F FnFn z Prof. Dr. Johann Graf Lambsdorff Universität Passau SS Zur Bildung von Zyklen

Empfohlene Lektüre: Chiang, A. (1984), Fundamental Methods of Mathematical Economics, S Spahn, H.-P. (2009), Geldpolitik. Finanzmärkte, neue Makroökonomie und zinspolitische Strategien, S

Eine Zentralbank wird die Steuerung des Zinsniveaus mit dem Ziel einer Stabilisierung von Inflation und Produktionslücke durchführen. Dabei steht sie vor dem Problem, dass ihr heutiger Instrumenteneinsatz erst in der Zukunft wirken wird. Sie muss daher die Wirkungsverzögerungen ihrer Aktionen berücksichtigen. Sie sieht sich dabei zum einen konfrontiert mit den Konjunkturzyklen, auf die sie reagieren muss. Zum anderen ist sie in der Gefahr, selbst diese Zyklen zu erzeugen. Dies resultiert insbesondere dann, wenn sie mit ihrem Instrumenteneinsatz den richtigen Zeitpunkt verpasst.

Die Relevanz von Zyklen zeigt sich für Großbritannien in den Jahren

Die Philips-Kurve für Deutschland 1965 – 1999 (alte Bundesländer) Arbeitslosenquote Inflationsrate Quelle: Jan-Egbert Sturm, Konstanz 2004

Solche Zyklen können insbesondere dann entstehen, wenn der Realzins nicht unmittelbar auf die Güternach- frage wirkt, sondern mit einer zeitlichen Verzögerung. Im Keynesianischen Konsensmodell gilt dann: Wird die Taylorregel der Periode -1 in die IS-Kurve eingesetzt, so folgt:

Gemäß Inflationsfunktion gilt: Wird dies in (2) eingesetzt, so folgt: In Standardnotation schieben wir die Gleichung eine Perioden nach vorne:

Hierzu bestimmen wir eine partikuläre Lösung, P, welche durch die langfristige Gleichgewichtslösung bestimmt ist: t+2 = t+1 = t = P. Die partikuläre Lösung bildet zusammen mit der Lösung des homogenen Teils der Differenzengleichung die gesamte Lösung. Für den homogenen Teil, c, gilt:

Wir vermuten, dass ein exponentieller Term der Form Ac t als Lösung für den homogenen Teil für t in Frage kommt. Dies impliziert t+1 = Ac t+1 und t+2 = Ac t+2 Wird dies eingesetzt, so folgt: a1a1 a2a2

Dies wird die charakteristische Gleichung genannt. Sie hat zwei charakteristische Wurzeln: Es gibt somit zwei voneinander unabhängige Lösungen. Beide sind Bestandteil der allgemeinen Lösung der Differenzengleichung, jeweils mit einer Konstanten multipliziert. Einsetzen erbringt: Falls c 1 c 2 <0 sind Wurzeln mit umgekehrten Vorzeichen vorhanden. In diesem Fall resultiert eine alternierende Entwicklung. Dies gilt bei

Ebenfalls eine alternierende Bewegung ergibt sich bei c 1 <0 und c 2 <0. Gilt hingegen und, so sind beide Wurzeln positiv und es liegt eine monotone Entwicklung vor. Ist eine Wurzel größer als 1, so ergibt sich eine divergente Entwicklung. Falls, steht unter der Wurzel ein negativer Term. In diesem Fall muss die Lösung komplex sein.

Die beiden Lösungen lassen sich dann so schreiben: c 1,c 2 =h±vi, mit dem Realteil: h=-a 1 /2 und dem imaginären Teil: Die Lösung, c =A 1 (h+vi) t +A 2 (h-vi) t, ist nicht leicht zu interpretieren. Sie kann aber in trigonometrische Funktionen transformiert werden: (h±vi) t =R t (cos t±i. sin t). Hierbei gilt sowie und

Aus c =A 1 (h+vi) t +A 2 (h-vi) t wird dann: c =A 1 R t (cos t + i. sin t)+A 2 R t (cos t - i. sin t) =R t (A 3 cos t +A 4. sin t); A 3 =A 1 +A 2 ; A 4 =(A 1 -A 2 )i Die Werte der Konstanten A 3 und A 4 lassen sich jeweils aus den Anfangswerten bestimmen. Beispiel: t+2 +1/4. t = 5. Offensichtlich ergeben sich komplexe Wurzeln. Es gilt h=0; v=1/2 sowie R=1/2. Daraus folgt cos =0 und sin =1, was jeweils bei = /2 erfüllt ist. Da ferner P =4, folgt: t = (1/2) t. (A 5 cos( /2. t) +A 6. sin( /2. t))+4.

Es liegt Konvergenz vor, falls: Dies impliziert, dass bei einer zu hohen Inflationspräferenz Zyklenbildung entstehen kann. Im extremen Fall kann diese sogar divergent sein. Bei einer hohen Beschäftigungspräferenz könnte ebenfalls Divergenz auftreten, allerdings ohne Zyklenbildung, sondern mit einer alternierenden Entwicklung. Das Modellverhalten kann auch mit Hilfe einer Excel- Tabelle ermittelt werden.

Es ergibt sich insgesamt die folgende Übersicht für alternative Werte der Beschäftigungspräferenz und Inflationspräferenz bei b 1 =1, =0,4 I P 0, Divergente Zyklen Kovergente Zyklen Kovergente, alternierend e Entwicklung Divergente, alternierend e Entwicklung 4 Kovergente, monotone Entwicklung