Christian Schindelhauer Algorithmen für Peer-to-Peer-Netzwerke Sommersemester 2004 21.05.2004 5. Vorlesung Christian Schindelhauer

Kapitel III Skalierbare P2P-Netzwerke CHORD

Brückentagvorlesungsplan IF studenten kommen THEN Chernoffschranke mit Beweis Bälle in Körbe (ist dann ganz einfach) CHORD-Wiederholung Eigenschaften von CHORD mit Hilfe von Bällen und Körben END IF

Markov und Chebyshev Stärkere Abschätzung: Chebyshev wenn die Varianz bekannt ist:

Chernoff-Schranke Bernoulli-Experiment Entweder 0 mit Wahrscheinlichkeit 1-p Oder 1 mit Wahrscheindlichkeit p

Beweis der 1. Chernoff-Schranke: Der Trick Zu zeigen: Für t>0: Markov liefert: Zu tun: geeignete Wahl für t und einsetzen... ? ?

Beweis der 1. Chernoff-Schranke Ein Erwartungswert Zu zeigen: wobei: Jetzt zu zeigen: Unabhängigkeit der Zufallsvariablen xi

Beweis der 1. Chernoff-Schranke Etwas Algebra Zu zeigen: wobei: Jetzt zu zeigen:

Beweis der 1. Chernoff-Schranke 1.Fall c<c2 Zu zeigen für c>1: Nun ist für c=1: 2 ln(2) > 4/3 Ableitung: linke Seite: ln(1+c) rechte Seite: 4/3 Für c>1 ist Steigung der linken Seite größer als die rechten Seite, da ln(1+c)>ln (2) > 4/3 Also gilt Ungleichung für c>0.

Beweis der 1. Chernoff-Schranke 2. Fall c2<c Zu zeigen für c< 1: Nun ist für x>0: Daraus folgt Nun erhält man für (1+x) ln(1+x) durch Multiplikation: Nun setzt man für ein (1+c) ln(1+c) und erhält for c(0,1):

2. Chernoff-Schranke Bernoulli-Experiment Entweder 0 mit Wahrscheinlichkeit 1-p Oder 1 mit Wahrscheindlichkeit p

Beweis der 2. Chernoff-Schranke: Der Trick Zu zeigen: Für t<0: Markov liefert: Zu tun: geeignete Wahl für t und einsetzen... ? ?

Beweis der 2. Chernoff-Schranke Der selbe Erwartungswert Zu zeigen: wobei: Jetzt zu zeigen: Unabhängigkeit der Zufallsvariablen xi

Beweis der 2. Chernoff-Schranke Etwas Algebra Zu zeigen: wobei: Jetzt zu zeigen:

Beweis der Chernoff-Schranke 2. Teil Was ist (1-c) ln (1-c) - Nachtrag Warum ist ? Für c=0 sind beide Seiten gleich. Die Ableitung der linken Seite ist ln(1-c); die der rechten ist -c Nun ist Daraus folgt und insbesondere die gewünschte Ungleichung.

Proved by Chernoff Bälle und Körbe Lemma Werden m= k n ln n Bälle zufällig in n Körbe geworfen (für jedes k>0), gilt Folgendes: Für alle c>k ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als c log n Bälle auf einen Korb fallen ist höchstens O(n-c‘) für ein c‘>0. Für alle c<k ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Korb weniger als c log n Bälle fallen, ist höchstens O(n-c‘) für ein c‘>0. Beweis: Betrachte einen Korb mit Bernoulli-Experiment: B(k n ln n,1/n) mit Erwartungswert: µ = m/n = k ln n Fall: c>2k Fall: k<c<2k Fall: c<k Proved by Chernoff

Proved by Chernoff Bälle und Körbe Lemma Werden m Bälle zufällig in n Körbe geworfen. Dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein (bestimmter) Korb leer bleibt, ist kleiner als e-n/m. Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als k (ln n) + k m/n (ln n) Bälle auf einen bestimmten Korb fallen, ist höchstens O(n-c) für konstante k und c. Beweis: Wahrscheinlichkeit: (1-1/n)m < e-n/m Bernoulli-Ereignis: 1 Ball in einem Korb X: Summe aller m Ballwürfe in einem Korb Wahrscheinlichkeit: p=1/n Erwartungswert µ = 1 Fall m≥n, c>1: Fall m<n, c>1: Proved by Chernoff

Hohe Wahrscheinlichkeit Lemma Falls Aussage A(i) für jedes von n Objekten i mit Wahrscheinlichkeit 1-n-c gilt, dann gilt (A(1) und A(2) und ... und A(n)) mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1-n-(c-1) Beweis: Für alle i gilt: P[A(i)] ≤ n-c Somit ist: P[ A(1) oder  A(2) oder ...  A(n) ] ≤ n  n-c P[( A(1) oder  A(2) oder ...  A(n)) ] ≤ 1- n  n-c Nach DeMorgan: P[A(1) und A(2) und ... A(n) ] ≤ 1- n  n-c

5 3 2 6 Index 2 Chord als DHT rV(b) = b+1 mod 8 n: Knotenanzahl, Knotenmenge V k: Anzahl Schlüssel, Schlüsselmenge K m: Hashwertlänge: m >> log max{K,N} Zwei Hash-Funktionen bilden auf {0,..,2m-1} ab rV(b): bildet Peer b zufällig auf {0,..,2m-1} ab rK(i): bildet Index i zufällig auf {0,..,2m-1} ab Abbildung von i auf einen Peer b = fv(i) fV(i) := arg minbV (rB(b)-rK(i)) mod 2m 5 6 5 7 3 rK(i) = 3i-2 mod 8 2 6 Index 4 1 3 2 2

Eigenschaften der Datenstruktur Lemma Der Abstand zweier benachbarter Peers auf dem Ring ist im Erwartungswert 2m/n, < O((2m/n) log n) (mit hoher W‘keit) und > 2m/nc (mit hoher W‘keit) für eine Konstante c>1 In einem Intervall des Rings der Länge w 2m/n sind (mit hoher W‘keit) O(log n + w log n) Peers, falls w=O(log n) O(w) Peers, falls w=Ω(log n)

Eigenschaften der Datenstruktur Lemma Der Abstand zweier benachbarter Peers auf dem Ring ist im Erwartungswert 2m/n, < O((2m/n) log n) (mit hoher W‘keit) und > 2m/nc (mit hoher W‘keit) für eine Konstante c>1 Beweis 1a) Die Summe aller Abstände ist 2m 1b) Betrachte Intervall auf dem Ring der Länge c ((2m/n) log n) W‘keit, dass ein Peer dieses Intervall trifft: c (log n)/n W‘keit, dass n Peers dieses Intervall nicht treffen: Damit bleibt so ein Intervall nicht leer und der Abstand zweier Peers ist mit hoher W‘keit ≤ 2c (2m/n) log n) 1c) Die W‘keit, dass ein Peer ein Intervall der Größe 2m/nc trifft, ist n-c Also treffen Peers mit hoher W‘keit nicht in die Nähe eines anderen Peers

Eigenschaften der Datenstruktur (Beweis 2) Lemma 2. In einem Intervall des Rings der Länge w 2m/n sind (mit hoher W‘keit) O(log n + w log n) Peers, falls w=O(log n) O(w) Peers, falls w=Ω(log n) Beweis Betrachte Intervall der Länge w 2m/n Die W’keit, dass ein Peer hineinfällt ist p= w n Erwartete Anzahl von Peers: p n = w 2a) 1.Fall: p n ≥ 1, c>1 2.Fall: p n < 1, c>1 2b) p n > k ln n, c > 1 Proved by Chernoff

Proved by Chernoff Balance in Chord n: Anzahl der Knoten im P2P-Netzwerk k: Anzahl der Schlüssel  1 Theorem Elemente werden auf die Peers wie folgt verteilt: Falls k=O(n log n): In jedem Knoten werden höchstens O(log n + k/n log2 n) Schlüssel gespeichert mit hoher W’keit Falls k=(n log n): In jedem Knoten werden höchstens O(k/n log n) Schlüssel gespeichert mit hoher W’keit Beweis Übung Tipp: Proved by Chernoff

Die Datenstruktur von Chord 1 2 3 4 5 6 7 successor predecessor finger[0] finger[1] finger[2] Für jeden Knoten b: successor: Nachfolger predecessor: Vorgänger Für i  {0,..,m-1} Finger[i] := Der Knoten der dem Wert rV(b+2i) folgt Für kleine i werden die Finger-Einträge immer gleich Nur unterschiedliche Fingereinträge werden gespeichert

Fingeranzahl Lemma Der Ausgrad im CHORD-Netzwerk ist O(log n) mit hoher W‘keit Der Eingrad im CHORD-Netzwerk ist O(log2 n) mit hoher W‘keit Beweis Der minimale Abstand zweier Peers ist 2m/nc (mit hoher W‘keit) Damit ist der Ausgrad beschränkt durch c log n (mit hoher W‘keit) Der maximale Abstand zweier Peers ist O(log n 2m/n) Jeder Peer, der mit einem seiner Finger auf diese Linie zeigt, erhöht den Eingrad des nachstehenden Peers. Die Gesamtlänge der Streckenabschnitte, wo solche Peers liegen ist O(log2n 2m/n) Damit ist w=O(log2n) b.finger[m] a.finger[m-1] b a x y

s Suchen in Chord Theorem Die Suche braucht mit hoher W’keit O(log n) Sprünge Suchalgorithmus für Element s: Abbruch(b,s): Knoten b,b’=b.succ gefunden, mit rK(s)  [rV(b),rV(b‘)| Hauptroutine: Starte mit irgendeinem Knoten b while not Abbruch(b,s) do for i=m downto 0 do if rK(s)  [rV(b.finger[i]),rV(finger[i+1])] then b ← b.finger[i] fi od b.finger[m] b.finger[m-1] b c s x y

s Suchen in Chord Theorem Die Suche braucht mit hoher W’keit O(log n) Sprünge Beweis: Mit jedem Sprung wird die Entfernung zum Ziel mindestens halbiert Zu Beginn ist der Abstand höchstens 2m Der Mindestabstand zweier benachbarter Peers ist 2m/nc mit hoher W’keit Damit ist die Laufzeit beschränkt durch c log n b.finger[m] b.finger[m-1] b c s x y

Einfügen von Peers Theorem O(log2 n) Nachrichten genügen mit pol. W’keit, um Peers in CHORD aufzunehmen Beweisidee Zuerst wird Zielgebiet in O(log n) Schritten gesucht Die ausgehenden Zeiger werden vom Vorgänger und Nachfolger übernommen und angepasst Die Zeiger müssen jeweils um bis zu O(log n) Schritte entlang des Rings angepasst werden Der Eingrad des neuen ist mit hoher W’keit O(log2 n) Zu suchen kostet jeweils O(log n) Diese sind jeweils in Gruppen von maximal O(log n) benachbart. Damit fallen nur O(log n) Suchen á Kosten O(log n) an Die Aktualisierung hat jeweils konstante Kosten

Vielen Dank Ende der 5. Vorlesung Nächste Vorlesung:. Fr. 28. 05. 2004 Vielen Dank Ende der 5. Vorlesung Nächste Vorlesung: Fr. 28.05.2004 9-11 Uhr Nächste Übung: 6. Übung Mo. 31.05.2004 10,12,16 Uhr (A,B,C) Heinz Nixdorf Institut & Institut für Informatik Universität Paderborn Fürstenallee 11 33102 Paderborn Tel.: 0 52 51/60 66 92 Fax: 0 52 51/62 64 82 E-Mail: schindell@upb.de http://www.upb.de/cs/schindel.html