PG Air Seminararbeit März 2002 Jürgen Wieners Modellierung und Berechnung von Flugplänen für Charterfluggesellschaften PG Air Seminararbeit März 2002 Jürgen Wieners

Inhalte dieses Seminars Problembeschreibung Modellierung Teilprobleme der Column Generation Techniken für die Berechnung Vorstellung der Ergebnisse PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Problembeschreibung

Vom Problem zum System Ziel: Generierung eines Flugplans für Charterfluggesellschaften Voraussetzungen: Analyse des Marktbedarfs Kosten pro Flug und Passagier Flugplanzyklus: eine Woche Ziel dieses Seminar ist es zu zeigen wie die Berechnung eines Flugplanes für Charterfluggesellschaften ablaufen wird. Dabei werden die besonderen Parameter die für das Chartergeschäft eine Rolle spielen, Auswirkungen haben PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Problembeschreibung

Die Gegebenheiten Charterfluggesellschaft mit Flotte K K = Kfull  Kpart Flughäfen A = H  A Rotation: Folge von Flügen die ein Flugzeug am Tag fliegt. Direct Flights / Via Flights Möglichkeit Flugzeuge anderer Flotte zu Mieten, diese müssen vom Standort zu Einsatzort transportiert werden, und auch wieder zurück, sie sind nur in Zeitfenstern verfügbar und erzeugen Mietlkosten. Die Flughäfen trennen sich in 2 disjunkte Teilmengen auf. H die Flughäfen von den die Passagiere abreisen, und A die Zielflughäfen. Durch Chartergeschäft Symmetrischer Bedarf von Flügen von H->A Rotationen folgen festen Muster, wird später noch genauer erläutet, Starten und enden immer in h aus H, Passagieren ist maximal ein Umstieg / Zwischenstopp zuzumuten, daher sind Direkte Flüge und Flüge mit Umstieg bzw. Zwischenstopp zu Unterscheiden. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Problembeschreibung

Kostenbestandteile Einnahmen je Passagier u. OD-Paar Kosten für die Flugzeugeinsetzung Miete und Rücktransport für Flugzeuge aus Kpart Servicekosten pro Passagier Evtl. Strafkosten für die nicht mitgenommen Passagiere (Spill) Keine Klassenunterscheidung, daher Vereinfachung der Berechnung Genauer: Kosten für die Einsetzung eines Flugzeuges auf einer Fkugroute Die Verwendung geliehner Flugzeuge ist mit erhöhten Kosten verbunden die sich im wesentlichen aus der Miete für die Flugzeuge und den Kosten für den Hin und Rücktransport von Basis zum Einsatzort ergeben Für jeden beförderten Passagier fallen natürlich aus Kosten an, z.B für den Service an Bord oder Gebühren die zu entrichten sind. Die Strafkosten dienen zur Vermeidung großer Zahlen von nichtbeförderten Passagieren PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners

Annahmen Stützpunkt bezogene Flugzeuge Symmetrischer Bedarf Symmetrische Kapazitäten Indirekte Flüge Passagierbezogene Flugrouten • Jedes Flugzeug ist über Nacht an einem Stützpunkt, einem Flughafen aus H, zu parken. Die Wahl des Stützpunktes ist Teil der Optimierung und berücksichtigt dabei die Kapazitäten der Flughäfen. • Der tägliche Bedarf für jedes OD Paar ist symmetrisch, d. h. dem(o  d) = dem(o  d). Diese Annahme wird getroffen, da die Unterkünfte in den Urlaubsländern immer wochenweise vermietet werden. Somit fallen der Anreiseund der Abreisetag immer auf den selben Wochentag. • In Anlehnung an A2 müssen die täglichen Flugzeugrotationen symmetrische Kapazitäten bereitstellen, d. h. cap(o  d) = cap(o  d).. So werden die Reisenden wieder mit der gleichen Rotation zu ihrem Heimatflughafen zurückgeflogen, mit der sie auch gekommen sind, nur genau eine oder mehrere Wochen später. • Die Anzahl der indirekten Füge innerhalb einer Rotationen ist wie folgt beschränkt. In den Heimatflughäfen darf es maximal zwei und in den Auslandsflughäfen maximal einen Via-Flight geben. • Die Flugrouten eines Passagiers3 bestehen maximal aus 2 direkten Flügen. Anders formuliert darf einem Passagier nur eine Zwischenlandung zugemutet werden, egal ob mit oder ohne Flugzeugwechsel. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Modellierung

Beispielhafter Auszug aus zwei Rotationen Bedingungen für Rotationen Öffnungszeiten der Flughäfen Reisezeiten der Passagiere Beschränkungen Minimum Ground Time Beispielhafter Auszug aus zwei Rotationen PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Modellierung

Rotationssequenz Allgemeines Muster das ein Gerüst für jede Rotation liefert H0 H1 A2 A3 H4 A5 H6  A7H8 H9 mit Hj  H und Aj  A. Beispiel Rotation p11: H01H02A02 A3 H4 A5 H6  H02H01 Alle Rotationen folgen einem festgelegtem Muster in das sich jede der Rotationen einbetten lässt. Nicht alle Möglichen Sequenzen sind wirklich durchführbar. Durch Beschränkungen werden nur einige der Flüge durchgeführt was dazu führt das Teile der Sequenz leer bleiben PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Modellierung

Passenger Itineraries Die Reiserouten der Passagiere auf den Rotationen Sie stellen die Reiserouten der Passagiere auf den Rotationen dar. Daher sind sie sehr eng mit den Rotationen verknüpft. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Modellierung

Zielfunktion Die Zielfunktion (1) minimiert die Gesamtkosten. Diese bestehen aus: Kosten für den Einsatz der Flugzeuge Kosten pro genutztem Passenger Itinerary. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners

Bedingungen (2)-(3) (2) beschränkt die Anzahl der Passagiere auf die Kapazitäten der Flugzeuge. Die Bedingung (3) sichert ab, das nur vorhandene Flugzeuge eingesetzt werden. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners

Bedingungen (4)-(5) (4) und (5) modellieren die Gleichung 4 legt fest das an jedem Tag genau so viele Rotationen geflogen werden wie am Vortag. Y modelliert dabei die gemieteten Flugzeuge Gleichung 5 sichert das gleiche zum Periodenwechsel (4) und (5) modellieren die Flusserhaltung der Rotationen. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Modellierung

Bedingungen (6)-(7) (6) Beschränkung der Flugzeuge , wird insbesondere für die zusätzlich gemieteten Maschinen benötigt und Beschränkt die Ykad auf Werte zwischen –1 und 1, durch die festlegung der r und s. (7) Der Bezug zwischen Bedarf und Passgieranzahl und Spill ist von Grundlegender Bedeutung für den Sinn des Systems. (6) beschränkt die Verfügbarkeit der Flugzeuge, insbesondere der gemieteten (7) setzt Passagierzahlen und Spill in Bezug zum gegebene Bedarf PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Modellierung

Bedingungen (8)-(10) (8) definiert die Lösungsvariablen binär Hier sind nur noch einige, fast selbst verständliche, Randbedingungen definiert (8) definiert die Lösungsvariablen binär (9) und (10) legen fest das die Anzahl der Passagiere und der nichtbeförderten Personen nicht negativ werden kann. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Modellierung

Column Generation (CG) Verschieden Ansätze zur Erstellung der Rotationen: Branch and Cut and Price Z. B. zur Berechnung der Rotationen bei vielen Flughäfen oder wenn einige der Bedingungen entfallen bzw gelockert werden Branch and Cut Zur Generierung der Rotationen für kleine bis mittlere Probleminstanzen. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Teilprobleme der Column Generation

Netzwerk der Rotationen Ein Netzwerk für jedes Flugzeug und jede Basis Knoten sind Flughäfen, werden zu Schichten zusammengefasst Einsetzungs- und Flugkanten Technische Beschränkungen sind direkt modelliert PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Teilprobleme der Column Generation

Netzwerk der Rotationen Einen Einblick in das Netzwerk liefert diese Abbildung. Sie zeigt exemplarisch einen Auszug aus einem Netzwerk für ein Flugzeug mit Heimatbasis H01. Die Pfeile zeigen eine Rotation nach dem Beispiel für die Rotationen. Diese Rotation bedient die Flughäfen H01-H02-A01-H02-H01 unter Verwendung der Schichten 0,1,2,8,9. Die Schichten 3 - 7 werden dabei dann komplett ausgelassen. Andere FlÜge in dem Netzwerk sind durch die gestrichelten Pfeile angedeutet. Kanten können Fehlen, z. B. durch Sperren der einzelnen Flughäfen. Einen Sonderfall stellt die untere gepunktete Kante dar, sie steht für ein an dem Tag nicht verwendetes Flugzeug. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Teilprobleme der Column Generation

Techniken für die Berechnung Ganzzahlige Lösungen Lösung des Problems erzeugt über-wiegend gebrochene Lösungen. Um dieses zu Umgehen werden u.a. folgende Techniken eingesetzt: Koeffizientenreduzierung Depth-First-Heuristik PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Techniken für die Berechnung

Ursache der Nichtganzzahligkeit Bedingung (2) erzeugt Nichtganzzahligkeit der Lösung: Betrachte OD-Paare Wir ignorieren dabei den Rest der beinhaltenden Rotation. Ebenso die Flugzeugeinsetzung und die Flußerhaltungsbedingungen, die haben hier nur eine untergeordnete Rolle. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Techniken für die Berechnung

Ursache der Nichtganzzahligkeit Pfade und Betriebskosten Ergebnisse: Optimal : -64.013 DM Ganzzahlig:-46.910 DM Vereinfachtes Beispiel: Wie können nur eine Subflotte für dieses Problem einsetzen. Via-Flights seien nicht erlaubt. Unter Verwendung der Daten aus Tabelle 1 und Tabelle 2 lautet die optimale Lösung:p4 0.448, p5 0.379, p6 0.552 und alle anderen Lösungsvariablen = 0. Dabei ergibt sich für die Zielfunktion ein Lösungswert von –64.013 DM Die Kapazität entspricht dem Bedarf und alle Passagiere werden transportiert. Die optimale ganzzahlige Lösung wird erreicht durch p1 = p6 = 1. Der Wert für die Zielfunktion steigt auf DEM -46.910. Das ergibt ein Gap von 26.7 %. Da ein niedriges Gap schnellere Lösungen im Branch and Bound bedeutet soll dieses im folgenden minimiert werden Gap: 26,7% PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Techniken für die Berechnung

Koeffizienten Reduzierung Kapazitäten in (2) werden um die nicht besetzten Plätze reduziert. Ergebnisse: Optimal : -64.013 DM Koeffizientenred.:-54.6891 DM Eine Methode zur Verbesserung des Lösungsverhaltens ist es, alle Koeffizienten der Rotationen in Bedingung (2) kleiner oder gleich dem linken Gleichungsterm zu machen. Offensichtlich werden dabei gebrochene Lösungen abgeschnitten. Gewöhnlich ist der Bedarf an Passagieren, die einen Flug nutzen wollen, größer als jede Flugzeugkapazität. Die gilt insbesondere dann, wenn Passenger Itineraries und Via Flights verwendet werden. Verwenden wir nun wieder den Bedarf aus der Tabelle 1 und die angebotenen Sitzkapazitäten sind in Tabelle 3 zusammengefasst. Die optimale Lösung für dieses Problem ist jetzt erreicht worden mit: p4 =0,503067, p5 = 0, 496933, p6 = 0, 496933. Dabei nahm der Funktionswert DEM -54.6891 an und das Gap reduzierte sich auf 14.2 %. Auch diesmal gab es keinen Spill. Diese Verkleinerung des Gap bewirkt bei dem Einsatz von ”branch and bound“ ein schnelleres Finden einer gültige Lösung. Gap: 14,2% PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Techniken für die Berechnung

Techniken für die Berechnung Depth First Heuristik Tiefensuche durch Selektion einer Rotation Arbeitet mit Rundung der Lösungen Lösungswerte > Schwelle = 1 Lösungen mit Hohen Kosten = 0 Column Generation wird nicht benötigt 1. Setze eine oder einige wenige der Variablen Theta^k_p auf den Wert eins, falls für sie gilt: Rundungsschwelle < Theta^k_p < 1 . Die Rundungsschwelle ist ein Wert etwas kleiner als 1, der die Kandidaten für die Fixierung festlegt. Übliche Werte für die Schwelle sind 0,85 oder 0,95. 2. Löse das LP ohne Column Generation. 3. Setze Rotationsvariablen Theta^k_p mit hohen (positiven) reduzierten Kosten = 0. 4. Wenn die Lösung ganzzahlig ist, aktualisiere die bisher beste durchfürrbare Lösung. 5. Wenn der Lösungswert der Zielfunktion kleiner ist als der beste bisher bekannte machbare Lösung mache mit 1. weiter. 6. Mache einige Backtracking Druchläufe mit verschiedenen Variablen in 1. oder beginne eine komplett neue Suche mit 1. oder beende die Heuristik an dieser Stelle. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Techniken für die Berechnung

Vorstellung der Ergebnisse Lösungen Daten im Beispiel : Die Tabelle gibt einen Überblick über die Rahmenbedingungen für eine typische Woche der Airline. Die Woche ist tageweise in Spalten unterteilt. Die erste Zeile zeigt die Anzahl der angeflogenen Flughäfen aus (H), die zweite Zeile die der aus (A). Im zweiten Zeilenblock wird die Anzahl der OD-Paare und die Gesamtsumme der für den jeweiligen Tag erwarteten Passagiere aufgelistet. Der letzte Abschnitt zeigt die Flugzeugdaten. Hier ist die Anzahl der genutzten Flugzeugtypen, die Anzahl der Flugzeuge selber und die Aufteilung in eigene und gemietet Flugzeuge zu entnehmen. Die gesamte Woche bildet eine zweite Instanz, sie besteht dann aus 18 Heimat- und 38 Zielflughäfen sowie 266 OD-Paaren. Die anderen Werte lassen sich durch summieren der Zeilen in der Tabelle berechnen. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Vorstellung der Ergebnisse

Vorstellung der Ergebnisse 1. Lösung Parameter: Ohne Via-Flights, Positionen der Flugzeuge vorgegeben Ergebnisse: Anzahl der Verwendete Flugzeuge sinkt Spilled Passenger nehmen zu Lösungswert verbessert sich um ca 21% (Verglichen mit vorgegebener Lösung) Tabelle 6 zeigt die Statistik der Berechnungen. Für diese Berechnung sind die Fixkosten für den Transport eines Passagiers unabhängig vom eingesetzten Flugzeug definiert. Eine verfeinertes Kostenmodell würde die Berechnung zwar nicht komplexer machen, aber sie würde die Laufzeit stark verlängern ohne spürbar bessere Ergebnisse zu liefern. Die geringe Größe des Programms macht dynamische Spaltengenerierung nicht notwendig. Diese Berechnungen zeigen, dass das vorgeschlagene Modell gut arbeitet. Die unteren Schranken werden im Durchschnitt um 6,12% verbessert und der Gap liegt bei ca. 0,80%. In den Berechnungen wurde weder der Spill begrenzt, noch Strafen für Spill eingesetzt. Daher rührt auch der Rückschritt dieser Lösung, denn der ist gerade in der Erhöhung des Spills zu sehen. Deshalb nutzt man folgende Kenntnisse der Bedarfsanalysen. Der Bedarf teilt sind in zwei Teile auf. Die bereits fest an Zwischenhändler weiter gegebenen Plätze machen einen Teil von ca. 85 % aus. Der restliche Teil wird direkt verkauft. Deshalb sollte es vermieden werden Passagiere aus den schon verkauften 85 \% nicht zu befördern. Somit ist das schon unsere erste Begrenzung für den Spill Tabelle 7 zeigt die Zusammenfassung der Ergebnisse für die Berechnung mit bestraften und begrenzten Spill. Dabei werden die Strafkosten nur dann berechnet, wenn Passagiere aus dem 85\% nicht befördert werden. Bei den Lösungswerten in der Tabelle sind die Strafkosten nicht mit eingerechnet, um die Daten vergleichen zu können. Als Effekt sieht man, dass die Anzahl der benutzten Flugzeuge gestiegen ist, der Spill aber gesenkt wurde. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Vorstellung der Ergebnisse

PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners

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Vorstellung der Ergebnisse 2. Lösung Parameter: Ohne Via-Flights, Freie Positionierung der Flugzeuge Ergebnisse: Anzahl der Flugzeuge konstant Spilled Passenger nahmen fast immer ab (Verglichen mit der 1. Lösung) Gap bei ca 0.84% Tabelle 6 zeigt die Statistik der Berechnungen. Für diese Berechnung sind die Fixkosten für den Transport eines Passagiers unabhängig vom eingesetzten Flugzeug definiert. Eine verfeinertes Kostenmodell würde die Berechnung zwar nicht komplexer machen, aber sie würde die Laufzeit stark verlängern ohne spürbar bessere Ergebnisse zu liefern. Die geringe Größe des Programms macht dynamische Spaltengenerierung nicht notwendig. Diese Berechnungen zeigen, dass das vorgeschlagene Modell gut arbeitet. Die unteren Schranken werden im Durchschnitt um 6,12% verbessert und der Gap liegt bei ca. 0,80%. In den Berechnungen wurde weder der Spill begrenzt, noch Strafen für Spill eingesetzt. Daher rührt auch der Rückschritt dieser Lösung, denn der ist gerade in der Erhöhung des Spills zu sehen. Deshalb nutzt man folgende Kenntnisse der Bedarfsanalysen. Der Bedarf teilt sind in zwei Teile auf. Die bereits fest an Zwischenhändler weiter gegebenen Plätze machen einen Teil von ca. 85 % aus. Der restliche Teil wird direkt verkauft. Deshalb sollte es vermieden werden Passagiere aus den schon verkauften 85 \% nicht zu befördern. Somit ist das schon unsere erste Begrenzung für den Spill Tabelle 7 zeigt die Zusammenfassung der Ergebnisse für die Berechnung mit bestraften und begrenzten Spill. Dabei werden die Strafkosten nur dann berechnet, wenn Passagiere aus dem 85\% nicht befördert werden. Bei den Lösungswerten in der Tabelle sind die Strafkosten nicht mit eingerechnet, um die Daten vergleichen zu können. Als Effekt sieht man, dass die Anzahl der benutzten Flugzeuge gestiegen ist, der Spill aber gesenkt wurde. PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Vorstellung der Ergebnisse

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Vorstellung der Ergebnisse 3. Lösung Parameter: Mit Via-Flights, Positionen der Flugzeuge vorgegeben Ergebnisse: Deutlich gesenkte Flugzeuganzahl größere Anzahl der Spilled Passengers (Verglichen mit 1. Lösung) Gap bei ca 0.54% PG-Air - März 2002 Jürgen Wieners Vorstellung der Ergebnisse

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