Seminar über Algorithmen Sokoban ist PSPACE-vollständig

Inhalt Einführung in Sokoban Vorstellen des Sokoban-Problems Das Sokoban-Problem ist PSPACE-vollständig, via Sokoban-Problem liegt in PSPACE Sokoban-Problem ist PSPACE-schwer

Sokoban Das Spielfeld besteht aus: Pusher

Sokoban Das Spielfeld besteht aus: Pusher Kisten

Sokoban Das Spielfeld besteht aus: Pusher Kisten Kistenzielfeldern

Sokoban Das Spielfeld besteht aus: Pusher Kisten Kistenzielfeldern

Sokoban Das Spielfeld besteht aus: Pusher Kisten Kistenzielfeldern Wänden

Mögliche Pusher-Bewegungen

Mögliche Pusher-Bewegungen Nach oben

Mögliche Pusher-Bewegungen Nach oben Nach unten

Mögliche Pusher-Bewegungen Nach oben Nach unten Nach links

Mögliche Pusher-Bewegungen Nach oben Nach unten Nach links Nach rechts

Pushen Genau eine Kiste kann in Bewegungs-richtung verschoben werden

Pushen Genau eine Kiste kann in Bewegungs-richtung verschoben werden Das neue Feld der Kiste muß frei sein

Ziel des Spiels Jede Kiste muß auf ein Kistenzielfeld gebracht werden

Ziel des Spiels Jede Kiste muß auf ein Kistenzielfeld gebracht werden

Sokoban-Problem Ist eine Konfiguration lösbar? Ja, da eine Folge von Pusher-Bewegungen existiert, die zu einer Lösung führt. Nein, da ein Argument für die Unlösbarkeit existiert.

Beispielargument für einen unlösbaren Fall Die Kiste kann nicht mehr bewegt werden und steht auf keinem Zielfeld

Beispielargument für einen unlösbaren Fall Die Kiste kann bewegt werden, aber nicht mehr auf ein Zielfeld

Beispielargument für einen unlösbaren Fall Beide Kiste können nicht mehr bewegt werden. Die linke ist auf keinem Zielfeld

Sokoban liegt in NSPACE(n) Nicht-deterministische Turing-Maschine rät Zug um Zug Es gibt keine Lösung falls nach Schritten keine Lösung gefunden ist Benötigt linearen Platzbedarf für die Konfiguration

Sokoban liegt in PSPACE Savitch´s theorem: Daraus folgt: Also: Sokoban liegt in PSPACE

Sokoban ist PSPACE-schwer Reduktion vom Entscheidungsproblem für Turing-Maschinen mit linear beschränktem Band

Reduktion Turing-Maschine mit Wort → Sokoban Rätsel Turing-Maschine akzeptiert Wort  Sokoban-Rätsel ist lösbar

Einbahnstraße

Einbahnstraße Der Weg von A nach B

Einbahnstraße Der Weg von A nach B Das Bauteil ist wieder im Ausgangszustand Kiste ist auf Zielfeld

Einbahnstraße Felder, an denen die Kiste nie stehen darf Kiste ist im Bauteil gefangen und keine andere kommt zum Zielfeld

Einbahnstraße Kein Weg führt von B nach A in einer Lösung

Einbahnstraße Kein Weg führt von B nach A in einer Lösung

Einbahnstraße Kein Weg führt von B nach A in einer Lösung

Heimkehrer

Heimkehrer Felder, an denen keine Kisten stehen dürfen Rosa ist durch die jeweils andere Kiste blockiert Keine Kiste kann hinein bzw. heraus

Heimkehrer Die Blockierung des rosanen Feldes ist durch die Verschiebung aufgehoben

Heimkehrer Pusher am Ziel B Kisten sind nicht auf Zielfeldern

Heimkehrer

Heimkehrer Das Bauteil ist wieder im Ausgangszustand Kisten befinden sich auf den Zielfeldern

Durchlauf-Zurücksetzer

Durchlauf-Zurücksetzer Zugang zum Mittelteil über Eingang A ist blockiert

Durchlauf-Zurücksetzer Zugang zum Mittelteil über Eingang A ist blockiert B ist Ausgang

Durchlauf-Zurücksetzer Zugang über Heimkehrer

Durchlauf-Zurücksetzer Verlassen über B nicht möglich Heimkehrer enthält offene Kisten Alle Zugänge zum Mittelteil blockiert

Durchlauf-Zurücksetzer Öffnen der Blockierung von A

Durchlauf-Zurücksetzer Verlassen des Mittelteils nur durch R

Durchlauf-Zurücksetzer Eingang A nicht mehr blockiert

Durchlauf-Zurücksetzer

Durchlauf-Zurücksetzer

Durchlauf-Zurücksetzer Jede Kiste ist auf Zielfeld Das Bauteil ist wieder im Ausgangs-zustand

Überführung Pfade existieren nur von: A zu A´ bzw. A´ zu A B zu B´ bzw. B´ zu B Alle Kisten sind initial und nach Durchlauf auf Zielfeldern

Kreuzung Verbindung von Pfaden

Zelleinheit Repräsentiert eine Zelle des Turing-Maschinen-Bands Beinhaltet das Steuerwerk der Turing-Maschine

Endlicher Automat

Heimkehrer beim Bandsymbol

Heimkehrer Nur der Rückweg des gelesen Buchstabens ist offen

Simulation

Simulation Probleme: Die Turing-Maschine akzeptiert bevor alle Zelleinheiten gelesen sind. Die Turing-Maschine liest jeden Buchstaben, akzeptiert aber nicht.

Simulation

Die entscheidende Kiste

Reduktionskosten Konstruktion einer Zelleinheit pro Bandbuchstabe und Zustand werden konstant viele Bauteile (ohne Überführungen) benötigt Es gibt maximal Überführungen Die Zelleinheit läßt sich in Zeit konstruieren n Kopien werden modifziert und verbunden, in O(n) Zeit Reduktion ist polynomiell

Quellen Joseph C. Culberson: Sokoban is PSPACE-complete Dorit Dor und Uri Zwick: Sokoban and other motion planning problems Sokoban für Windows http://sourceforge.net/projects/sokobanyasc/ Sokoban Seite der University of Alberta http://www.cs.ualberta.ca/~games/Sokoban/

Exponentielle Lösung