Primzahlen für Einsteiger Alte und neue Ergebnisse Primzahlen für Einsteiger

Referenzen: Meine Hochschule Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Mein Fachbereich 500 Studierende 2 Sekretärinnen 6 Assistenten 3 Professorinnen, 12 Professoren Viele Lehrbeauftragte aus der Wirtschaft Primzahlen für Einsteiger

Referenzen: Meine Gemeinde Fritz-Herrmann Lutz, bewundernswerter Kommunikator, aber: Er hat noch nie eine Matheveranstaltung in Eppelborn besucht. Mathephobie? Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Der Plan Teilbarkeit Was ist eine Primzahl Warum Primzahlen interessant sind Wie viele Primzahlen gibt es Pause für notwendige körperliche Aktivitäten Primzahlen finden Rekorde Kuriosa Primzahlen für Einsteiger

Haben Sie eine Lieblingsprimzahl? Meine Lieblingsprimzahl: 17 42 ist keine Primzahl! Primzahlen für Einsteiger

Der Anfang: Pythagoras Geboren: 569 v.Chr. In Samos, Ionien Gestorben: 475 v. Chr. (in Kroton??) Vor allem Philosoph, der erste reine Mathematiker Zahlenmystiker (Perfekte Zahlen, alles in Proportionen) Primzahlen für Einsteiger

Die Geographie der Mathematik Primzahlen für Einsteiger

Die Geographie der Mathematik Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Was ist eine Primzahl? Die Definition, die Sie kennen: Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Es geht um natürliche Zahlen, es geht um Teilbarkeit. Schon jetzt: 1 ist keine Primzahl, sie macht nur unnötigen Ärger! Raus aus dem Primzahlenhimmel! Primzahlen für Einsteiger

Teilbarkeit bei ganzen Zahlen Beispiele: 7 teilt 42, 7|42, denn 42 ist Vielfaches von 7, d.h. 42 = 7 ∙ 6 8 teilt 42 nicht, 8 ┼ 42, denn 42 ist nicht Vielfaches von 8, d.h. es gibt keine Zahl c mit 42 = 8 ∙ c Primzahlen für Einsteiger

Teilbarkeit bei ganzen Zahlen Die grundlegende Definition: a, b, c seien ganze Zahlen. a │b bedeutet: b ist Vielfaches von a: Es gibt eine Zahl c mit b = a ∙ c Primzahlen für Einsteiger

Teilbarkeitseigenschaften 7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ (42 + 63), 7 │105 a │ b und a │c, dann auch a │ (b + c) 7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ (42 - 63), 7 │-21 a │ b und a │c, also auch a │ (b - c) Satz: Teilt a die Zahlen b und c, dann auch deren Summe und Differenz. Primzahlen für Einsteiger

Teilbarkeitseigenschaften 7 │ 42, also auch 7 │ 20 ∙ 42 a │ b, dann auch a │ c ∙ b Satz: Teilt a die Zahl b, dann auch jedes Vielfache von b Problem: Gilt das Folgende (eine Art Umkehrung): Aus a │ b ∙ c folgt: a │b oder a │c ? Primzahlen für Einsteiger

Teilbarkeitseigenschaften Die Umkehrung ist falsch: Aus a │ b ∙ c folgt nicht: a │b oder a │c Gegenbeispiel: Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Die endgültige Definition: Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 1 ist keine Primzahl. (Eine Konvention der Mathematiker) Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Einige Primzahlen Die ersten Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …. (?) Primzahlen für Einsteiger

Die zweitkleinste Zahl ist stets Primzahl Teilermengen T(42) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 14, 21, 42} T(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105} T(43) = {1, 43} T( 143) = {1, 11, 13, 143} Die zweitkleinste Zahl ist stets Primzahl Primzahlen für Einsteiger

Warum Primzahlen wichtig sind (Theorie) Der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen Beispiele: 42 = 2∙3∙7 700 = 2∙2∙5∙5∙7 = 22∙52∙7 Sie finden dies bei Euklid Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Euklid Euklid: Geb. 325 v. Chr. Gst: 265 v. Chr. in Alexandria Der Mathematiker des Altertums Primzahlen für Einsteiger

Wie zerlegt man in Primfaktoren? Beispiele: Z = 42 Z = 182 Z = 3553 Z = 135014 Dies ist nicht einfach! Primzahlen für Einsteiger

Warum Primzahlen wichtig sind (Praxis) Große Primzahlen für asymmetrische Verfahren der Kryptologie Es ist schwierig, die Primfaktorzerlegung großer Zahlen herzustellen. Primzahlen für Einsteiger

Wie viele Primzahlen gibt es? Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen Primzahlen für Einsteiger

Schönheit in der Mathematik Paul Erdös Idee: Proofs from the Book Eine Sammlung schöner Beweise Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Proofs from the Book Start: 6 Beweise, dass es unendlich viele Primzahlen gibt Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Euklids Beweis Primzahlen für Einsteiger

Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet Die Idee: Aus endlich vielen Primzahlen kann man eine neue konstruieren. Beispiele: p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5 E = 2∙3∙5 + 1 = 31: Eine neue Primzahl! Primzahlen für Einsteiger

Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet Beispiele: p1 = 3, p2 = 5, p3 = 7 E = 3∙5∙7 + 1 = 106: Keine neue Primzahl! Aber: E enthält eine neue Primzahl als Faktor, hier die Zahl 2. Keine der Zahlen 3,5,7 teilt 106 Primzahlen für Einsteiger

Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet Allgemein: p1, p2, p3, …, pn seien Primzahlen. E = p1∙ p2 ∙ p3 ∙ … ∙ pn + 1 : Keine der Zahlen p1, p2, p3, …, pn teilt E. Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen. Primzahlen für Einsteiger

Unendlich viele Primzahlen, ist das genug? In der Kryptologie interessant: Primzahlen mit etwa 300 Stellen. Gibt es genügend viele davon? Es gibt unendlich viele Zahlen der Form nn, aber nur 139 mit weniger als 300 Stellen Primzahlen für Einsteiger

Noch schlimmer: Primzahlenlücken Es gibt beliebig große Primzahlenlücken. Beweisidee: Eine Lücke der Länge 42 43! + 2, 43! + 3, 43! + 4, ….. , 43! + 43 (Aber: 43! = 6 ∙ 1052) Primzahlen für Einsteiger

Die Verteilung der Primzahlen Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Der Primzahlensatz (1896) Satz: Für große x: Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Der Primzahlensatz (1896) Nicolas de la Vallee- Poussin (1866 – 1962) Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Der Primzahlensatz (1896) Jacques Salomon Hadamard (1865 – 1962) Primzahlen für Einsteiger

Wie viele Primzahlen bis 10300? Primzahlen für Einsteiger

Bestimmung von Primzahlen Verschiedene Vorgehensweisen: Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe) Formeln (traurig und schön) Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen Primzahlen für Einsteiger

Das Sieb des Eratosthenes Geb.: 276 v. Chr. in Cyrene (Libyen) Gest.: 194 v. Chr. in Alexandria Zahlentheoretiker. Bestimmte den Erdumfang, ebenso die Abstände von Mond und Sonne Primzahlen für Einsteiger

Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Mersenne Zahlen Marin Mersenne Geb.: 1588 in Oize Gest.: 1648 in Paris Mathematiker und Physiker, suchte Formeln für Primzahlen Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Mersenne Zahlen M(p) = 2p – 1, p Primzahl M(2) = 3 M(3) = 7 M(5) = 31 M(7) = 127 M(11) = 2047 = 23*89, also keine Primzahl Primzahlen für Einsteiger

Mersenne Zahlen Der Stand der Kunst: 2000 waren 37 Mersenne-Primzahlen bekannt. Rekord-Mersenne-Primzahl: M(3 021 377) (mit mehr als 2 Millionen Stellen) Primzahlen für Einsteiger

Exkurs: Vollkommene Zahlen x heißt vollkommen, wenn x gleich der Summe der echten Teiler von x ist. Beispiele: 6 = 1 + 2 + 3 = 2 * 3 = 2(2-1) * M(2) 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 4 * 7 = 4 * M(3) = 2(3-1) * M(3) Primzahlen für Einsteiger

Vollkommene gerade Zahlen Satz von Euklid und Euler: Eine gerade Zahl x ist genau dann vollkommen, wenn sie von der Form 2(p-1) * M(p) ist, wobei p und M(p) Primzahlen sind Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Fermat-Zahlen Pierre der Fermat Geb.: 1601 in Beaumont de Lomagne Gest.: 1665 in Castres Genialer Zahlentheoretiker Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Fermat-Zahlen Fermats Vermutung: Alle Zahlen dieser Form sind Primzahlen. Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Fermat-Zahlen F(0) = 21 + 1 = 3, Primzahl F(1) = 22 + 1 = 5, Primzahl F(2) = 24 + 1 = 17, Primzahl F(3) = 28 + 1 = 257, Primzahl F(4) = 216 + 1 = 65 537, Primzahl Lauter Primzahlen! Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Eulers Antwort Leonhard Euler Geb.: 1707 in Basel Gest.: 1783 in St. Petersburg Einer der größten Mathematiker aller Zeiten Primzahlen für Einsteiger

Eulers Antwort (genial) F(5) = 232 + 1 = 4 294 967 297, F(5) = 4 294 967 297 = 641 ∙ 6700417 Weitere Fermatsche Primzahlen sind nicht bekannt. Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Rekorde F(11): Größte Fermatzahl mit vollständiger Faktorisierung F(24): Kleinste Fermatzahl, von der nicht bekannt ist, ob sie Primzahl ist oder nicht F(303088): Größte Fermatzahl, für die „nicht prim“ bewiesen wurde (Ein Faktor ist 3 x 2303093 + 1, Young 1998) Primzahlen für Einsteiger

Eine Formel für alle Primzahlen Hardy und Wrights Formel n Zweien bei f(n) ω = 1.9287800… Zur Berechnung von ω benötigt man alle Primzahlen Nicht sehr praktisch! Es gibt weitere solcher Formeln Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Godfrey Harold Hardy Geb.: 1877 in Cranleigh Gest.: 1947 in Cambridge Einer der bedeutendsten Zahlentheoretiker des 20. Jahrhunderts Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Literaturtipps Harald Scheid: Zahlentheorie Spektrum Verlag 2003, 49,95 € Paolo Ribenboim: My Numbers, my Friends Springer Verlag 2000, 39,95 $ Paolo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records Springer Verlag 1996, 40,41€ Primzahlen für Einsteiger

Primzahlen für Einsteiger Offene Fragen Wie hoch ist der Aufwand, eine Zahl zu faktorisieren? Wie stellt man fest, ob eine Zahl Primzahl ist? Wie findet man große Primzahlen? Einfache Formeln für unendlich viele Primzahlen Primzahlen für Einsteiger

Weitere Veranstaltungen Mathe für Alle in Eppelborn: Am 15.12.2003 im Rathaus Schrecken der Unendlichkeit I: Am 27.11.2003 um 19.30 in Tholey. Ort: Sitzungsaal im Rathaus Primzahlen für Einsteiger