Beispiele: KFG 2.Teil Beispiel 1: Sei G eine Grammatik mit den folgenden Regeln: S  Ac | Bd A  aAb | ab B  aBbb | abb Definieren Sie G als ein Quadrupel. Beschreiben Sie L(G). Beispiel 2: Gegeben sei die KFG L = {anbcdn+1 | n  0} Geben Sie eine KFG G an, die L erzeugt. Zeichnen Sie die Ableitungsbäume für a3bcd4 und bcd. Beispiel 3: Sei G eine Grammatik mit den folgenden Regeln: S  U | V U  TaU | TaT V  TbV | TbT T  aTbT | bTaT |  Beschreiben Sie L(G).

Beispiel 4: Sei G eine Grammatik mit den folgenden Regeln: S  T + S | T - S | T T  T * T | T / T | ( S ) | x | y | z Beschreiben Sie L(G). Konstruieren Sie 3 Ableitungsbäume. (Syntaktisch-korrekte infix algebraische Ausdrücke, z.B. „(x+y)*x-z*y/(x+x)“) Automaten und Reguläre Ausdrücke Beispiel 5: Spezifizieren Sie einen endlichen Automaten, der alle Zeichenketten („Strings“, „Worte“) über dem Binäralphabet 0, 1 akzeptiert, in denen sowohl die Anzahl der Nullen als auch die Anzahl der Einsen gerade ist, zum Beispiel die Zeichenketten , 00, 11, 1010, 0000, 110101, usw.

Beispiel 6: Gegeben sei die formale Sprache L über dem Alphabet {0,1}, die genau jene Wörter w  {0,1}* enthält, in denen drei aufeinanderfolgende Nullen oder Einsen vorkommen, z.B. die Zeichenketten 000, 111, 10001, 0111, 1000, 00001, 01110, 01111000, 100011110, usw. Spezifizieren Sie einen endlichen Automaten A, der die Sprache L akzeptiert. Beispiel 7: Spezifizieren Sie einen endlichen Automaten, der die Sprache L(A) = {w | w = 01x10, x  {0,1}* akzeptiert. Beispiel 8: Spezifizieren Sie einen endlichen Automaten A, der die Sprache L(A) = {w | w = xyxy, x  {a,b}* y = cd} akzeptiert.

Beispiel 9: Sei  = {a, b} ein Alphabet und Q = {q0, q1} eine Menge von Zuständen. Weiters sei folgende Übergangsfunktion  : Q x   (Q) gegeben ( - Potenzmenge) : (q0, a) = {q0, q1}, (q0, b) = {q1}, (q1, a) = {q0, q1} (a) Erklären Sie die Komponenten und die Funktionsweise eines endlichen Automaten anhand des Beispiels. (b) Ist der obige Automat durch Angabe von , Q und  bereits vollständig definiert? Was fehlt? (c) Wann nennt man einen Automaten deterministisch? (d) Was ist die von einem Automaten A akzeptierte Sprache? (e) Erklären Sie den wesentlichen Unterschied regulären und kontextfreien Grammatiken (Sprachen). Beispiel 10: Gegeben sei der EA A = ( {q0, q1, q2}, {a, b, c}, , q0, {q0} ) (q0, a) = {q0, q2}, (q0, b) = {q0, q1}, (q1, c) = {q0}, (q2, b) = {q1}, (q2, c) = {q0}. Konstruieren Sie daraus einen äquivalenten deterministischen Automaten. Beschreiben Sie die von A akzeptierte Sprache durch einen regulären Ausdruck.

Beispiel 11: Gegeben sei die (reguläre) Sprache L über dem Alphabet {a,b,c} durch folgenden regulären Ausdruck R: c+(a+b+c)3ac* (a) Beschreiben Siel L formal durch Angabe einer (regulären) Menge. (b) Finden Sie einen endlichen Automaten A, der L(G) akzeptiert. (c) Konstruieren Sie daraus einen äquivalentnen deterministisch. endlichen Automaten A´. (d) Bestimmen Sie eine reguläre Grammatik G, die L(G) erzeugt. Beispiel 12: Beschreiben Sie die durch folgende reguläre Ausdrücke definierten formalen Sprachen mithilfe von Mengenschreibweise, konstruieren Sie reguläre Grammatiken, die diese Sprachen erzeugen und definieren Sie Automaten, die sie akzeptieren. (1) (ab + bb)* (2) b+ + a+ + c+ (3) (b + a + c)+bc(b + a)* (4) (b + a*)*

Beispiel 13: Konstruieren Sie zu den folgenden Automaten äquivalente deterministische Automaten und beschreiben Sie die von den Automaten akzeptierten Sprachen durch reguläre Grammatiken und reguläre Ausdrücke. (a) A1 = ( {q0, q1}, {a, b}, { (q0, a) = {q1}, (q0, b) = {q1}, (q1, a) = {q0, q1} }, q0, {q1} ) (b) A2 = ( {q0, q1 , q2, q3 , q4}, {a, b, c}, { (q0, a) = {q1, q2}, (q1, b) = {q3}, (q2, c) = {q3}, (q3, a) = {q0, q4} }, q0, {q3, q4} ) - (c) A3 = ( {q0, q1 , q2, q3 }, {a, b, c}, { (q0, a) = {q1}, (q1, b) = {q0, q2}, (q2, c) = {q0, q3} }, q0, {q3} ) Beispiel 14: Gegeben sei die formale Sprache L über dem Alphabet {a,b,c}, die genau jene Wörter w  {a, b, c}* enthält, in denen das Teilwort acb nicht vorkommt. (a) Geben Sie einen EA A an, der L akzeptiert. (b) Konstruieren Sie (gegebenenfalls) daraus einen äquivalenten determinist. EA A´. (c) Beschreiben Sie die Sprache L formal (Mengenschreibweise). (d) Bestimmen Sie eine Grammatik G, die L(G) erzeugt. (e) Beschreiben Sie L durch einen regulären Ausdruck.

Beispiel 15: Sei G eine Grammatik mit den folgenden Regeln: S  SS | aSb | bSa |  Beschreiben Sie L(G). Beispiel 16: Sei G eine Grammatik mit den folgenden Regeln: S  aA | , A  bS. Beispiel 17: Sei  = {a, b}, Finden Sie eine Grammatik, die die Menge von allen Zeichenketten mir mindestens drei a Symbolen generiert. Beispiel 18: Für folgende Sprachen finden Sie entsprechende Grammatiken, die Sie generieren (a) L1 = {anbm | n 0, m > n } (b) L2 = {anbn-3 | n 3 } Beispiel 19: Sei  = {a}. Finden Sie eine Grammatik für die folgende Sprachen: (a) L1 = { w | |w| mod 3 = 0 } (b) L2 = { w | |w| mod 3 > 0 } Beispiel 20: Sei  = {a, b}. Finden Sie eine Grammatik für die folgende Sprache: L = {w | na(w) = nb(w) + 1}, wo na(w) bezeichnet die Anzahl von a in w, und nb(w) bezeichnet die Anzahl von b in w

Beispiel 21 Gegeben: Alphabet  = {a,b} und Ausdruck r = (a+b)*b(a+ab)* Zählen Sie die 11 Wörter w mit |w|<4 der Sprache L(r) auf. Beispiel 22 Gegeben: Alphabet  = {0,1} und Ausdruck r = ((0+1)(0+1)*)*00(0+1) a) Beschreiben Sie die Sprache L(r) und b) versuchen Sie r einfacher bzw. kürzer anzuschreiben. Beispiel 23 Sprache L = {anbm : (n+m) ist gerade und (n+m)>0} Finden Sie einen entsprechenden Regulären Ausdruck r.

Beispiel 24 Gegeben: Alphabet  = {a,b} und Sprache L = {anbm : n≥4, m≤4} Finden Sie einen entsprechenden Regulären Ausdruck r. Beispiel 25 Gegeben: Alphabet  = {0,1} Finden Sie Reguläre Ausdrücke r für folgende Sprachen L: a) alle Wörter w enthalten eine gerade Anzahl von Nullen. b) alle Wörter w enden mit 01. c) alle Wörter w enden nicht mit 01. Beispiel 26 Sprache L = {a,aa,aaa,…,b,ab,aab,aaab,…}