Verschlüsselte Botschaften - eine Einführung - Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Prof. Dr. R.-P. Holzapfel Verschlüsselte Botschaften - eine Einführung - Lange Nacht der Wissenschaften 14. Juni 2003
Die Cäsar – Methode ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ ABC Die Verschlüsselung: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ ↓ ↓ ↓ ↓ ... ↓ ↓ ↓ ↓ ABC DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
Die Cäsar – Methode DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC ABC Die Entschlüsselung: DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC ↓ ↓ ↓ ↓ ... ↓ ↓ ↓ ↓ ABC DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
Die Cäsar – Methode Was ist der Schlüssel? Der Schlüssel ist die Zahl 3. Wie viele sinnvolle Schlüssel gibt es für diese Methode? Es gibt 26 Schlüssel: 0; 1; 2; …; 25. Davon sind 25 Schlüssel sinnvoll.
Einfache Substitution Die Verschlüsselung: Jedem Buchstaben des Alphabets wird ein anderer beliebiger Buchstabe zugeordnet. Dabei dürfen keine zwei Zeichen durch einen gleichen Buchstaben verschlüsselt werden. Ein Beispiel: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ ↓ ↓ ↓ ↓ ... ↓ ↓ ↓ ↓ UIVOGNKLPQRTMSAXCHZYJBFDEW
Einfache Substitution Was ist der Schlüssel? Um eine Nachricht zu entschlüsseln, benötigt man die obige Schablone. Wie viele Schlüssel gibt es für diese Methode? Es gibt 262524…21=26! Möglichkeiten.
Häufigkeiten Zu 51% besteht unsere Sprache aus den Buchstaben des ERNSTL´s.
Enigma
Enigma Rotierende Walzen waren so hintereinander geschaltet, dass sie einen Buchstaben mehrfach substituierten. Sie verstellten sich selbst nach einem bestimmten System. Dadurch wurde ein und der selbe Buchstabe nicht immer von dem gleichen Zeichen verschlüsselt und dadurch empirische Häufigkeiten unterdrückt.
Enigma Es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten die sechs Buchstaben zu verschlüsseln.
Enigma Durch Hintereinanderschalten erhöht sich die Anzahl der Möglichkeiten das Sechs-Buchstaben-Alphabet zu verschlüsseln auf 6 • 6 • 6 = 216.
Enigma Durch den Reflektor werden Verschlüsselung und Entschlüsselung zu spiegelverkehrten Prozessen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, um einen Buchstaben mit der Enigma zu verschlüsseln? Walzenstellungen 26·26·26 = 17 576 Walzenlagen 3! = 6 Steckerbrett mit 6 Verbindungskabeln 100 391 791 500 Gesamtzahl 10 000 000 000 000 000
Der Chinesische Restsatz Problem: Wir führen parallel zur 7 Tage-Woche eine 10 Tage-Woche für Schüler ein. Diese beginnt am 14. Juni 2003 mit dem 6.Tag der 10 Tage-Woche, der also mit dem Samstag der 7 Tage-Woche zusammenfällt. Für intensiveres Lernen bekommen die Schüler nur an den Tagen Ferien, an denen der Samstag der 7 Tage-Woche mit dem 6.Tag der 10 Tage-Woche übereinstimmt. Wann haben die Schüler ihren nächsten Ferientag?
Der Chinesische Restsatz heißt (lineares oder auch simultanes) Kongruenzsystem, wobei m und n natürliche Zahlen und a und b ganze Zahlen sind. Chinesischer Restsatz oder Satz über simultane Kongruenzen: m, nℕ seien teilerfremd, dann gilt: es existiert eine Lösung x0 des Kongruenzsystems, x0 ist eindeutig bestimmt modulo (m‧ n) und x0+ℤ‧ m‧ n sind alle Lösungen des Systems.
Der Chinesische Restsatz
Vielen Dank für Ihr Interesse!