu den Leitideen der Kultusministerkonferenz – fett markiert ist die Primärzuordnung wie folgt: 1: Zahl und Operation; 2: Raum und Form; 3: Größen und Messen; 4: Funktionaler Zusammenhang; 5: Daten und Zufall Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Deutscher Mathematiktest für neunte Klassen (DEMAT 9; Schmidt, Ennemoser & Krajewski, 2012) Ziel: Bereitstellung eines ökonomischen und lehrplanvaliden Verfahrens, das schulform-übergreifende Erfassung des Leistungsstands in Mathematik ermöglicht und sich an den Leitlinien der Bildungsstandards orientiert. Aufbau: Insgesamt 9 Aufgabengebiete: Lineare Gleichungen, Zahlenrätsel, Prozent- und Zinsrechnung, Dreisatz, Satz des Pythagoras, Geometrische Flächen und Körper, Datenbasis Abbildung, Datenbasis Tabelle (Informationsentnahme aus Abbildungen/ Tabellen) Gütekriterien: Reliabilität: r = .82 - .89 Validität: Lehrplangültigkeit; Korrelation mit KRW: r =. 64 - .73 Normstichprobe: N = 1230 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Ergänzungstest Konventions- und Regelwissen (KRW; Ennemoser, 2012) Dieser Screening-Test ergänzt den DEMAT 9 und erfasst das Verständnis der mathematischen Notation, d.h. mathematischer Symbole, Konventionen und Rechenregeln. Sämtliche Aufgaben sind im Zahlenraum bis 10 zu lösen. Inhalt: Fünf Bereiche: Vorzeichen-/Klammerregeln, Brüche, Dezimalzahlen, Wurzeln und Potenzen Bearbeitungszeit: weniger als 5 Minuten Normstichprobe: N = 1230 Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Basale Zahl-Größen-Kompetenzen im vier- bis zehnstelligen Zahlenraum (oben) sowie Konventions- und Regelwissen im Zahlenraum bis 10 (unten) differenziert nach Klassenstufe und Schulform (vgl. Ennemoser et al., 2011) Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Zusammenfassung Ein erster Tests-und Trends-Band zur Diagnostik von Mathematik-leistungen (Hasselhorn, Marx & Schneider, 2005) wies auf ein Defizit an geeigneten Testverfahren hin, wartete aber schon mit einigen Mathematiktests insbesondere im Grundschulbereich auf und verwies auf einen positiven Trend. Mittlerweile sind wesentlich mehr geeignete Verfahren im Grundschulbereich verfügbar, weiterhin aber auch normierte Diagnostik-Instrumente im Vorschulbereich und im Bereich der Sekundarstufe, die sowohl allgemeine Leistungsstands-Erhebungen als auch gezielte Überprüfungen in den Problembereichen Rechenstörungen und Rechenschwäche ermöglichen. Die meisten Verfahren sind lehrplangültig, umfassend normiert und zeitökonomisch. Sie kommen in der Regel mit einer Schulstunde aus. Angesichts der Vielzahl von prinzipiell geeigneten Verfahren hat die Lehrerin/ der Lehrer nun vielfach sogar die Qual der Wahl, was eine völlig neue, jedoch durchaus angenehme Situation darstellt. Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Ausgewählte weiterführende Literatur Hasselhorn, M., Heinze, A., Schneider, W. & Trautwein, U. (Hrsg.) (2013), Diagnostik mathematischer Kompetenzen. Tests und Trends, N.F. Band 11. Göttingen: Hogrefe. Hasselhorn, M. & Schneider, W. (Hrsg.) (2011). Frühprognose schulischer Kompetenzen. Tests und Trends, N.F. Band 9. Göttingen: Hogrefe. Fritz, A., Ricken, G. & Schmidt, S. (Hrsg.) (2009). Handbuch Rechenschwäche (2. Aufl.). Weinheim: Beltz. Jacobs, C. & Petermann, F. (2007). Rechenstörungen. Göttingen: Hogrefe. Landerl. K. & Kaufmann, L. (2008). Dyskalkulie – Modelle, Diagnostik, Intervention. München: Reinhardt (UTB). Schneider, W., Küspert, P. & Krajewski, K. (2013). Entwicklung mathematischer Kompetenzen. Paderborn: Schöningh (UTB). Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV