Vorlesung Prozessidentifikation z-Transformation für zeitdiskrete Signale / Bestimmung des Frequenzganges und Ortskurve aus der digitalisierten Sprungantwort / Identifizierung im Amplitudengang 15. Mai 2002 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.1

z - Transformation Themen Herleitung der z-Transformation als Beschreibung des Übertragungsverhaltens von zeitdiskreten Signalen Definition der z-Transformation Korrespondenztabellen Beispiele April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.2

Digitalisierung kontinuierlicher Signale Abtastung: periodische Abtastung / Impulsfolge im Abstand Abtastzeit / Eingangssequenz für Prozessmodell Prozessmodell: Algorithmus / Errechnung der Ausgangssequenz Berechnung benötigt Bearbeitungszeit Tr Kern des Regelkreises / Prozessrechner Ausgangssequenz: Durch Modell entsteht modifizierte Signalfolge yd(kTo) -> ud(kTo) April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.3

Diskrete Systemantwort k=m y(k) u(k) g(k) G(s) y(m) = Σu(k)g(m-k) K=0 Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem! Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge. Alternative Lösung durch Einführung und Anwendung der z- Transformation April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.4

Kontinuierliche vs. diskrete Systeme Kontinuierlich diskret Faltung y(t) = u(t)g(t-)d y(m) = Σu(k)g(m-k) Übertragungs- Funktion Differential- gleichung   U(s) U(z) G(s) Y(s) G(z) Y(z)  Y(s) = G(s)U(s)  Y(z) = G(z)U(z) dmy/dtm + am-1dm-1y/dtm-1 + .... + a0y = bndnu/dt + bn-1dn-1u/dtn-1 + .... + b1du/dt + bou y(k+m) + am-1y(k+m-1) + .... + aoy(k) = bnu(k+n) + bn-1u(k+n-1) + .... + b1u(k+1 + bou(k)  April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.5

Lineare zeitinvariante diskrete Systeme Lineares System Superposition y1(n) = T[u1(n)] y2(n) = T[u2(n)] u(n) = a1u1(n) + a2u2(n) y(n) = T[u(n)] = a1T[u1(n)] + a2T[u2(n)] Zeitinvariantes System Systemreaktion ist unabhängig vom Startzeitpunkt der Anregung mit u(k) y(n) = T[u(n)] y(n-no) = T[u(n-no)] April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.6

Differenzengleichung y(k+m) + am-1y(k+m-1) + .... + aoy(k) = u(k+n) + bn-1u(k+n-1) + .... + b1u(k+1) + bou(k) Beispiel: y(k+2) + a1y(k+1) + aoy(k) = bou(k) Differenzgleichung 2. Ordnung y(k+2) = bou(k) - a1y(k+1) - aoy(k) Zur Bestimmung von y(k+2) werden die Vorgänger y(k+1) und y(k) benötigt. Die Lösung der Gleichung erfordert Additions-, Multiplikations- und Speicherglieder (Speicherglied <-> Integrator). April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.7

Graphische Darstellung für Differenzengleichungen April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.8

Berechnungsvorschrift Beispiel: Differenzgleichung 2. Ordnung: y(k+2) = bou(k) - a1y(k+1) - aoy(k) Für k = 3 gilt: April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.9

Blockschaltbild Differenzengleichung 2. Ordnung April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.10

Beispiel Differenzengleichung 1. Ordnung y(k+1) = ay(k) + u(k) k = 0,1,2,3,.... Für k=0: y(1) = ay(0) + u(0) y(0) muß bekannt sein. Anfangsbedingung, unabhängig von Eingangssequenz u(k) Für k=1: y(2) = ay(1) + u(1) = a2y(0) +au(0) +u(1) Für k=2: y(3) = a3y(0) +a2u(0) + au(1) + u(2) Allgemein: y(k) = aky(0) + Σu(j)ak-1-j Die Lösung besteht aus 2 Anteilen: aky(0) Anfangsbedingung / homogener Teil Σu(j)ak-1-j Erzwungener Anteil, abhängig von Eingangssequenz j=k-1 j=0 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.11

Beispiel System 1. Ordnung Anregung mit u(k) = Δ(k) = 1 für k=0, sonst 0 y(k) = ak-1 für k>= 1 Gewichtsfolge für System 1. Ordnung Σu(j)ak-1-j Die Summe entspricht der zeitdiskreten Faltung von Eingangssequenz und Stoßantwort g(k) = ak-1. vgl. y(m) = Σu(k)g(m-k) j=k-1 j=0 k=m K=0 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.12

Einführung z-Transformation: Voraussetzung LTI-System g(k) G(s) y(k) u(k) ges: y(k) = f(g(k), u(k)) vgl. y(t) = f(g(t), u(t)) -> Y(s) = G(s) U(s) u(k) = u*(t) = Σu(kT) δ(t-kT) = u(0) δ(t) + u(T) δ(t-T) + u(2T) δ(t-2T) + ... Transformation in den Frequenzbereich: U*(s) = u(0) 1 + u(T) e-sT + u(2T)e-s2T + .... + u(kT)e-skT + ..... = Σu(kT)e-skT Setzt man formal z = esT so gilt: U(z) = Σu(kT)z-k {u(kT)} <-> U(z) k= K=0 k= K=0 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.13

z-Transformation Interpretationen der z-Transformation: Die z-Transformation beschreibt den Zusammenhang zwischen einer Zahlenfolge {u(kT)} und der Funktion U(z). Die Herkunft der Zahlen- folge ist unerheblich. Die z-Transformation kann als Spezialfall der Laplace- Transformation aufgefaßt werden u*(t) <-> U*(s) = U(z) mit z=esT Zeitkontinuierlich G(s) = Y(s)/U(s) Diskret G(z) = Y(z)/U(z) y(m) = Σu(k)g(m-k) <-> Y(z) = U(z)G(z) Y(z) = Σy(m)z-m = Σz-mΣu(k)g(m-k) = Σz-mΣu(k)g(m)z-k = Σz-mg(m)Σu(k)z-k =G(z)U(z) April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.14

Korrespondenztabelle 1 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.15

Korrespondenztabelle 2 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.16

Beispiel Berechnung der z-Transformierten zur Folge u(k) = {1,1,1,1,1,1.....} mit k= 0,1,2,3,4,5,..... U(z) = Σu(k)z-k = Σz-k = 1 + 1/z + 1/z2 + 1/z3 + 1/z4 + .... U(z) = lim Σu(k)z-k = lim{Σz-k} = 1 + 1/z + 1/z2 + 1/z3 + 1/z4 + .... + 1/zn zU(z) = zΣu(k)z-k = lim{zΣz-k} = z + 1 + 1/z + 1/z2 + 1/z3 + 1/z4 + .... +1/zn-1 U(z)(z-1) = lim(z-z-n) = z -> U(z) = z/(z-1) k= K=0 k=n k=n n-> K=0 n-> K=0 k= k=n K=0 n-> K=0 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.17

Beispiel / Übung Gegeben ist u(k) = {1,1,1,1,1....} für k = 0, 1, 2, 3, 4, .... u(k) <-> U(z) = z/(z-1) Rechtsverschiebung um eine Stelle: u(k-1) <-> z-1 U(z) = 1/(z-1) Rechtsverschiebung um zwei Stellen: u(k-2) <-> z-2 U(z) = 1/[z(z-1)] Linksverschiebung um eine Stelle: u(k+1) <-> zU(z) – zu(0) = z2/(z-1) – z = z/(z-1) Linksverschiebung um zwei Stellen: u(k+2) <-> z2U(z) – z2u(0) –zu(1) = z2/(z-1) – z2 - z = z/(z-1) April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.18

Beispiel / Übung Differenzengleichung: y(k+2) = y(k+1)+y(k) z-Transformierte: z2Y(z) – z2y(0) - zy(1) = zY(z) - zy(0) + Y(z) Anfangsbedingungen: y(0) = 0; y(1) = 1 Y(z) = z/(z2-z-1) Polstellen bei z1,2 = 0.5 (1±5) Y(z)/z = 1/(z2-z-1) = A/(z-z1)+ B/(z-z2) = Q(z) A = 1/5 und B = -1/5 Y(z) = A z/(z-z1) + B z/(z-z2) y(k) = A{1, z1, z12, z13, ...} + B{1, z2, z22, z23, ...} y(k) = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .....} April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.19

Übertragungsfunktion Themen: Bestimmung des Frequenzganges aus der diskreten Sprungantwort eines LTI-Systems Berechungsgrundlagen Beispiele April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.20

Identifikation für diskrete Systemantwort k=m y(k) u(k) g(k) G(s) y(m) = Σu(k)g(m-k) K=0 Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem! Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge. Neue Problemstellung/Ausgangssituation: Digitalisierte Sprungantwort (äquidistante Zeitabstände) Quantisierte Funktionswerte LTI-System Interpolation der Werte für den Zeitbereich außerhalb der Abtastung durch Geradenstücke Gesucht: Frequenzgang / Ortskurve / Real- und Imaginärteil April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.21

Lösungsansatz / Interpolation Interpolation durch Geradenstücke: y(t) = y0 + (y1-y0)/(t1-t0) t σ(t) für 0<= t < t1 1. Intervall y(t) = y1 + (y2-y1)/(t2-t1) (t-t1) σ(t-t1) für t1<= t < t2 2. Intervall y(t) = y2 + (y3-y2)/(t3-t2) (t-t2) σ(t-t2) für t2<= t < t3 3. Intervall ~ ~ ~ April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.22

Verallgemeinerung Interpolation n-tes Intervall: y(t) = yn-1 + (yn-yn-1)/(tn-tn-1) (t-tn-1) σ(t-tn-1) für tn-1<= t < tn Approximation der Sprungantwort (1. und 2. Intervall): y(t) = y0 + (y1-y0)/(t1-t0) t σ(t) y(t1) = y0 + (y1-y0)/(t1) t1 = y1 Für t1 t< t2 Kompensation 1. Approximation y(t) = y0 + (y1-y0)/T t σ(t) - (y1-y0)/T (t-t1) σ(t-t1) + (y2-y1)/T (t-t1) σ(t-t1) ~ ~ y0 y1 y2 t1 t0 t2 ~ ~ April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.23

Frequenzgang und Ortskurve Damit ergibt sich: G(jω) = Re(G(jω)) + j Im(G(jω)) Beispiel: Sprungantwort Zeittakt / Abtastung 20 s / Abtastfrequenz 1/T = 0,05 s-1 Systemverhalten zeigt PTx-Verhalten Ortskurve: Darstellung Imaginärteil über Realteil PT1-Glied: Ortskurve Halbkreis in IV. Quadranten ~ ~ ~ April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.24

Verallgemeinerung Interpolation Damit ergibt sich als Approximation für das 2. Intervall: y(t) = y0 + (y1-y0)/T t σ(t) + [y2-2y1+y0]/T (t-t1) σ(t-t1) Formelmäßige Beschreibung der Approximation für den kompletten Zeitbereich: y(t) = y0 + (y1-y0)/T t σ(t) + [y2-2y1+y0]/T (t-t1) σ(t-t1) + ..... [(yk+1-yk)/(tk+1-tk) – (yk-yk-1)/(tk-tk-1)](t-tk) σ(t-tk) + .... [(yn+1-yn)/(tn+1-tn) – (yn-yn-1)/(tn-tn-1)](t-tn) σ(t-tn) ~ ~ Δyo/Δt (y2-2y1-y0)/Δt = Δy1/Δt (yk+1-2yk-yk-1)/Δt = Δyk/Δt (yn+1-2yn-yn-1)/Δt = Δyn/Δt April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.25

Verallgemeinerung Interpolation Damit ergibt sich folgende vereinfachte Schreibweise: y(t) = y0 + Σ Δyk/Δt (t-tk) σ(t-tk) mit Δy0 = (y1-y0)/T; Δy1 = (y2-2y1+y0)/T; Δyk = (yk+1-2yk+yk-1)/T Zwischenresultat: Approximation der diskreten Sprungantwort (Systemantwort) durch eine kontinuierliche Funktion in Form von Geradenstücken Erhöhung der Genauigkeit durch Reduzierung T und Quantisierung Basis für die Anwendung der Laplace-Transformation ~ N k=0 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.26

Anwendung der Laplace-Trans-formation für Approximation y(t) = y0 + Σ Δyk/Δt (t-tk) σ(t-tk) Transformation: Y(s) = y0/s + Σ Δyk/Δt 1/s2 e-skΔt Damit ergibt sich für die Übertragungsfunktion G(s) bei Anregung mit einer Sprungfunktion U(s) = u0/s: G(s) = Y(s)/U(s) = y0/u0 + 1/u0Σ Δyk/Δt 1/s e-skΔt N k=0 ~ N k=0 ~ ~ ~ N k=0 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.27

Ermittlung des Frequenzganges / Ortskurve Durch Ersetzen von s -> jω erhält man aus der Übertragungsfunktion den Frequenzgang und Ortskurve: G(jω) = Y(jω)/U(jω) = 1/u0[ y0 + Σ Δyk/Δt 1/jω e-jωkΔt] = 1/u0[ y0 –j/(ωΔt) Σ Δyk e-jωkΔt] = 1/u0[ y0 –j/(ωΔt) Σ Δyk {cos(ωkΔt) - j sin(ωkΔt)} Ermittlung des Real- und Imaginärteils: Re(G(jω)) = 1/u0[ y0 +j2/(ωΔt) Σ {Δyk sin(ωkΔt)}] = 1/u0[ y0 - 1/(ωΔt) Σ {Δyk sin(ωkΔt)}] Im(G(jω)) = -1/u0[ 1/(ωΔt) Σ {Δyk cos(ωkΔt)}] ~ ~ N k=0 N k=0 ~ N k=0 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.28

Beispiel Sprungantwort April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.29

Ortskurve April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.30

Ortskurve bis ω = 0,08 s-1 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.31

Weitere Beispiele Totzeitglied ideal / real April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.32

Ortskurve reales Totzeitglied April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.33

Weitere Beispiele DT1-Glied April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.34

Ortskurve Sprungfunktion mit negativer Flanke (DT1-Glied) April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.35

Weiteres Beispiel Allpaß-Glied April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.36

Ortskurve Allpaß-Glied April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.37

Thema Identifizierung im Amplitudengang Amplituden- und Frequenzgang: Ausgangssituation G(jω) in Form der Ortskurve (Real- und Imaginärteil) Bestimmung des Amplitudenganges durch Betragsbildung von G(jω) Bestimmung des Phasenganges durch Phasenbildung φ(jω) aus arctan-Bildung aus Imaginär- und Realteil ~ G(jω) = Re(G(jω)) + j Im(G(jω)) ~ ~ Amplitudengang: A(ω) [dB] = 20 log|G(jω)| Phasengang: φ(ω) = arctan{Im[G(jω)]/[ReG(jω)] } April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.38

Identifizierung aus dem Amplitudengang April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.39

Bewertung Identifizierung nur über Amplitudengang: Keine Berücksichtigung des Phasenganges Annahmen nur minimalphasige Systeme Keine Berücksichtigung z.B. von Totzeiteinflüssen (Betrag = 1) Kein Beitrag zum Amplitudengang Alternative Verfahren sind bekannt (nicht Bestandteil dieser Vorlesungsreihe). April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.40