Hier einige Hieroglyphen:

III. Figur und Hintergrund Gliederung 1. Primzahlen in formalen Systemen 1.1    Das mg-System 1.2    Zeichenketten zusammengesetzter Zahlen 1.3    Unzulässige Charakterisierung von Primzahlen 1.4    Primzahlen als positiv definierte Menge   2. Figur und Hintergrund 2.1    In der Kunst 2.2    In der Musik 2.3    Übertragung auf mathematische Theorien 2.4    Rekursiv aufzählbare Mengen – rekursive Mengen 2.5    Gödels Satz und das Halteproblem Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 1

1. Primzahlen in formalen Systemen Letzte Stunde: Addition in formalen Systemen Ziel dieser Stunde: Primzahlendarstellung in einem formalen System Satz: P----- (5) Kein Satz: P---- (4) Zentrale Frage: Welche Axiome und Regeln sind notwendig? Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 2

1.1 Das mg-System Primzahlen sind nur über die Multiplikation charakterisierbar Daher: 1. Schritt: Ein formales System zur Darstellung der Multiplikation „x mal y gleich z“ wird übersetzt in: xmygz Axiom: xm-gx, wobei x eine Bindestrichkette ist Schlussregel: xmygz ist ein Satz. Dann ist xmy-gzx ein neuer Satz, wobei x, y und z Bindestrichketten sind. Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 3

1.2 Zeichenketten zusammengesetzter Zahlen Nächster Schritt: Definition der zusammengesetzten Zahlen (= des Gegenteils der Primzahlen) Regel: Wenn x-my-gz ein Satz ist, dann ist es auch Zz, wobei x, y und z Bindestrichketten sind Das heißt: x+1 sowie y+1 vorgegeben => z ist zusammengesetzt Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 4

1.3 Unzulässige Charakterisierung Formales System für das Gegenteil der Primzahlen ist bekannt Vorschlag: Simple Umkehrung, um auf die Primzahlen zu kommen Regelvorschlag: Wenn Zx kein Satz ist, dann ist Px ein Satz. Nicht zulässig – diese Entscheidung kann nur außerhalb des Systems getroffen werden Parallele zum MU-Rätsel – dort konnte der Nachweis genauso nur informell durchgeführt werden Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 5

1.4 Primzahlen als positiv definierte Menge Zweiter Versuch über Nichtteilbarkeit x „ist kein Teiler von“ y wird übersetzt in: 1.Axiom: xyIKTx 1.Regel: Wenn xIKTy ein Satz ist, dann auch xIKTxy Axiom richtig, da: y != 0 Regel richtig, da: Modulo von y:x == Modulo von (y+x):x Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 6

1.4 Primzahlen als positiv definierte Menge 2.Regel: Wenn --IKTz ein Satz ist, dann auch zTF--   Diese Regel dreht den Ausdruck um, TF steht für „teilerfrei von“. Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 7

1.4 Primzahlen als positiv definierte Menge 3.Regel: Wenn zTFx ein Satz ist, und ebenso x-IKTz, dann ist zTFx- ein Satz Iterative Inkrementierung des TF-Ausdrucks mit Hilfe IKT-Regel 4.Regel: Wenn z-TFz ein Satz ist, dann ist Pz- ein Satz. Wenn alle Zahlen bis zur mutmaßlichen Primzahl-1 keine Teiler sind, handelt es sich tatsächlich um eine Primzahl Zwei ist aber auch eine Primzahl!? => 2.Axiom: P-- Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 8

2. Figur und Hintergrund In Punkt 1 fiel auf, dass die Primzahlen (gewissermaßen) das Gegenteil der zusammengesetzten Zahlen darstellen. In graphischer Form hieße das: Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 9

2.1 Figur und Hintergrund in der Kunst Hinter- und Vordergrund gibt es genauso in der Kunst Hierzu zwei „fiktive“ Begriffe: Kursiv zeichenbar (Hintergrund ist Nebenprodukt) Rekursiv zeichenbar (Hintergrund kann als eigene Figur aufgefasst werden) Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 10

2.1 Figur und Hintergrund in der Kunst Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 11

2.1 Figur und Hintergrund in der Kunst Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 12

2.1 Figur und Hintergrund in der Kunst Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 13

2.1 Figur und Hintergrund in der Kunst Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 14

2.1 Figur und Hintergrund in der Kunst Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 15

2.1 Figur und Hintergrund in der Kunst Die gezeigten Bilder sind „ Rekursiv zeichenbar“ Die Definition dieser Begriffe ist aber ungenau Ein „kursiv zeichenbares“ Bild: Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 16

2.2 Figur und Hintergrund in der Musik Ähnliches Phänomen in der Musik: Vorder- versus Hintergrund Melodie versus Begleitung J. S. Bach - Musikalisches Opfer - Ricercar, a 3 (Cembalo) Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 17

2.3 Übertragung auf math. Theorien Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 18

2.4 Rekursiv aufzählbare/rekursive Mengen Die zunächst nur negativ definierten Primzahlen ließen sich positiv darstellen Gilt das für alle formalen Systeme? Nein! => Es gibt rekursiv aufzählbare Mengen, die nicht rekursiv sind. Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 19

2.4 Rekursiv aufzählbare/rekursive Mengen => Es gibt rekursiv aufzählbare Mengen, die nicht rekursiv sind. Wenn ein typographisches Entscheidungsverfahren existiert, kann man mittels dessen Hilfe ausgehend von einer positiv definierten Menge die korrespondierende Negativ-Menge charakterisieren. => Es gibt formale Systeme, für die es keine typographischen Entscheidungsverfahren gibt. Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 20

2.5 Gödels Satz und das Halteproblem Diese Grundsätze wurden von Turing und Gödel aufgedeckt Gödels Vollständigkeitssatz: Eine Aussage φ ist genau dann allgemeingültig, wenn sie formal beweisbar ist. Das gilt allerdings nur für „einfache“ Systeme mit geringer Mächtigkeit. Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 21

2.5 Gödels Satz und das Halteproblem Gödels Unvollständigkeitssatz: Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig. Vereinfachter Ansatz: Ein System, das Sätze konstruiert, die jeweils eine Nummer („ID“) haben und aussagen, dass sie sich selbst nicht beweisen lassen. Wenn einer dieser Sätze wahr ist, lässt er sich wirklich nicht beweisen. Man besitzt kein typographisches Entscheidungsverfahren – das System ist unvollständig. Wenn dieser Satz unwahr ist, lässt er sich beweisen – ein klarer Widerspruch, der auf das System zurückgeführt werden muss, was dann folglich widersprüchlich sein muss. Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 22

2.5 Gödels Satz und das Halteproblem Turings Halteproblem: Es ist unmöglich, ein zweites Programm überprüfen zu lassen, ob ein erstes Programm terminiert. Das bedeutet wiederum, dass es in jedem hinreichend komplexen System Aussagen gibt, die man nicht beweisen oder widerlegen kann, also dass ein solches System unvollständig ist. Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 23

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