1 Quantum physics (quantum theory, quantum mechanics) Part 3

2 Summary of 2 nd lecture classical physics explanation of black-body radiation failed Plancks ad-hoc assumption of energy quanta of energy E quantum = h, modifying Wiens radiation law, leads to a radiation spectrum which agrees with experiment. old generally accepted principle of natura non facit saltus violated Opens path to further developments

3 Outline Introduction spin of the electron l Stern-Gerlach experiment l spin hypothesis (Goudsmit, Uhlenbeck) l spin states, superposition,… cathode rays and electronst models of the atom Summary

4 normale Zeeman-Effect H-Atom im äußeren Magnetfeld e I A z-Achse B H-Atom B 0 3-D Drehsymmetrie im Raum B 0 1-D Drehsymmetrie um z-Achse partielle Symmetriebrechung Störpotential ( klassisch ): e -Bahnbewegung magnetisches Moment Bahndrehimpuls:Störpotential:

5 Klassisches Störpotential: Quantenmechanisch: Störungsrechnung 1. Ordnung Aufhebung der m-Entartung Bohrsches Magneton: e I z Experimentelle Beobachtung: B 0 2p 1s m 0 m 1 E Spektrallinien spalten auf! Problem: Theorie wird quantitativ nur schlecht bestätigt!

6 B 0 2p 1s m 0 m 1 E e I z Beobachtung des Photons in -Richtung m 0:existiert nicht ( keine Dipolstrahlung entlang der Schwingungsachse ) m 1: Photonen sind rechts / links zirkular polarisiert Beobachtung des Photons senkrecht zur -Richtung m 0:Photonen sind linear polarisiert in -Richtung m 1: Photonen sind linear polarisiert senkrecht zur -Richtung Drehimpulserhaltung wird vom Photon übernommen m 1: e -Kreisschwingung -Strahlung m 0: e -Schwingung -Strahlung

7 B 0 2p 1s m 0 m 1 E e I z Drehimpulserhaltung wird vom Photon übernommen m 1: e -Kreisschwingung -Strahlung m 0: e -Schwingung -Strahlung Experimenteller Befund: Strahlungsübergänge mit m 1 finden nicht statt, bzw. sind stark unterdrückt ( höhere Multipolübergänge mit mehreren Photonen ). Folgerung: Photonen tragen einen Eigendrehimpuls ( Spin ) von. Theorie hierzu: Zeitabhängige Störungstheorie; Quantenfeldtheorie Bemerkung: Spin ist rein quantenmechanisches Konzept. Es gibt kein klassisches Analogon.

Relativistische Korrekturen Elektron-Geschwindigkeit abhängig von Aufhebung der -Entartung Orientierung von nicht relevant m-Entartung bleibt erhalten relativistische Massenzunahme Störung ( klassisch ): Störoperator ( quantenmechanisch ) Störungsrechnung 1. Ordnung mit Wasserstoff-Wellenfunktion ( s. Lehrbücher ) Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante

9 Beispiel: Z 1 ( Wasserstoff ) nicht mehr entartet! Generell: Der kleine Wert der Feinstrukturkonstante rechtfertigt Störungsrechnung.

Der Spin des Elektrons Das Stern-Gerlach-Experiment ( 1921 ) N S Ag-Strahl inhomogen Ofen AgAg-Dampf Blende Glasscheibe z x Ag-Strahl N S Magnet 0 z 0 Ag-Dichte B 0 B B

11 N S Ag-Strahl inhomogen z 0 Ag-Dichte B 0 B B Erklärung: Ag-Atome haben magnetisches Moment Problem: Grundzustand des Ag-Atoms ist s-Zustand Hypothese: ( Goudsmith, Uhlenbeck, 1925 ) Elektronen tragen einen Eigendrehimpuls bzw. Spin magnet. Moment Bemerkung: Spin ist rein quantenmechanisches Konzept. Es gibt kein klassisches Analogon. Quantenmechanischer Ansatz analog zum Bahndrehimpulsoperator:

12 N S Ag-Strahl inhomogen z 0 Ag-Dichte B 0 B B Bahndrehimpuls: Operator des magnetischen Moments Bahndrehimpulsoperator Ansatz: Magnetisches Spinmoment des Elektrons gyromagnetisches Verhältnis 1925 war bekannt ( Untersuchung von Mehrelektronen-Atomen ) : Das magnetische Moment des Ag-Atoms wird nur von einem Valenzelektron getragen. Die übrigen magnetischen Momente kompensieren sich ( abgeschlossene Schalen ). Folge: Kraft im Magnetfeld

13 N S Ag-Strahl inhomogen z 0 Ag-Dichte B 0 B B Teilchen mit halbzahligem Spin heißen Fermionen. Teilchen mit ganzzahligem Spin heißen Bosonen. Teilchen mit halbzahligem Spin heißen Fermionen. Teilchen mit ganzzahligem Spin heißen Bosonen. Fazit: Beobachtung von zwei Stern-Gerlach-Peaks 2s 1 2 Das Elektron ist ein Spin-½-Teilchen.

14 Das Vektormodell des Elektronen-Spins: z x y Kugelradius

Der Einstein-de-Haas-Effekt ( 1915 ) Anwendung: Messung des gyromagnetischen Verhältnisses S des Elektronenspins. Feldspule Eisenzylinder Torsionsfaden Spiegel z Lichtquelle Skala Magnetfeld in Feldspule hinreichend groß, um Eisenzylinder bis zur Sättigung zu magnetisieren. Alle magnetischen Spinmomente sind voll in z-Richtung ausgerichtet. Magnetfeld in Feldspule hinreichend groß, um Eisenzylinder bis zur Sättigung zu magnetisieren. Alle magnetischen Spinmomente sind voll in z-Richtung ausgerichtet.

16 Comparison with Bohr model*** Angular momentum (about any axis) assumed to be quantized in units of Plancks constant: Electron otherwise moves according to classical mechanics and has a single well-defined orbit with radius Energy quantized and determined solely by angular momentum: Bohr modelQuantum mechanics Angular momentum (about any axis) shown to be quantized in units of Plancks constant: Energy quantized, but is determined solely by principal quantum number, not by angular momentum: Electron wavefunction spread over all radii. Can show that the quantum mechanical expectation value of the quantity 1/r satisfies

The remaining approximations This is still not an exact treatment of a real H atom, because we have made several approximations. lWe have neglected the motion of the nucleus. To fix this we would need to replace m e by the reduced mass μ (see slide 1). lWe have used a non-relativistic treatment of the electron and in particular have neglected its spin (see §7). Including these effects gives rise to ofine structure (from the interaction of the electrons orbital motion with its spin), and ohyperfine structure (from the interaction of the electrons spin with the spin of the nucleus) lWe have neglected the fact that the electromagnetic field acting between the nucleus and the electron is itself a quantum object. This leads to quantum electrodynamic corrections, and in particular to a small Lamb shift of the energy levels.

Atoms in magnetic fields Interaction of classically orbiting electron with magnetic field: v Orbit behaves like a current loop: In the presence of a magnetic field B, classical interaction energy is: r Corresponding quantum mechanical expression (to a good approximation) involves the angular momentum operator: μ Reading: Rae Chapter 6; B&J §6.8, B&M Chapter 8 (all go further than 2B22)

19 Splitting of atomic energy levels Suppose field is in the z direction. The Hamiltonian operator is We chose energy eigenfunctions of the original atom that are eigenfunctions of L z so these same states are also eigenfunctions of the new H.

20 Splitting of atomic energy levels (2) Predictions: should always get an odd number of levels. An s state (such as the ground state of hydrogen, n=1, l=0, m=0) should not be split. (2l+1) states with same energy: m=-l,…+l (Hence the name magnetic quantum number for m.)

The Stern-Gerlach experiment*** Study deflection of atoms in inhomogeneous magnetic field. Force on atoms is Gerlach N S Produce a beam of atoms with a single electron in an s state (e.g. hydrogen, sodium) Results show two groups of atoms, deflected in opposite directions, with magnetic moments Consistent neither with classical physics (which would predict a continuous distribution of μ) nor with our quantum mechanics so far (which always predicts an odd number of groups, and just one for an s state).

The concept of spin*** Try to understand these results by analogy with what we know about the ordinary (orbital) angular momentum: must be due to some additional source of angular momentum that does not require motion of the electron. Known as spin. Introduce new operators to represent spin, assumed to have same commutation relations as ordinary angular momentum: GoudsmitUhlenbeck Corresponding eigenfunctions and eigenvalues: Pauli (will see in Y3 that these equations can be derived directly from the commutation relations)

23 Spin quantum numbers for an electron General interaction with magnetic field: From the Stern-Gerlach experiment, we know that electron spin along a given axis has two possible values. So, choose But we also know from Stern-Gerlach that magnetic moments associated with the two possibilities are So, have Spin angular momentum is twice as effective at producing magnetic moment as orbital angular momentum.

24 A complete set of quantum numbers Hence the complete set of quantum numbers for the electron in the H atom is: n,l,m,s,m s. Corresponding to a full wavefunction Note that the spin functions χ do not depend on the electron coordinates r,θ,φ; they represent a purely internal degree of freedom. H atom in magnetic field, with spin included:

Combining different angular momenta So, an electron in an atom has two sources of angular momentum: Orbital angular momentum (arising from its motion through the atom) Spin angular momentum (an internal property of its own). To think about the total angular momentum produced by combining the two, use the vector model once again: LxLx LyLy LzLz Vector addition between orbital angular momentum L (of magnitude L) and spin S (of magnitude S): produces a resulting angular momentum vector J: quantum mechanics says its magnitude lies somewhere between |L-S| and L+S.(in integer steps). L S L+SL+S |L-S||L-S| For a single electron, corresponding `total angular momentum quantum numbers are Determines length of resultant angular momentum vector Determines orientation L S