7. Regelbasierte Modellierung 11. Vorlesung 7. Regelbasierte Modellierung Basissystem Analytisch Metabolisches System Vorlesung WS 06/07 Modellierung & Simulation Überblick

Regelbasierte Modellierung Eigenschaften: Parallelität Probability Modularität Datenfluss Genetic Information Gene Regulation Synthesis Regulation Metabolic Pathways Cell Communication Effect Influence Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Das metabolische System Idee: Regelbasiertes System für die Formalisierung von: - Biosyntheseprozessen, - Proteinsyntheseprozessen, - Metabolischen pathways sowie - Zellkommunikationsprozessen. Grundlage ist eine universelle Regel: - Spezifikation der Regelwahrscheinlichkeit (p). - Vier weitere Komponenten = spezifische Metabolite. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Definition: Metabolische Regel Sei Z die Menge aller möglichen Zellzustände. Eine metabolische Regel ist ein 5-Tupel (p,V,N,F,H), wobei p Î [0;1] und V,N,F,H Í Z. p heißt Regelwahrscheinlichkeit, V ist eine Menge von Vorbedingungen, N ist eine Menge von Nachbedingungen, F ist die Menge der Förder-Substanzen (Förderer) und H ist die Menge der Hemm-Substanzen (Hemmer).   Notation: Ist V, N, F oder H die leere Menge, so wird dies im weiteren durch Æ dargestellt. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Basismodell ist ein diskretes Modell. Definition: Metabolisches Basissystem Ein metabolisches Basissystem ist ein Tripel G = (Z, R, z0). - Z bezeichnet die Menge aller möglichen Zellzustände, - z0 Î Z ist der Start-Zell­Zustand und - R eine endliche Menge metabolischer Regeln. Arbeitsweise des metabolischen Basissystems. Grundidee: Eigenschaften der metabolischen Verarbeitung in das Modell integrieren. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Definition: Aktivierung Sei G = (Z, R, z0) ein metabolisches Basissystem. Die Regel r = (p,V,N,F,H) Î R heißt aktiviert im Zustand z Î Z, wenn gilt: " x Î V x Î z und berechnen(r,z) > 0. AKT(z) = { r Î R : r ist aktiviert unter z } bezeichnet die Menge aller aktivierten Regeln im Zustand z. Gilt AKT(z) = Æ, dann terminiert G im Zustand z. r Î R ist aktiviert, wenn - V-Komponenten dieser Regel sind Elemente des aktuellen Zustandes und - Verrechnung der Einflussgemische hat eine modifizierte Regelwahrscheinlichkeit zur Folge, die größer als Null ist. Sie dient im zugehörigen Simulator einer booleschen Funktion random als Eingabe: true oder false, wobei im Fall true die Regel als ausführbar gilt ! Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

r1 = (0.8, {S}, {H,S}, {D}, {L}) und r2 = (0.6, {D}, {X}, {E}, {D}). Beispiel: Sei G = (Z, R, z0) ein metabolisches System z0 = {S, D} und R = {r1,r2} wobei r1 = (0.8, {S}, {H,S}, {D}, {L}) und r2 = (0.6, {D}, {X}, {E}, {D}). Unter der Konfiguration z0 ist AKT(z0) = {r1}. r2 nicht aktiviert: Repressor ist anwesend und dadurch liefert berechnen(r,A) den Wert false (0). Eine aktivierte Regel (p,V,N,F,H) kann in Aktion treten.  Modifikation des aktuellen Zellzustand z, indem die in z auftretenden Elemente der Menge V durch die Elemente der Menge N substituiert werden.  Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Die Aktion der im Zustand z aktivierten Regel r ist gegeben durch: Definition: Aktion Sei G = (Z, R, z0) ein metabolisches Basissystem, z Î Z der aktuelle Zustand und r = (p,V,N,F,H) Î R eine aktivierte Regel. Die Aktion der im Zustand z aktivierten Regel r ist gegeben durch: z' = (z \ V) È N. Aktion der Regel r im Zustand z: z ® z' (symbolisch)   Beispiel: Sei G wie oben. Die Aktion der aktivierten Regel r1 führt zum Zustand z' = {H,S,D}. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Definition: Nachfolgezustand - Einschritt-Ableitung Nachfolgezustand: AKT(z) liefert eine potentielle Menge von Nachfolgezuständen ((AKT(z)). Definition: Nachfolgezustand - Einschritt-Ableitung Sei G = (Z, R, z0) ein metabolisches System. Sei z Î Z der aktuelle Zustand und T Í AKT(z) mit AKT(z) ¹ Æ. Die 'quasi' gleichzeitige Aktion der Regelmenge T führt zum Nachfolgezustand z' und heißt Einschritt-Ableitung, in Symbolen z ÞT z', wenn gilt: z' = (z \ VT) È NT, wobei VT = { m : $ r = (p,V,N,F,H) Î T m Î V } und NT = { m : $ r = (p,V,N,F,H) Î T m Î N }. Wir sagen: z wird mittels der Aktion T nach z' überführt. ABL(z) = { z' : $ TÍAKT(z) z ÞT z' } ist die Menge aller Nachfolgezustände aus z.

Beispiel: Sei G = (Z, R, z0) ein metabolisches System mit z0 = {B,C,E} und R = {r1,r2,r3} mit r1 = (0.9, {B}, {S,B}, {C}, Æ), r2 = (0.3, {C}, {F,C}, {E}, Æ) und r3 = (0.3, {C,F}, {B,C}, {E}, Æ). AKT(z0) = {r1,r2} ist die Menge der unter z0 aktivierten Regeln. Aktion der Regel r1  {B,C,E,S}. Im Zustand z0 gibt es verschiedene Einschritt-Ableitungen: {B,C,E,S} (Aktion von r1), {B,C,E,F} (Aktion von r2), {B,C,E,S,F} (Aktion von r1 und r2) und {B,C,E} (leere Aktion). Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Ableitung = Kaskade von Nachfolgezuständen. Definition: Ableitung Sei G = (Z, R, z0) ein beliebiges metabolisches System. Eine Folge von Zuständen z1,...,zn+1 heißt Ableitung von z1 nach zn+1 mittels der Aktion T1,...,Tn, wenn gilt:  i=1,...,n zi ÞTi zi+1. Ferner ist die n-Schritt-Ableitung z ÞTi z' definiert, in Worten z ist in n Schritten nach z' ableitbar, wenn gilt: Es gibt Zustände z1,...,zn+1 und Aktionen T1,...,Tn, so dass z = z1, z' = zn+1 und z1 bis zn+1 ist eine Ableitung mittels der Aktionen T1,...,Tn. Ferner ist z Þ z', in Worten z ist ableitbar nach z', wenn es ein n gibt, so dass z ÞTn z' gilt. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

{B,C,E} ÞT {B,C,E,S} ÞT' {B,C,E,S,F} ÞT'' {B,C,E,S,F}... mit Beispiel: G wie bereits festgelegt. Dann ist die folgende Kaskade eine mögliche Ableitung: {B,C,E} ÞT {B,C,E,S} ÞT' {B,C,E,S,F} ÞT'' {B,C,E,S,F}... mit T = {r1}, T' = {r1,r2} und T'' = {r2,r3}. Aktionswahrscheinlichkeit δ(p). Aktiviert ein Metabolitgemisch m eine Regel r = (p,V,N,F,H), so handelt es sich um das unabhängige Ereignis "r tritt bei m in Aktion" mit der Wahrscheinlichkeit δ(p). δ ist eine spezifische Funktion, die die modifizierte Regelwahrscheinlichkeit der Regel r in Abhängigkeit der vorhandenen Förderer und Hemmer bestimmt (modp). Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Wahrscheinlichkeit einer Ableitung Zunächst die Wahrscheinlichkeit der Einschritt-Ableitung des Zellzustandes z in den Zellzustand z' ermitteln: P(z'|z). Sei z Î Z. Es werden alle Paare (m,r) mit mÍz und rÎAKT(z) (d.h. m aktiviert r) betrachtet. Seien (m1,r1),...,(mk,rk) diese Paare mit k Î N. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Wahrscheinlichkeit einer Ableitung Ein jedes Wort w Î {L,R}k bezeichnet eine Menge von Ereignissen, die einen Generationswechsel beschreiben. Sei w = a1a2..ak, dann entspricht w dem Ereignis: für i = 1,...,k, ri tritt in Aktion bei Nachricht mi, falls ai = L und ri tritt nicht in Aktion bei Nachricht mi, falls ai = R. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Dies sind unabhängige Ereignisse: P(w) := Pi=1,...,k qi , wobei δ(pi), falls ai = L qi := 1 - δ(pi), falls ai = R Jedes dieser Ereignisse w legt eine Ausgabenachricht α(w) fest: α(a1..ak) = { N : $ i Î {1,...,k} ai = L und ri = (p,V,N,F,H) }. D.h.: P(z'|z) = Sα(w)=z' P(w). Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

(m1,r1) δ(p) 1- δ(p) L R (m2,r2) L R L R (m3,r3) ........................................................ ........................................................ (mn,rk) α(w) Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Gegeben sei ein metabolisches Basissystem G = (Z, R ,z0) mit: z0 = {S1} und R = {r1, r2, r3} mit r1 = (p1, {S1, Sx}, {S2}, {E1}, Æ), r2 = (p2, {S1, Sx}, {S2}, {Ex}, Æ) und r3 = (p3, {Sk}, {Sh}, {Ek}, Æ) und δ(p1) = 3/4 =: p, δ(p2) = 3/4 =: p‘, δ(p3) = 1/5 =: p''. Sei z = {S1, Sx, Sk, E1, Ex, Ek} der aktuelle Zustand, dann ist die Liste der Paare (Gemisch, aktivierte Regel): ({S1, Sx, E1}, {r1}) 1. Paar ({S1, Sx, Ex}, {r2}) 2. Paar ({Sk, Ek}, {r3}) 3. Paar Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Pfad beschreibt das Wort LRL und damit das Ereignis: Worte w Î {L,R}3 lassen sich als Pfad in einem vollständigen binären Baum auffassen. ({S1, Sx, E1}, {r1}) L R ({S1, Sx, Ex}, {r2}) L R L R ({Sk, Ek}, {r3}) L L R L R L R Pfad beschreibt das Wort LRL und damit das Ereignis: Regel r1 tritt unter Substrat S1, Sx und Enzym E1 in Aktion und Regel r3 tritt unter Substrat Sk und Enzym Ek in Aktion.

Kantenbeschriftung: Mit ri, der Regel des i-ten Paares, wird in der i-ten Schicht den Kanten zu linken Söhnen δ(pi) und den Kanten zu rechten Söhnen 1-δ(pi) zugeordnet. ({S1, Sx, E1}, {r1}) δ(p1) 1- δ(p1) ({S1, Sx, Ex}, {r2}) δ(p2) 1- δ(p2) δ(p2) 1- δ(p2) ({Sk, Ek}, {r3}) δ(p3) δ(p3) δ(p3) δ(p3) 1- δ(p3) 1- δ(p3) 1- δ(p3) 1- δ(p3) Das Produkt der Zahlen an den Kanten, die auf dem einem Wort w zugeordneten Pfad liegen, ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses w. Im Beispiel hat der betrachtete Weg LRL die Wahrscheinlichkeit p1 * (1-p2) * p3 = (3/4) * (1 - 3/4) * (1/5) = 0.0375.

Im betrachteten Beispiel ergibt sich: Jedem Blatt lässt sich der Nachfolgezustand des Ereignisses zuordnen. Er entspricht dem in diesem Blatt endenden Pfad. Im betrachteten Beispiel ergibt sich: ({S1, Sx, E1}, {r1}) L R ({S1, Sx, Ex}, {r2}) L R L R ({Sk, Ek}, {r3}) L L R L R L R b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b1 = {S2, Sh, E1, Ex, Ek} b2 = {S2, Sk, E1, Ex, Ek} b3 = {S2, Sh, E1, Ex, Ek} b4 = {S2, Sk, E1, Ex, Ek} b5 = {S2, Sh, E1, Ex, Ek} b6 = {S2, Sk, E1, Ex, Ek) b7 = {S1, Sx, Sh, E1, Ex, Ek} b8 = {S1, Sx, Sk, E1, Ex, Ek}

P(b3|z) = (3/4) * (1 - (3/4)) * (1/5) = 0.05 Mit dieser Sichtweise kann man jetzt ausrechnen, dass im obigen Beispiel gilt: P(b1|z) = (3/4) * (3/4) * (1/5) = 0.14 P(b3|z) = (3/4) * (1 - (3/4)) * (1/5) = 0.05 P(b5|z) = (1 - 3/4) * (3/4) * (1/5) = 0.05 Damit ergibt sich für {S2, Sh, E1, Ex, Ek} die Wahrscheinlichkeit 0.24.   Die Ereignisse in verschiedenen Generationen werden als unabhängige Ereignisse angesehen. Damit hat eine Ableitung A = (z1,z2,...,zh) die Wahrscheinlichkeit P(A):= P(z2|z1) * P(z3|z2) ... * P(zh|zh-1) Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

P(A,i+1) := SzÎZ P(A|z) P(z,i) (II.) Ebenso lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(M,i), dass die Substanzmenge M nach i Generationen vorliegt, rekursiv bestimmen: 1 falls A = Æ P(A,0) := (I.) 0 sonst P(A,i+1) := SzÎZ P(A|z) P(z,i) (II.)   (I.) - Start-Zellzustand erhält die Wahrscheinlichkeit 1. (II.) Berücksichtigt, dass jeder Zustand auf verschiedenen Wegen erreicht werden kann. Es wird davon abstrahiert, mit welchen Schritten man den Zellzustand erreicht. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Analytisch-metabolisches System Konzentrationen sollen Berücksichtigung finden.  Kinetische Effekte im Modell. Metabolische Regel: 5-Tupel (p,V,N,F,H). Komponenten = Liste von Metabolite.   Konzentrationswerte: Zähleinheit für die jeweiligen Metabolite ist die Anzahl der Moleküle. Gemisch: Menge von Metaboliten, die jeweils in unterschiedlicher Quantität vorliegen. Formal: Verallgemeinerte Multimengen. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

m: X ® Z (in die Menge der ganzen Zahlen). Multimenge Eine verallgemeinerte Multimenge m über einer Menge X ist eine Abbildung m: X ® Z (in die Menge der ganzen Zahlen). Beispiel: Sei X = {a,b,c} eine beliebige Menge. Eine mögliche Multimenge über X ist: m = {(a,6),(b,9),(c,4)}. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Multimenge Vereinbarung: Bezeichne MIN die Minimalfunktion und MAX die Maximalfunktion. Für zwei Multimengen m und u gilt: x Î m º m(x) > 0 u Í m º " xÎX u(x) £ m(x) u Ç m º { (x, MIN(u(x),m(x)) : x Î X } u È m º { (x, MAX(u(x),m(x)) : x Î X } u + m º { (x,u(x)+m(x) : x Î X } u - m º { (x,u(x)-m(x) : x Î X } m(x) ::= Anzahl eines Elementes x in einer Multimenge m Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Definition: Metabolisches Gemisch Sei z Í Z ein beliebiger Zellzustand und k eine Multimenge über Z. k heißt metabolisches Gemisch mit Zellzustand z, wenn z = { x : k(x) > 0 }. Im weiteren werden die metabolischen Gemische als Liste wie folgt dargestellt [k(x1) x1,..., k(xn) xn], wobei nur die Komponenten eingetragen werden, deren Werte verschieden von Null sind. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Beispiel: Sei z = {Glucose, Lactose, RNS-Polymerase}, dann ist Komponenten eines metabolischen Gemisches werden als Liste zusammengefasst. Der Wert Eins wird dabei im weiteren optional angewendet, d. h. er muss nicht explizit genannt werden. Beispiel: Sei z = {Glucose, Lactose, RNS-Polymerase}, dann ist [34 Glucose, Lactose, 15 RNS-Poly­merase] ein metabolisches Gemisch, das sich aus 34 Einheiten Glucose, einer Einheit Lactose und 15 Einheiten RNS-Polymerase zusammensetzt. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Definition: Metabolisches Einflussgemisch Reaktionen basieren auf spezifischen Reaktionsgeschwindigkeiten, die sich aus der Konzentration der beteiligten Metaboliten ergibt. Definition: Metabolisches Einflussgemisch Sei n Î N, γ eine rationale Zahl aus dem Intervall [0;1] und f eine berechenbare monotone Funktion. Für f ist das Intervall [0;1] von rationalen Zahlen Definitionsbereich und Wertebereich. Der metabolische Einfluss des Metaboliten m ist ein 3-Tupel (f,n,γ). f ist die Einflussfunktion, n der Schwellenwert und γ die Stärke des Metaboliten m (Modifikationsfaktor). Ein metabolisches Einflussgemisch ist eine Liste von Metaboliten mit zugehörigem metabolischen Einfluss. Die Metaboliten heißen Hemmer oder Förderer. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Schwellenwert = Sättigungsgrad des Metaboliten. Sei die aktuelle Konzentration des Metaboliten größer oder gleich diesem Schwellenwert  Einflussfunktion liefert den Wert 1 und der Metabolit kann seine volle Wirkung ausüben, indem die Regel- wahrscheinlichkeit mit der Stärke multipliziert wird. Sei die aktuelle Konzentration unterhalb des Schwellenwertes  Es wird eine rationale Zahl aus dem Intervall [0;1] in Abhängigkeit der gewählten Einflussfunktion ermittelt: sigmoide (s), hyperbolische (h) und lineare (l) Einflussfunktionen. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Im implementierten Simulationsprogramm findet die sigmoide (s), Schwellenwert Im implementierten Simulationsprogramm findet die sigmoide (s), hyperbolische (h) und lineare (l) Funktion Berücksichtigung, indem der Benutzer für f abkürzend den jeweiligen Anfangsbuchstaben der gewünschten Funktion in das 3-Tupel einsetzt (f Î {l,s,h}). Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Definition: Analytisch-metabolische Regel Sei Z ein metabolisches Gemisch. Eine analytisch-metabolische Regel ist ein 5-Tupel (p,V,N,F,H) mit: p ist Regelwahrscheinlichkeit aus dem Intervall [0;1], V positive Multimenge über Z (genannt Vorhergemisch), N positive Multimenge über Z (genannt Nachhergemisch), F förderndes metabolisches Einflußgemisch und H hemmendes metabolisches Einflußgemisch. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Für eine analytisch-metabolische Regel r bezeichnet VOR(r) das Vorhergemisch, NACH(r) das Nachhergemisch, FÖR(r) die Metaboliten des fördernden Einflussgemisches und HEM(r) die Metaboliten des hemmenden Einflussgemisches. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Hydrolyse der Lactose ist ein enzymatisch gesteuerter Prozeß. Beispiel: Hydrolyse der Lactose ist ein enzymatisch gesteuerter Prozeß. Lactose wird in Galactose und Glucose umgesetzt. Katalyse: ß-Galactosidase = Modell: Positives Einflußgemisch mit einer hohen Wirkung. Eine mögliche Regel: r = (1.0, [Lactose], [Galactose, Glucose], [ß-Galactosidase(s,100,0.99)], Æ) mit: VOR(r) = {[Lactose]}, NACH = {[Galactose, Glucose]}, FÖR(r) = {[ß-Galactosidase]} und HEM(r) = Æ. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Definition: Analytisch-metabolisches System Das 3-Tupel G = (Z,R,k0) mit Z Menge der Metabolitgemische, k0 eine positive Mulitmenge über Z und R eine endliche Menge von analytisch-metabolischen Regeln heisst analytisch-metabolisches System. Jede Multimenge k über Z heißt Konfiguration des analytisch-metabolischen Systems. k0 heißt Start-Konfiguration von G. Vereinbarung: K = Menge aller Konfigurationen des Systems. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

in Abhängigkeit der aktuellen Konfiguration und der Formalismus: Einfluss der Hemm-Substanzen und Förder-Substanzen in Abhängigkeit der aktuellen Konfiguration und der jeweiligen Einflussgemische unabhängig voneinander berechnen. Idee: Einflusswerte multiplikativ mit der Regelwahrscheinlichkeit verrechnen.   Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Definition: Modifizierte Regelwahrscheinlichkeit. Sei r = (p,V,N,F,H) eine analytisch-metabolische Regel. Sei e ein Metabolit, der Förder-Substanz oder Hemm-Substanz ist, mit dem metabolischen Einfluss (fe, ne, γe). Der wirksame Einfluss auf die Regel r in der Konfiguration z ist γe, falls der Schwellenwert ne überschritten ist, d.h. z(e) > ne. Andernfalls bestimmt er sich durch γe = f(z(e)/ne). Der gemeinsame Einfluss der Förderer (γFÖR(r)) bestimmt sich durch: SeÎFÖR(r) (γe * e) / SeÎFÖR(r) γe. Der Einfluß der Hemmer (γHEM(r)) ist durch MAXeÎHEM(r) e gegeben. Die modifizierte Regelwahrscheinlichkeit ergibt sich dann aus: modp(r,k) = p * γFÖR(r) * γHEM(r). Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

eine analytisch-metabolische Regel und [A, B, 5 F1, 20 F2, 10 H1] Beispiel r=(0.9,[A,B],[C],[F1(l,10,1.0),F2(s,10,0.1)],[H1(l,10,1.0),H2(s,10,0.9)]) eine analytisch-metabolische Regel und [A, B, 5 F1, 20 F2, 10 H1] die aktuelle Konfiguration. Dann ergeben sich die folgenden Modifikationsfaktoren: für F1 = 0.5, F2 = 0.09 und H1 = 0.0. Daraus ergibt sich die modifizierte Regelwahrscheinlichkeit modp(r) = 0.0, weil die Hemm-Substanz H1 absolut wirkt. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Definition: Aktivierung Sei G = (Z,R,k0) ein analytisch-metabolisches System und k eine Konfiguration des Systems. Für die Aktivierung der Regel r unter k gilt: a) Ist eine Komponente der Konfiguration k negativ, so ist r nicht aktiviert. b) Sei k eine positive Multimenge, dann heißt r = (p,V,N,F,H) unter k aktiviert, wenn es gilt: V Í k und modp(r,k) > 0. AKT(k) = { r Î R : r ist aktiviert unter der Konfiguration k } bezeichnet die Menge aller aktivierten Regeln unter der Multimenge k. Gilt AKT(k) = Æ, dann terminiert G in der Konfiguration k. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Sei G = (Z,R,k0) ein analytisch-metabolisches System. Definition: Aktion Sei G = (Z,R,k0) ein analytisch-metabolisches System. r = (p,V,N,F,H) eine aktivierte Regel in der Konfiguration k. Dann ist die Aktion von r, in Symbolen k ® k', gegeben durch: k' = (k - VOR(r)) + NACH(r). Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Beispiel: G = (Z,R,k0) ein analytisch-metabolisches System. k = [H1, 2 A] sei die aktuelle Konfiguration R = {r1,r2} mit r1 = (0.5, [A], [B, 2 C], [E], [H1, H2]) und r2 = (0.8, [A], [B], [E], [H2]). Regel r1 nicht aktiviert, weil der Repressor H1 anwesend ist. Regel r2 aktiviert, weil H2 nicht und Enzym E1 anwesend ist. Aktion der Regel r2 führt zu k' = [H1, 2 A] - [A] + [B] = [H1, A, B]. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Einschritt-Ableitung: ‚Quasi' gleichzeitige Aktion aktivierter Regeln. Definition: Nachfolgekonfiguration - Einschritt-Ableitung Sei G = (Z,R,k0) ein analytisch-metabolisches System und k eine beliebige Konfiguration für die gilt: T Í AKT(k) mit AKT(k) ¹ Æ. Die 'quasi' gleichzeitige Aktion der Regelmenge T heißt Einschritt-Ableitung und führt zur Nachfolgekonfiguration k', in Symbolen k ÞT k', wenn gilt k' = (k - S"tÎT VOR(t)) + S"tÎT NACH(t). Wir sagen k wird mittels der Aktion T nach k' überführt. D(k) = { k' : $ TÍAKT(k) k ÞT k' } beschreibt die Menge aller Nachfolgekonfigurationen. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

k = [6 A, 8 B, 3 E] und der Regelmenge R mit Beispiel: Gegeben ein analytisch-metabolisches System G mit k = [6 A, 8 B, 3 E] und der Regelmenge R mit r1 = (0.8, [2 A], [3 B], [E], [X]) und r2 = (0.5, [2 B], [3 D], [E], [X]). Dann gilt: AKT(k) = {r1,r2} und D(k) = { [6 A, 8 B, 3 E], [4 A, 11 B, 3 E], [6 A, 6 B, 3 D, 3 E], [4 A, 9 B, 3 D, 3 E] } ergibt sich unmittelbar aus den möglichen Einschritt-Ableitungen. Sei k' = [5 U, 14 H], dann ist AKT(k') = Æ. In diesem Fall terminiert G in dieser Konfiguration. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Definition: Ableitung Sei G = (Z,R,k0) ein beliebiges analytisch-metabolisches System. Eine Folge von Konfigurationen k1,...,kn+1 (nÎN) heißt Ableitung von k1 nach kn+1 mittels der Aktion T1,...,Tn, wenn gilt: " i=1,...,n ki ÞTi ki+1. Ferner ist die n-Schritt-Ableitung k Þn k' definiert, in Worten k ist in n Schritten nach k' ableitbar, wenn gilt: Es gibt Konfigurationen k1,...,kn+1 und Aktionen T1,...,Tn, so dass k = k1, k' = kn+1 und k1 bis kn+1 ist eine Ableitung mittels der Aktionen T1,...,Tn. Ferner ist k Þ* k', in Worten k ist ableitbar nach k', wenn es ein n gibt, so dass k Þn k' gilt. ABL(G) = { k : k0 Þ* k } bezeichnet die Menge aller aus k0 ableitbaren Konfigurationen. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Betrachtet wird das analytisch-metabolische System s.o. Beispiel: Betrachtet wird das analytisch-metabolische System s.o. Dann ist eine mögliche Ableitung gegeben durch: [6A,8B,3E] ÞT [4A,11B,3E] ÞT' [2A,12B,3D,3E] ÞT'' [15B,3D,3E] mit T = {r1}, T' = {r1,r2} und T''= {r1}. In G ist die Konfiguration [15 B, 3 D, 3 E] durch die Ableitung [6 A, 8 B, 3 E] Þ* [15 B, 3 D, 3 E] erreichbar. Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Sei G = (Z,R,k0) ein analytisch-metabolisches System mit Beispiel: Sei G = (Z,R,k0) ein analytisch-metabolisches System mit k = [X] und R = {r1,r2,r3} mit r1 = (1.0, [X], [B], Æ, Æ), r2 = (1.0, [B] ,[C], Æ, Æ) und r3 = (1.0, [X], [D], Æ, Æ). Unter k ist T = {r1,r3} aktiviert. Die Nachfolgekonfiguration von k unter T ergibt: k' = [X] - ([X] + [X]) + ([B] + [D]) = [-X, B, D] Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem