3. Die Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

Präsentation zum Thema: "3. Die Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen"—  Präsentation transkript:

1 3. Die Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Für die Darstellung eines Graphen eignet sich die sogenannte Adjazenzmatrix . Dabei handelt es sich um eine Tabelle, in der die Zeilen- und Spaltenüberschriften die Knotenbezeichner sind. In eine Zelle wird eine 1 eingetragen, wenn es zwischen den zugehörigen Knoten eine Kante gibt. Informatik Die Datenstruktur Graph – 3.2 Repräsentation von Graphen

2 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Beispiel 1: Graph Adjazenzmatrix v1 v2 v3 v4 v5 v6 1 In eine Zelle wird eine 1 eingetragen, wenn es zwischen den zugehörigen Knoten eine Kante gibt. Die Adjazenzmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

3 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Beispiel 2: Graph Adjazenzmatrix v1 v2 v3 v4 v5 v6 1 Bei einem gerichteten Graphen muss die Adjazenzmatrix nicht mehr symmetrisch zur Hauptdiagonalen sein. Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

4 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Beispiel 3: Graph Adjazenzmatrix v1 v2 v3 v4 v5 v6 10 20 30 40 Bei einem gewichteten Graphen trägt man die Kantenwerte ein. Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

5 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Implementierung einer Matrix in Java: Beispiel: (keine Adjazenzmatrix!) mat[0] = Feld mit 3 Elementen 1 2 3 4 5 6 mat[1] = Feld mit 3 Elementen int[][] mat; public Matrix(){ mat = new int [zeilen] [spalten]; Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

6 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Implementierung einer Matrix in Java: 1 2 3 4 5 6 public class Matrix{ int zeilen = 2; int spalten = 3; int[][] mat; public Matrix(){ mat = new int [zeilen] [spalten]; mat[0][0] = 1; mat[0][1] = 2; mat[0][2] = 3; mat[1][0] = 4; mat[1][1] = 5; mat[1][2] = 6; } Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

7 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Ausgabe der Matrix mit verschachtelten Schleifen: 1 2 3 4 5 6 public void ausgabe(){ for(int i = 0; i< zeilen; i++){ for(int j = 0; i<spalten; j++){ System.out.print( "mat[" + i + "] [" + j + "] = " + mat[i][j]+" "); } System.out.println(); Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

8 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Übung 1 – Matrizen in Java Übertrage das Beispiel für eine Matrix mit der Methode zur Ausgabe in ein BlueJ Projekt. Teste und untersuche auch das BlueJ Projekt MatrixScanner im Ordner Lösungen. Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

9 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Modellieren eines Graphen: Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

10 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Die Klasse GRAPH_MATRIX verwaltet die Knoten und Kanten und stellt eine Methode zur formatierten Ausgabe der Matrix bereit. Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

11 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Verwalten von Knoten und Kanten: Knotenfeld: knoten[0] Bezeichner "A" Knotennummer 0; knoten[1] Bezeichner "B" Knotennummer 1; A B C D 5 8 3 -1 Matrix: 0 für die Elemente der Hauptdiagonale; -1 steht für eine nicht vorhandene Kante, diese Zelle bleibt bei der Ausgabe leer. Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

12 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Einfügen eines neuen Knotens : Knotenfeld ergänzen, vorausgesetzt, der Knoten ist noch nicht vorhanden und die maximale Anzahl ist nicht überschritten. A B C D E 5 8 3 -1 Matrix: 0 und -1 in der neuen Spalte und der neuen Zeile ergänzen. Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

13 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Einfügen einer neuen Kante : A B C D E 5 8 3 -1 9 Matrix: Gewichtung eintragen Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

14 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Übung 2 – Implementieren einer Matrix für einen Graphen Vorlage: Graph_Matrix_Vorlage In der Vorlage ist bereits eine Methode zur formatierten Ausgabe implementiert. Ergänze das Projekt um die benötigten Attribute und um die fehlenden Methoden KnotenEinfuegen und KanteEinfuegen. Eine kurze Hilfestellung findest auf der folgenden Seite. Im Quelltext sind in den Kommentaren ebenfalls Erläuterungen notiert. Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

15 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Übung 2 – Implementieren einer Matrix für einen Graphen Vorlage: Graph_Matrix_Vorlage Klasse GRAPH_MATRIX  void KnotenEinfuegen(String bezeichner)  Wenn die maximale Anzahl an Knoten erreicht wird oder der Knoten bereits eingefügt ist, erfolgt kein Einfügen. Ob der Knoten bereits eingefügt ist, findet man mit der Methode KnotenNummer(bezeichner) heraus. In der Matrix soll an der Position der Diagonalen eine 0 stehen. An den übrigen Plätzen (d.h. in der Spalte und in der Zeile des neuen Knotens) bis zu dieser Position wird mithilfe einer geeigneten Schleife in die Matrix jeweils eine -1 eingefügt, die in der Methode Ausgabe() die Ausgabe einer Leerstelle bewirkt. Klasse GRAPH_MATRIX  void KanteEinfuegen(String von, String nach, int gewichtung)  In der Methode legt man zwei int-Attribute vonNummer und nachNummer fest, denen die Knotennummern der Knoten von und nach zugeordnet werden. Falls diese Knoten in der Knotenliste auftauchen (d.h. die Knotennummer ist nicht -1) und nicht identisch sind, ergänzt man in der Matrix die beiden Einträge.  Ausführliche Hinweise findest du auf den nächsten Seiten und im Buch auf den Seiten Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

16 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Knoten und Kanten einfügen – detaillierte Beschreibung Graph Knotenliste A B C D E Adjazenzmatrix A B C D E 1 -1 Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

17 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Knoten und Kanten einfügen – detaillierte Beschreibung Beispiel: Knoten E in die Knotenliste einfügen Jeder Knoten hat eine Knotennummer, die mit dem Arrayindex identisch ist. Noch nicht vorhandene Knoten erhalten die Nummer -1 A B C D 1 2 3 public int KnotenNummer(String bezeichner) { int ergeb =-1; for (int i=0; (i < anzahlKnoten) && (ergeb == -1); i++){ if (knoten[i].BezeichnungGeben().equals(bezeichner)) { ergeb = i; } return ergeb; Der Aufruf KnotenNummer(“E“) liefert den Wert -1 zurück. Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

18 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Knoten und Kanten einfügen – detaillierte Beschreibung Beispiel: Knoten E in die Knotenliste einfügen Der Knoten wird dem Feld zugefügt und die Einträge in der Matrix werden ergänzt. A B C D E 1 2 3 4 A B C D E 1 -1 anzahlKnoten hat vor dem Einfügen von E den Wert 4. Also kann E so eingefügt werden: knoten[anzahlKnoten] = new KNOTEN(bezeichner); Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

19 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Knoten und Kanten einfügen – detaillierte Beschreibung Beispiel: Knoten E in die Knotenliste einfügen Der Knoten wird dem Feld zugefügt und die Einträge in der Matrix werden ergänzt. A B C D E 1 2 3 4 A B C D E 1 -1 public void KnotenEinfuegen(String bezeichner) { if ((anzahlKnoten < knoten.length) && (KnotenNummer(bezeichner) == -1)) { knoten[anzahlKnoten] = new KNOTEN(bezeichner); matrix[anzahlKnoten][anzahlKnoten] = 0; for (int i=0; i<anzahlKnoten; i++) { matrix[anzahlKnoten][i] = -1; matrix[i][anzahlKnoten] = -1; } anzahlKnoten = anzahlKnoten + 1; Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

20 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Knoten und Kanten einfügen – detaillierte Beschreibung Beispiel: Kante DE in die Matrix einfügen Adjazenzmatrix vorher: A B C D E 1 -1 Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

21 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Knoten und Kanten einfügen – detaillierte Beschreibung Beispiel: Kante DE in die Matrix einfügen Adjazenzmatrix nachher: A B C D E 1 -1 Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

22 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Knoten und Kanten einfügen – detaillierte Beschreibung Beispiel: Kante DE in die Matrix einfügen A B C D E 1 2 3 4 Knotennummern von D und E ermitteln: int vonNummer, nachNummer; vonNummer = KnotenNummer(von); nachNummer = KnotenNummer(nach); public int KnotenNummer(String bezeichner) { int ergeb =-1; for (int i=0; (i < anzahlKnoten) && (ergeb == -1); i++){ if (knoten[i].BezeichnungGeben().equals(bezeichner)) { ergeb = i; } return ergeb; Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

23 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Knoten und Kanten einfügen – detaillierte Beschreibung Beispiel: Kante DE in die Matrix einfügen A B C D E 1 -1 Einträge in der Matrix ergänzen: public void KanteEinfuegen(String von, String nach, int gewichtung) { int vonNummer, nachNummer; vonNummer = KnotenNummer(von); nachNummer = KnotenNummer(nach); if ((vonNummer!=-1) && (nachNummer!=-1) && (vonNummer!=nachNummer)) { matrix[vonNummer][nachNummer] = gewichtung; matrix[nachNummer][vonNummer] = gewichtung; } Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

24 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Übung 3 – Beispiele für Graphen Graph_Matrix_Beispiele (im Ordner Lösungen) Teste die Methoden für die gegebenen Beispielgraphen. Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

25 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Modellierung und Implementierung mit Listen Gibt es in einem Graphen viele Knoten aber wenig Kanten, so hat die Adjazenzmatrix wenig Einträge. Man spricht in diesem Fall von einem dünnen Graphen. Beispiel: v1 v2 v3 v4 v5 v6 1 Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

26 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Modellierung und Implementierung mit Listen In diesem Fall bietet es sich an, die Knoten und Kanten in einfach verketteten Listen zu verwalten: Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

27 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Übung 4 (Vertiefung) – Implementierung mithilfe der Javaklasse Vector Ergänze in der Vorlage Graph_Liste_Vector_0 den fehlenden Quelltext. Die Listen werden mit der Javaklasse Vector implementiert. Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

28 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Übung 4 (Vertiefung) – Implementierung mithilfe der Javaklasse Vector Ausgabe des erzeugten Graphen: A: M, 64; UL, 59;  F: KA, 127; WÜ, 131;  FD: WÜ, 98;  HO: WÜ, 192; N, 116; R, 166;  KA: F, 127; S, 53;  LI: UL, 126;  M: A, 64; N, 163; R, 117; RO, 60;  N: WÜ, 104; R, 80; HO, 116; M, 163;  PA: R, 72;  R: N, 80; PA, 72; HO, 166; M, 117;  RO: M, 60;  S: UL, 103; KA, 53; WÜ, 155;  UL: A, 59; WÜ, 165; LI, 126; S, 103;  WÜ: F, 131; N, 104; HO, 192; FD, 98; UL, 165; S, 155;  Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen

29 Informatik 11 3. Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen
Übung 5 (Vertiefung) – Implementierung ohne die Javaklasse Vector Ergänze in der Vorlage Graph_Liste_0 den fehlenden Quelltext. Die Listen werden ohne Verwendung einer Javaklasse implementiert. Informatik Datenstruktur Graph 3.2 Repräsentation von Graphen