Gedanken zur Redundanz - ein Einführungsvortrag - 1/17

Ein Versuch, sich dem Thema zu nähern Definition und Ursprung Redundanz Zuverlässigkeit Verfügbarkeit Mathematische Beschreibung Statistische Grundgrößen Zuverlässigkeitskenngrößen Zeitverhalten Redundanzstrukturen Aktuelles Beispiel aus der Netzplanung 2/17

Definition der Redundanz: Funktionsbereites Vorhandensein von mehr als für die vorgesehene Funktion notwendigen technischen Mittel DIN 40042 Vorhandensein von mehr funktionsfähigen Mitteln in einer Betrachtungs- einheit, als für die Erfüllung der geforderten Funktion notwendig sind. Birolini, Zuverlässigkeit von Geräten und Systemen, Springer, 1997 3/17

Ursprung Redundanz Kosten Lebensdauer Ausfallarten Entwicklung Verfügbarkeit Sicherheit Risikobewertung Redundanz Zuverlässigkeit Karnaugh mvn System Qualität Markov Shannon 4/17

Beispiel aus der Nachrichtenübertragung Äquivokation X Y H(X|Y) Quell- codierer Kanal- codierer Ü - Kanal Q Transinformation T(X,Y) H(X|Y) R N Irrelevanz fehlertoleranter Leitungscode - Redundanz im Quellcodierer Redundanz aus dem Kanalcodierer wirtschaftliche Abwägung von (S/N)Empfänger 5/17

Redundanz Zuverlässigkeit dependability Def: Zuverlässigkeitsfunktion R(t) reliability Ausfall Ausfallrate λ(t) Erwartungswerte E(T) „Badewanne“ MTTF MTBF p(Eigenschaft einer Einheit, während einer Zeitdauer T (0,t) ausfallfrei zu arbeiten) kurz: „Zuverlässigkeit ist Qualität auf Zeit“ 6/17

Redundanz Verfügbarkeit A(t) availability Def: Reparatur - / Unterhaltungskonzepte maintanance concept Reparatur Reparaturrate µ(t) MTTR Redundanz Sicherheit safety Sicherheitskenngrößen Gefährdungswahrscheinlichkeit G(t) Sicherheitswahrscheinlichkeit S(t) Auswirkungen einer Gefährdung Risiko p(Einheit ist funktionsfähig zum Zeitpunkt t) 7/17

Statistische Grundgrößen Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit Unabhängige Ereignisse Verteilfunktion Detail >>> Zufallsgröße X Verteilungsdichte Erwartungswert 8/17

Detail: Beispielhafte Verteilfunktionen Name Verteilfunktion Dichte Ausfallrate Mittelwert Eigenschaften Exp gedächtnislos (Weibull) Poisson p(genau k Ausfälle in (0,t)) ; exp verteilte Ausfallzeiten mit Parameter λ z.B. m=3 k keine Alterung 0,37 1 ./. 0,2 - 0,1 - 2 4 6 9/17

Zuverlässigkeitskenngrößen Lebensdauer T Ausfallwahrscheinlichkeit probability of failure Zuverlässigkeitsfunktion Überlebenswahrscheinlichkeit ausfallfreie Arbeitszeit τ Ausfalldichte Ausfallrate hazard rate h(t) Erwartungswert MTBF Erweiterung Instandhaltung >>> Annahme: λ(t) = λ 10/17

Erweiterung: Instandhaltungskenngrößen Instandhaltung Verfügbarkeit Wartung Instandsetzung (planmäßig) (außerplanmäßig mit Reparaturzeit) Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) Instandsetzungswahrscheinlichkeit M(t) probability of failure maintainability Ausfallrate λ(t) Reparaturrate µ(t) mit µ(t) = µ : MTTR 11/17

Zeitverhalten Zustandsdiagramm Stochastische Modellbildung Markov mit Poisson-Prozeß Markovkette für Einzelelement: Ausfall System ausgefallen System funktionsfähig Reparatur kein Übergang in Δt. wechselt nach Δt mit p1,2 in Z2 bleibt nach Δt mit p1,1 in Z1 aus Taylorentwick- lung für e-Fktn. Z1 Z2 wechselt nach Δt mit p2,1 in Z1 oder System war in Z1 System war in Z2 12/17

Zeitverhalten stationäre Verfügbarkeit Erweiterung auf beliebige, endlich viele Zustände möglich. Laplace Transformation Lösungen für das Einzelelement: MTBF MTBF + MTTR stationäre Verfügbarkeit 1 t 13/17

Anwendung auf Redundanzstrukturen: Kurze Zwischenbilanz: Statistische Grundgrößen Zuverlässigkeitskenngrößen ohne mit Instandhaltung = MTBF MTBR = = + Zeitverhalten Verfügbarkeit Anwendung auf Redundanzstrukturen: Serien-/Parallelsysteme mvn-System z.B. nvn-System Verallgemeinerung auf vernetzte Strukturen Aktuelles Beispiel aus der Netzplanung 14/17

Aktuelles Beispiel aus der Netzplanung Auftrag: Redundanzanalyse Engpass Netzdynamik Basis: R(t) Überlebenswahrscheinlichkeit Schaltredundanz als kalte Reserve Bedientheorie, Markov Prozeß Vorgehen: 1. Engpaß B 20/21 C 20/24 20/16 10/13 20 A D 20/18 20/20 10/15 50/22 Engpass E F T/ms 114 x=1 x=1,57 x=2,1 15/17

Aktuelles Beispiel aus der Netzplanung 2. Netzdynamik mit QoS-Vorgabe des Auftraggebers: T = ø Verweilzeit im Netz/Paket Problem: Ergebnisse: wie vorgefunden ( schwarz ): T = 114ms Kosten 170 Mio. nach Redundanzanalyse optimiert ( rot ): mit Vorgabe T = 100ms Kosten 149 Mio. Redundante Reserve aus Netzplanung: 21 Mio. 16/17

Gedanken zur Redundanz - eine Einführung - Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 17/17