Komplexität und Phasenübergänge Automatic Problem Solving Institut für Informatik Universität Potsdam WS 05/06 Thomas Hofmann

Komplexität Ressourcenaufwand (Rechenschritte oder Speicherplatzbedarf) des besten Algorithmus für ein gegebenes Problem wächst mit Länge der Eingabegrösse n, aber wie? Skalierbarkeit Polynomialzeit: was rechentechnisch praktisch möglich ist Einteilung in Komplexitätsklassen wichtigste Frage der Komplexitätstheorie NP≠P

Satz von Cook SAT ist NP vollständig alle Probleme aus NP lassen sich in polynominaler Zeit auf das SAT-Problem reduzieren Beweisidee NP-Probleme sind auf einer nichtdeterministischen Turing-Maschine in polynominaler Zeit lösbar Turing-Maschine durch aussagenlogische Formeln beschreiben ist genau dann erfüllt wenn die Maschine eine Lösung findet Konstruktion geht in Polynominalzeit

Beweismethode DNF A = p v Q v S Q : zu jedem Zeitpunkt kann es nur einen aktiven Zustand geben S : jedes Feld kann nur ein Symbol aufnehmen p : ist wahr wenn ein Feld zu einem bestimmten Zeitpunkt ein bestimmtes Symbol enthält B,C,D : setzen p,Q und S durch E : sorgt für richtige Startbedingungen F,G,H : sorgen dafür das die Werte richtig aktualisiert werden

NP = P ? P Probleme sind mit deterministischen Turing Maschinen in p. Zeit lösbar, NP nichtdeterministisch in p. Zeit lösbar P ≤ NP aber ist auch P ≥ NP? wenn ein Problem aus NP in P, dann alle NP-vollständige Probleme lassen sich vermutlich nicht effizient lösen

Phasenübergänge Motivation: Goldberg(1979); SAT ist im Durchschnitt in O(n²) lösbar NP: worst case scenarios Bestimmung von „average cases“ and „hard cases“ Qualität des Generierungsverfahren der Formelmenge und deren Bezug zu realen Problemen analytisch ist es nicht beweisbar, (n → ∞)

Generierungsverfahren Formellänge K, Zeilen M, Variablen N, Zeilen / Variablen c zufällig generierte Formeln in CNF random K-SAT random mixed-SAT costant probability model (P) random [k,l]-SAT kritischen Wert für c (L/N) Davis-Putnam procedure

easy-hard-easy pattern and over- / underconstrained „the hardest area for satisfiability is near the point where 50% of the formulars are satisfiable“ [4] S.461

SAT-Solver mit konstanter Formellänge

3-SAT mit unterschiedlicher Variablenanzahl

Schlussfolgerung scharfe Transition bei der Erfüllbarkeitsfrage an diesem Übergang liegen die schwerstlösbaren Probleme Schwierigkeiten bei gemischter Klausellänge crossover-point Übertragbarkeit der Ergebnisse auf andere SAT-Solver

Quellen- und Abbildungsverzeichnis [1] Stephen A. Cook; „The complexity of Theorem-Proving Procedures“; 1971 [2] Ian P. Gent and Toby Walsh; „The SAT Phase Transition“;1994 [3] David G. Mitchell and Hector J. Levesque; „Some Pitfalls for Experimenters with Random Sat“; 1995 [4 ] David G. Mitchell, Bart Selman and Hector J. Levesque; „Hard and Easy Distributions of SAT Problems“; 1992 Internetquellen: www.wikipedia.org; www.grundstudium.de; http://users.informatik.haw-hamburg.de/~voeller/th/thinf/node32.html Abbildungen: S.9 und S.10 [3] S S.4, S.6 S.8 [4] S.462