Software Engineering an der Schule: Rekursive Datenstrukturen in neuem Gewand Dr. rer. nat. habil. Markus Steinert Peutinger-Gymnasium Augsburg Seminarlehrer

Rekursion im Alltag / in der Kunst

Selbstähnliche Strukturen Eugen Jost So versteht Rekursion jeder

Rekursion in der Informatik Samuelson‘ sches Wirtschaftswachstum: let rec binomial n k = match k with | 0 -> 1 | k when (n=k) -> 1 | _ -> binomial (n-1) (k-1) + binomial (n-1) k;; Binomialkoeffizienten: So verstehen Rekursion anscheinend nur wenige A(0, n) = n + 1 A(m+1, 0) = A(m, 1) A(m+1, n+1) = A(m, A(m+1, n)) Ackermannfunktion:

Zentrale Frage Was macht Rekursion in formaler Schreibweise so schwierig, obwohl Visualisierungen auf den ersten (evtl. auch zweiten) Blick klar sind? Die Visualisierungen können als Instanziierungen konkreter Aufrufe der zugrunde liegenden rekursiven Vorschriften interpretiert werden Die funktionalen Repräsentationen sind die Vorschriften, mit denen derartige Strukturen erzeugt werden können

Klassische didaktische Strategien zur Einführung der Rekursion Rekursive Funktionen über (natürlichen) Zahlen: Fakultätsfunktion Fibonacci – funktion Binomialkoeffizienten Didaktisch – motivatorische Probleme: Für die Implementierung dieser Funktionen ist Rekursion nicht unbedingt notwendig; Sie können iterativ oft besser gelöst werden; Sie entstammen mathematischen Begrifflichkeiten: Schüler: Wir machen Mathematik Brauchen wir überhaupt Informatik ? Schwache Schüler haben kein (korrektes) mentales Modell der Rekursion

Fehlerhafte Vorstellungen rekursiver Abläufe Sanders, et al. (2003 / 2006): Mental Models of recursion Kategorisierung der Fehlvorstellungen Empirische Untersuchungen (brauchbar / unbrauchbar)

Fehlerhafte Vorstellungen rekursiver Abläufe Die häufigsten Fehlvorstellungen (Sanders et al.) Schleifenartige Konzepte (Looping): Die rekursive Vorschrift wird schleifenartig immer wieder durchlaufen, d.h. es findet keine Instanziierung eines neuen Prozesses keine Generierung eines Aufrufbaums statt Einschränkung auf Endrekursion (tail recursion); (Active): Rekursionen, bei denen nach Erreichen des Terminierungsfalls ein rückwärtiges Abarbeiten des Aufrufterms notwendig ist, werden nicht verstanden Wird auf kognitiver Ebene überhaupt ein Aufrufbaum realisiert? Einschränkung auf einmaliges Durchführen der Alternative (Step): Die Alternative wird einmal ausgewertet und das „Ergebnis“ zurückgegeben Weitere Fehlvorstellungen: Magic, ….

Folgerungen aus den empirischen Arbeiten Wie hängen die Fehlvorstellungen mit den zu lernenden Konzepten zusammen? Die Lernenden können den Übergang vom rekursiven Algorithmus zum Aufrufbaum kognitiv nicht nachvollziehen bzw. bewältigen Die Lernenden hängen zu sehr an Ablaufmustern, wie sie aus dem „imperativen“ Programmierparadigma vertraut sind (Funktional vor Imperativ?) Folgerung: Beim Erlernen rekursiver Abläufe sollte die Datenstruktur, die dabei traversiert wird, in den Vordergrund rücken Problem mit bisherigen Zugängen über Fibonacci-Funktion etc.: Die Traversierung ist zu trivial Alternative: Mit „weniger trivialen“ rekursiven Datenstrukturen beginnen!

Didaktik rekursiver Strukturen in der Literatur Velazquez – Iturbide (2000): Gradual Steps: Recursion in Grammars, Recursion in Functional Programming, Recursion in Imperative Programming; Argumentation: Rekursiver Regeln in Grammatiken weisen einen minimalen syntaktischen Overhead auf und die Verbindung zur rekursiven Struktur ist denkbar einfach: S  a | aS; zur Erzeugung der Sprache {an; n ≥ 1} Funktionale Sprachen im nächsten Schritt haben ebenfalls geringe syntaktische Anforderungen Problem: Für den Informatikunterricht weniger geeignet, da Grammatiken meist nur am Rande (bzw. sehr spät, z.B. im bayerischen Lehrplan erst in Jahrgangsstufe 12) und Funktionales Programmieren nicht thematisiert wird

Wo stehen wir? Offenbar werden graphische Repräsentationen rekursiver Strukturen intuitiv verstanden! Rekursive Algorithmen werden ohne Bezug auf die zugrunde liegende rekursive Struktur häufig nicht verstanden Folgerung: Wir sollten bei der Vermittlung von Rekursion von einem Modell der zugrunde liegenden rekursiven Strukturen ausgehen

Didaktische Rahmenbedingungen für das Unterrichten rekursiver Strukturen Lehrplan für den Informatikunterricht an bayerischen Gymnasien: Rekursion als zentrale Thematik in der 11. Jahrgangsstufe Vorwissen der Schüler Fundierte Kenntnisse im objektorientierten Modellieren: Objektdiagramme, Klassendiagramme, Sequenzdiagramme, Zustandssemantik Einschlägige Fertigkeiten beim Implementieren von objektorientierten Modellen (Aggregation, Assoziation, Vererbung, abstrakte Klassen, …) Einschlägige Fertigkeiten beim Implementieren imperativ konzipierter Abläufe Für das weitere wichtig: „Objects first!!“ Vom Objektdiagramm zum Klassendiagramm

Didaktische Rahmenbedingungen für das Unterrichten rekursiver Strukturen im Detail Jahrgangsstufe 6 / 7: Objekt- und Klassendiagramme hierarchischer Objektstrukturen Jahrgangstufe 10: Nichtrekursive objektorientierte Programmierung (Felder, Referenzen, ….) Vererbung; abstrakte Klassen Jahrgangsstufe 11: Konstruktion listen- / baumartiger Objektstrukturen Das Kompositum als Schlüssel zur Rekursion Rekursive Funktionen im Kompositum Realisierung im aktuellen Informatikunterricht: Jahrgangsstufe 11, Informatik, an bayerischen Gymnasien Inzwischen im zweiten Durchlauf Erste Abiturprüfungen: Mai 2011

Vom Objektdiagramm zum Klassendiagramm: Informatikunterricht in der Unterstufe (6. Jahrgangsstufe) Beispiel: Textstrukturen

Vm Objekt- zum Klassendiagramm: Hierarchische Objektstrukturen Objektorientierte Analyse von Ordnerstrukturen in Jahrgangsstufe 6 / 7

Was bedeutet diese Vorgehensweise aus lernzieltheoretischer Sicht? Werkzeug: Lernzielgraph

Kurzes Zwischenresumè Was wollten wir: Weg von einer Vorgehensweise, die zu falschen mentalen Modellen über Rekursion führt Probleme: Rekursive Aufrufe wurden nicht als Folge von Instanzen des jeweiligen Algorithmus verstanden Was haben wir: Wir modellieren zunächst baumartige Strukturen (Verzeichnisbäume etc.) Für diese rekursive Datenstruktur wird anschließend der „zugehörige Bauplan“, d.h. das Klassendiagramm konstruiert Das Klassendiagramm entspricht in diesem Bild der rekursiven Funktionsvorschrift Wie geht es weiter: In der 10. Jahrgangsstufe lernen die Schüler das Implementieren (nichtrekursiver Klassenstrukturen In der 11. Jahrgangsstufe erfolgt der Übergang zu rekursiven Strukturen

1. Schritt: Listenartige Objektstrukturen (11. Jgstf.) Entspricht dem aus der Unterstufe bekannten Modell!

1. Schritt: Konstruktion listenartiger Objektstrukturen (11. Jgstf.) class Knoten { private Element inhalt; private Knoten naechster; public Knoten(Element in) { inhalt = in; naechster = null; } …….. Element inhalt1 = new Element(”Apfel”); // Erzeugen der Elemente Element inhalt2 = new Element(”Traube”); Element inhalt3 = new Element(”Banane”); Knoten korb1 = new Knoten(inhalt1, null); // Erzeugen der Knoten Knoten korb2 = new Knoten(inhalt2, null); Knoten korb3 = new Knoten(inhalt3, null); korb1.naechsterSetzen(korb2); // Aufbau der Liste korb2.naechsterSetzen(korb3); Listenkonstruktion: Zunächst explizit, ohne rekursive Ablaufmuster Traversierung: Zunächst Iterativ (Stativ enthält die Anzahl der Listenelemente)

Traversieren listenartiger Objektstrukturen (11. Jgstf.) Beispiel: Gesamtgewicht der Früchte in obiger Kette soll ermittelt werden!

2. Schritt: Das Kompositum als Schlüssel zur Rekursion Problem: Abbruch bei Traversierung

3. Schritt: Rekursive Aufrufe (Sequenzdiagramm) Beispiel: Gesamtgewicht der Früchte in obiger Kette soll ermittelt werden!

Rekursive Funktionen im Kompositum: Summieren über bestimmte Eigenschaften abstract class Listenelement { // Methoden des einzelnen Listenelementes public abstract Listenelement naechsterGeben(); public abstract Element gewInhaltGeben(); // rekursive Methoden der verketteten Liste public abstract int gewichtGeben(); public abstract Element inhaltLetzterGeben(Element aktuellerInhalt); public abstract Knoten hintenEinfuegen(Element knoteninhalt); } class Knoten extends Listenelement { private Listenelement naechster; private Element inhalt; public int gewichtGeben(){ return inhalt.gewInhaltGeben() + naechster.gewichtGeben(); } …… Rekursiver Aufruf class Abschluss extends Listenelement { public int gewichtGeben(){ return 0; } …… Terminierungsfall

Rekursive Funktionen im Kompositum: Letztes Element ausgeben abstract class Listenelement { // Methoden des einzelnen Listenelementes public abstract Listenelement naechsterGeben(); public abstract Element inhaltGeben(); // rekursive Methoden der verketteten Liste public abstract int anzahlKnotenGeben(); public abstract Element inhaltLetzterGeben(Element aktuellerInhalt); public abstract Knoten hintenEinfuegen(Element knoteninhalt); } class Knoten extends Listenelement { private Listenelement naechster; private Element inhalt; …. public Element inhaltLetzterGeben(Element aktuellerInhalt){ return naechster.inhaltLetzterGeben(inhalt); } Rekursiver Aufruf class Abschluss extends Listenelement { …. public Element inhaltLetzterGeben(Element aktuellerInhalt){ return aktuellerInhalt; } Terminierungsfall

Vorteile der Strategie „Kompositum“ Lernzieltheoretisch lässt sich die Objektebene von der Klassenebene völlig trennen Es können zunächst die Objektstrukturen und anschließend die „Konstruktionsvorschriften“, d.h. Klassendiagramme für diese Strukturen vermittelt werden Der Weg vom Objekt- zum Klassenmodell lässt sich auch hier beschreiten Rekursive Methodenaufrufe lassen sich direkt auf dem Objektdiagramm ausführen und ergeben dabei in einfacher Weise den rekursiven Algorithmus Terminierungsfall und rekursiver Aufruf verteilen sich auf die beiden Klassen ABSCHLUSS und KNOTEN Die Ausführung eines rekursiven Methodenaufrufs lässt sich am Objektdiagramm / Sequenzdiagramm direkt illustrieren Fehlvorstellungen (Sanders et al.) werden nach Möglichkeit vermieden

Lernzielgraph objektorientierter Modellierung von rekursiven Datenstrukturen Zusätzliche Modellierungs- konzepte im Vergleich zur Unterstufe: Spezifische Klassen (Abschluss, Knoten) Verallgemeinerung der Beziehungen Vererbung Abstrakte Klassen (Programmierung: Kontrollstrukturen Umsetzung der Klassen- diagramme in Quellcode) )

Vergleich: Vorteile und Nachteile Der rekursive Aufruf ist stets an den Methodenaufruf eines anderen Objekts (hier: jeweils an das nächste Objekt) gekoppelt; Die Fehl-Vorstellung, es werde dieselbe Funktion aufgerufen, ist nahezu ausgeschlossen; Das mentale Modell der „Kopien“ wird automatisch vermittelt; Trennung von Terminierungsfall und rekursivem Aufruf, durch Auslagerung der Alternative in die Vererbung; Nachteile: Großer zeitlicher Aufwand; Umfangreiches Vorwissen und Fertigkeiten in objektorientierter Modellierung und Programmierung notwendig; Übertragung auf Grammatiken / funktionale Programmierung Definition rekursiver Grammatiken / Datenstrukturen Definition rekursiver Funktionen auf diesen Datenstrukturen

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Leere Liste Das Stativ spricht zum Listenelement „erster“: „Erster, füge das Datenelement knoteninhalt hinten ein!“ und wartet auf die Beantwortung der Frage: „Wer ist mein neuer Erster?“ erster knoteninhalt ©S.Voss

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Leere Liste „Wer ist mein neuer Erster?“ knoteninhalt Der Abschluss baut einen neuen Datenknoten, macht sich selbst zum Nachfolger dieses Datenknotens und legt den erhaltenen Inhalt knoteninhalt hinein. ©S.Voss

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Leere Liste „Wer ist mein neuer Erster?“ knoteninhalt Der Abschluss antwortet seinem Fragesteller: Hier, nimm eine Referenz auf diesen neuen Datenknoten!“ ©S.Voss

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Leere Liste erster Die Liste speichert nun die Referenz auf das erhaltene Listenelement in die Variable „erster“. ©S.Voss

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Listenlänge > 1 Stativ spricht zum Listenelement „erster“: „Erster, füge das Datenelement knoteninhalt hinten ein!“ und wartet auf die Beantwortung der Frage: „Wer ist mein neuer Erster?“ knoteninhalt erster ©S.Voss

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Listenlänge > 1 „Wer ist mein neuer Erster?“ Der Datenknoten spricht zum Listenelement „nächster“: „Nächster, füge das Datenelement knoteninhalt hinten ein! und wartet auf die Beantwortung der Frage: „Wer ist mein neuer Nächster?“ erster erster erster erster knoteninhalt knoteninhalt nächster ©S.Voss

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Listenlänge > 1 erster nächster „Wer ist mein neuer Erster?“ „Wer ist mein neuer Erster?“ „Wer ist mein neuer Erster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ Datenknoten spricht zum Listenelement „nächster“: „Nächster, füge das Datenelement knoteninhalt hinten ein!“ und wartet auf die Beantwortung der Frage: „Wer ist mein neuer Nächster?“ Datenknoten spricht zum Listenelement „nächster“: „Nächster, füge das Datenelement knoteninhalt hinten ein!“ und wartet auf die Beantwortung der Frage: „Wer ist mein neuer Nächster?“ ©S.Voss

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Listenlänge > 1 „Wer ist mein neuer Erster?“ „Wer ist mein neuer Erster?“ „Wer ist mein neuer Erster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ Der Abschluss baut einen neuen Datenknoten, macht sich selbst zum Nachfolger dieses Datenknotens und legt den erhaltenen Inhalt knoteninhalt hinein. ©S.Voss

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Listenlänge > 1 „Wer ist mein neuer Erster?“ „Wer ist mein neuer Erster?“ „Wer ist mein neuer Erster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ Der Abschluss antwortet seinem Fragesteller: Hier, nimm eine Referenz auf diesen neuen Datenknoten!“ ©S.Voss

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Listenlänge > 1 „Wer ist mein neuer Erster?“ „Wer ist mein neuer Nächster?“ Der Datenknoten speichert nun die Referenz auf das erhaltene Listenelement in die Variable „nächster“. und antwortet seinem Fragesteller: Hier, nimm eine Referenz auf mich selbst!“ ©S.Voss

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Listenlänge > 1 „Wer ist mein neuer Erster?“ Der Datenknoten speichert nun die Referenz auf das erhaltene Listenelement in die Variable „nächster“. und antwortet wiederum seinem Fragesteller: Hier, nimm eine Referenz auf mich selbst!“ ©S.Voss

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Listenlänge > 1 Die Liste speichert nun die Referenz auf das erhaltene Listenelement in die Variable „erster“. ©S.Voss

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Sequenzdiagramm

Einfügen eines Knotens am Ende der Liste: Quellcode abstract class Listenelement { // Methoden des einzelnen Listenelementes public abstract Listenelement naechsterGeben(); public abstract Element inhaltGeben(); // rekursive Methoden der verketteten Liste public abstract int anzahlKnotenGeben(); public abstract Element inhaltLetzterGeben(Element aktuellerInhalt); public abstract Knoten hintenEinfuegen(Element knoteninhalt); } class Knoten extends Listenelement { private Listenelement naechster; private Element inhalt; …..... public Knoten hintenEinfuegen(Element knoteninhalt) { naechster = naechster.hintenEinfuegen(knoteninhalt); return this; } Rekursiver Aufruf class Abschluss extends Listenelement { ……. public Knoten hintenEinfuegen(Element knoteninhalt) { return new Knoten (this, knoteninhalt); } Terminierungsfall

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