Spezialvorlesung Suchalgorithmen Thema: Selektive Suche Stefan Edelkamp

Struktur des Buchs

Überblick Randomisierte Suche Lokale Suche Las Vegas und Monte Carlo SAT-Algoritmen Lokale Suche RLS + (1+1) EA Simulated Annealing, Tabu-Suche Ameisen-Algorithmen Lagrange-Multiplikatoren

Randomisierte Suche Randomisierter Algorithmus = Deterministischer Algorithmus + Zufallsexperimente Las Vegas: Vermeide worst-case durch Randomisieren der Eingabe (immer korrekt) Monte Carlo: Randomisiere Genauigkeit (meistens korrekt) Beispiele: Randomisierte Binärbaum (Las Vegas) Randomisiertes Quicksort (Las Vegas) Randomisierte Primzahltest (Monte Carlo)

SAT: Nadel im Heuhaufen

Problem Max-k-SAT m Klausen, n Variablen, k Variablen pro Klausel Probem: Suche NP-hard selbst für k=2 !

Deterministische .5-Approximation In jeder Iteration werden mindestens so viele Klauseln erfüllt wie nicht erfüllt

Monien-Speckenmeyer Deterministisch Bricht 2^n Grenze: O(1.839^n) für 3-SAT Verbesserte Version: O(1.6181^n) für 3-SAT

Hamming Sphere

Illustration Laufzeit: (2k/(k+1))^n O((3/2)^n) für k=3

Random Walk Laufzeit: (2 (1-(1/k))^n O((4/3)^n) für k=3

Illustration

Davis-Putnam while (true) if (!decide()) // Entscheidung für eine Variable -> Stack return(satisifiable); while (!bcp()) // Boole‘sche Constraint Propagierung if (!resolveConflict()) // Löse Konflikt, s.u. return (not satisfiable); bool resolveConflict() d = most recent decision not ‘tried both ways’; if (d == NULL) // kein solches d gefunden return false; flip the value of d; mark d as tried both ways; undo any invalidated implications; return true;

Einzel-Klausel Propagierung Idee: Wenn immer in einer Klausel eine Literal festlegt ist wird es sofort weiter propagiert Stoppe, wenn keine weiteren Zuweisungen erreicht werden, oder ein Konflikt identifiziert wird (backtrack)

Chaff: Watch-Literal Beim Besuch einer Klausel muss eine der zwei Bedingungen gelten: (1) Klausel wird nicht impliziert  >= 2 Literal sind nicht 0, inklusive der anderen Watched Literale.  => 1 Nicht-Watched Literal wird nicht auf 0 gesetzt. Dies wird gewählt und ausgetauscht  Bedingung, dass die beiden Watched-Literale nicht 0 sind (2) The Klause wird impliziert. Dies generiert eine neue Implikation (es sei denn die Klausel ist erfüllt). Dabei ist zu beachten das die implizierte Variable immer das andere Watched Literal sein muss, da die Klausel immer ein Literal nicht 0 hat, und einer der beiden Watched Literale auf 0 gesetzt wird.

Illustration

State-of-the-Art Siege, industriell, u.a. in SAT-Plan Minisat, public domain, u.a. in MAX-Plan MiniSat is a minimalistic, open-source SAT solver, developed to help researchers and developers alike to get started on SAT. It is released under the MIT licence, and is currently used in a number of projects (see "Links"). On this page you will find binaries, sources, documentation and projects related to MiniSat, including the Pseudo-boolean solver MiniSat+ and the CNF minimizer/preprocessor SatELite. Together with SatELite, MiniSat was recently awarded in the three industrial categories and one of the "crafted" categories of the SAT 2005 competition

Setting: Lokale Suche

Randomisierte Lokale Suche Betrachte die Suche nach Minimum von f : {0,1}^n -> IR

(1+1) EA Idee: Erlaube weitere Sprünge im Suchraum durch Kreuzung von Individuen Rekombination

Genetische Algorithmen Ganze Population modelliert Evolution Genetische Operatioren: Selection, Cross-Over, Mutation, Recombination Analyse beruht auf Schema-Theorem (heftig umstritten)

Implementierung

Simulated Annealing Randomisierte Suchstrategie Motiviert durch Temperaturen & Abkühlen Bolzmann-Konstante „Flut“-Algorithmus Optimal im Limit

Simulated Annealing

Tabu Suche Oder Taboo-Suche, Wort verweist auf Aborigines „heilig - nicht berühren“ Tabu-Liste soll Lokale Minima vermeiden Ansatz: Wenn alle Nachbarn „tabu“ sind, werden schlechtere Lösungen akzeptiert. Alternative: Wenn es einen klar verbessernde Option gibt, ignoriere Liste Strategien zur Aktualisierung der Tabu-Liste: LRU in den letzten k Zügen

Tabu Suche

Randomisierung

Ameisen-Algorithmen Populationsbasiert Randomisierte Entscheidungen, gerichtete durch Pheromone (verbleichende Informationen) und andere Kriterien Beschränkter Speicher Ameisen können zulässige Handlungen erkennung und bewerten Verteilen Pheromone je nach Güte der Lösung

Simple Ant System

Lagrange-Optimierung Beschränktes lokales Minimum (CLP): x* zulässig und f(x*) <= f(x) für alle x in Nc(x)

Lagrange-Multiplikatoren Für Vektoren Lamda und mu definiere Idee: Optimiere L und verstärke den Einfluss von Lamda und mu nach und nach

Sattelpunkte Existieren Lambda* und mu* mit hinreichend, aber nicht notwendig für x* CLM z.B. x*=5 in Deshalb definiere Transformierte Lagrange-Funktion als

Erweiterte Sattelpunktbedingung Existieren alpha*>=0, beta* >=0, so dass Für alle alpha** >= alpha*, beta** >= beta* Beispiel: An x*=5, kein striktes Minimum für alpha=alpha*=10 aber an alpha>alpha*

Implementierung

Epilog: Unendliche Zustandsräume

Planen mit Presburger Formeln

Von Aktion zur Formel

Von Formel zum Automaten

Spezialvorlesung SS 2007 Gerichtete Modellprüfung