Programmierung 1 - Repetitorium WS 2002/2003 Programmierung 1 - Repetitorium Andreas Augustin und Marc Wagner Homepage: http://info1.marcwagner.info

Mathematische Objekte Montag, den 07.04.03 Kapitel 2 Mathematische Objekte

2.1 Tupel und Mengen n-stelliges Tupel ( x1 , ... , xn ) Komponenten x1 x2 ... xn Die Komponenten eines Tupels sind geordnet, d.h. Mehrfachauftreten sind möglich. Die Anzahl der Komponenten ist endlich. leeres Tupel ( ) Paare = zweistellige Tupel Tripel = dreistellige Tupel ( x1 , ... , xn ) = ( y1 , ... , yn )  m=n und x1=y1 , ... , xn=yn i-te Komponente von ( x1 , ... , xn ) ist xi Menge M = { x , y , z , ... } Elemente x y z Die Elemente einer Menge sind nicht geordnet, d.h. Mehrfachauftreten sind nicht möglich. Die Anzahl der Elemente kann unendlich sein. leere Menge { } oder  Seien X , Y Mengen. Es gilt X = Y  ( xX : xY )  ( yY : yX ).

2.1 Tupel und Mengen Atomare Objekte sind Zahlen, das leere Tupel und die leere Menge. Die Konstituenten eines Objekts werden als Unterobjekte bezeichnet. Sei x := { { 1 , ( ) ,  } , ( 3 ) , { ( 4 , 5 , 5 ) , 6 } } x hat folgende Baumdarstellung : { } { } ( ) { } 1 ( ) { } 3 ( ) 6 4 5 5 x ◄ y  x ist zusammengesetztes Objekt und y ist Konstituent von x

2.1 Tupel und Mengen Ein Objekt y heißt Teilobjekt eines zusammengesetzten Objekts x, wenn es n ≥ 1 Objekte x1 , ... , xn wie folgt gibt : x = x1 ◄ x2 ◄ ... ◄ xn = y Ein Teilobjekt y von x heißt echtes Teilobjekt von x, wenn y  x gilt. Für das Objekt x := { { 1 , ( ) ,  } , ( 3 ) , { ( 4 , 5 , 5 ) , 6 } } folgt damit : x hat 3 Unterobjekte, x hat 13 Teilobjekte, x hat 12 echte Teilobjekte Ein Objekt ist endlich.  Das Objekt hat nur endlich viele Konstituenten. Ein Objekt ist finitär.  Das Objekt hat nur endlich viele Teilobjekte. Wohlfundierungsaxiom : Es gibt keine unendliche Folge x1, x2, ... von Objekten für die gilt x1 ◄ x2 ◄ ...  Es gibt keine Menge, die alle Objekte enthält.

2.2 Aussagen Aussagenlogische Notationen ( A und B sind Aussagen ) : A  B A und B Konjunktion A  B A oder B Disjunktion  A nicht A Negation A  B aus A folgt B Implikation A  B A folgt aus B Implikation A  B A genau dann, wenn B Äquivalenz x  X : A für alle x X gilt A Universelle Quantifizierung  x  X : A es existiert ein x  X mit A Existentielle Quantifizierung Eine Aussage der Form ( A1  ...  An )  B lässt sich als Inferenzregel darstellen : Prämissen A1 . . . An B Konklusion

2.2 Aussagen Aussagenlogische Äquivalenzen ( A und B sind Aussagen ) : A   A  Widerspruch ( tertium non datur ) A  B   B   A ( Kontraposition )  ( A  B )   A   B  ( A  B )   A   B  ( A  B )  A   B  x  X : A   x  X :  A   x  X : A   x  X :  A

2.3 Begriffe und Notationen für Mengen Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge heißt Kardinalität der Menge. In Zeichen : | X | Inklusion ( X Teilmenge, Y Obermenge ) Gleichheit Schnitt Vereinigung Differenz Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element haben. Potenzmenge Menge aller endlichen Teilmenge Produkt Summe ( i Variantennummer )

2.4 Binäre Relationen Eine n-stellige Relation ist eine Menge, deren Elemente n-stellige Tupel sind. Eine binäre Relation auf einer Menge X ist eine Teilmenge von X  X. {(2,3),(2,5),(3,4),(4,2),(6,4)} Pfeile stellen die Paare der Relation dar. 2 4 Graphdarstellung der Relation Kreise sind die Knoten 5 3 6 Pfeile sind die Kanten Definitionsbereich hier : {2,3,4,6} Wertebereich hier : {2,3,4,5} Komposition von zwei binären Relationen Umkehrrelation einer binären Relation r

2.4 Binäre Relationen Eigenschaften binärer Relationen :  transitiv  r  r -1  r  symmetrisch  r = r -1  antisymmetrisch   reflexiv (bezogen auf X) 

2.5 Funktionen Eine Funktion r ist eine binäre Relation, bei der zu jedem x  Dom r genau ein y  Ran r existiert mit (x,y)  r. Schreibweisen : (x,y)  f , (x→y)  f , f(x)=y Menge der Funktionen Menge der totalen Funktionen Menge der endlichen Funktionen Eigenschaften einer Funktion f  X → Y : ( Sei Z eine Menge. )  f total auf Z  Z  Dom f  f partiell auf Z  f nicht total auf Z  f surjektiv für Z  Z  Ran f  f injektiv  x1,x2Dom f : f(x1)=f(x2)  x1=x2  f bijektiv  f injektiv und f surjektiv für Y

2.5 Funktionen X und Y sind isomorph   Bijektion X → Y Wenn X und Y endliche Mengen sind, dann ist X → Y eine endliche Menge und |X → Y| = |Y||X| . Lamda-Notation :  x  Z . x2 für { (x,y) | x  Z  y = x2 } Klammersparende Notation : → klammert nach rechts Kartesische Funktion : X  Y → Z Kaskadierte Funktion : X → Y → Z Adjunktion f + g =  x  Dom f  Dom g . if x  Dom g then g(x) else f(x)