Berechenbares Chaos - unvorhersehbare Wirklichkeit Hasenpopulation Berechenbares Chaos - unvorhersehbare Wirklichkeit

Einführung Es wird versucht mit einer mathematischen Formel die Bevölkerungsentwicklung einer abgeschlossenen Hasenpopulation zu beschreiben. Anhand einer Ausgangspopulation und einer Parabel wird die Größe der Folgegenerationen statistisch berechnet, wobei man später zu erstaunlichen Ergebnissen gelangt. Die erste Folgegeneration wird wiederum in die Parabelgleichung eingesetzt, man erhält das Ergebnis für die 2. Folgegeneration. Die mathematische Operation, bei der das Ergebnis immer wieder als Ausgangsgröße eingesetzt wird, bezeichnet man als ITERATION.

Auf die x-Achse wird die Ausgangspopulation (AP) in % aufgetragen Die Parabel wird durch -a*x²+a*x dargestellt. Der schwarze Strich ist die 1.Winkelhalbierende. Trägt man nun einen Wert für die AP ein und verfolgt den Schnittpunkt mit der Parabel zurück auf die y-Achse, so erhält man den Wert für die Folgepopulation.

Ein Beispiel Setzt man für den Wert der Ausgangspopulation 20 ein, so erhält man an dem Schnittpunkt mit der Parabel einen Wert von ca. 32. Die Bevölkerung würde also wachsen. Bei einem Wert von 50 erhält man wiederum den gleichen Wert. Man spricht bei diesem Fall von der „Goldenen Kurve“, die Population erreicht IMMER (ausgenommen bei 0 und 100) den Wert 50. Zu beachten: die Werte sind Prozentangaben; der Wert 100% kann z.B. für eine Population von 10.000 Hasen stehen.

Je nachdem wie viele Iterationen. man vornimmt, desto mehr nähert sich Je nachdem wie viele Iterationen man vornimmt, desto mehr nähert sich die Populationsgröße an 50 an. --> Jede Population, außer eine Nullpopulation (0) und eine Vollpopulation (100), strebt dem goldenen Wert von 50, also das Kurvenmaximum an. Man kann die Stabilität einer Population so mathematisch Begründen.

Zum genaueren Nachvollziehen Es wird mit dem Startwert 10 die Entwicklung betrachtet. Die Population wächst zunächst auf den Wert ca. 18. Dieser Wert erreicht nach der nächsten Iteration den Wert ca. 29. Dieser Vorgang wiederholt sich, bis der Wert 50 erreicht wird. Würde man mit einem Wert über 50 starten, so wird sich die Population zunächst stark vermindern, da nicht genug Nahrung für alle Hasen da ist. --> Der Wert wird unter 50 fallen und von da an wieder steigen.

Jedoch gibt kann man nicht davon ausgehen, dass die Situation der Hasen immer gleich bleibt und die Bevölkerung nun immer bei 50% bleiben wird. Vielmehr können sich die Umwelteinflüsse ändern: Entweder sie ändern sich zum Positiven, z.B. durch saftiges, nahrhaftes Nahrungsangebot nach einer Regenzeit. Oder sie ändern sich zum Negativen, z.B. durch eine Dürre. Dies hat natürlich Auswirkungen auf die Population, die in der Mathematik ebenfalls dargestellt werden können. Allerdings werden wir sehen, dass wir später in eine Erklärungsnot kommen werden.

Verschlechterte Lebensbedingungen Die Parabel ist abgeflacht, der Schnittpunkt von Parabel und Winkel- halbierender liegt nicht mehr auf dem Wert von 50%, sondern bei ca. 34%. Die Population wird logischerweise unter verschlechterten Lebens- Bedingungen nicht mehr seine Größe aus den „Goldenen Zeiten“ erreichen.

Stark verschlechtere Lebensbedingungen Die Lebensbedingungen der Hasen haben sich drastisch verschlechtert. Durch eine Verkleinerung der Variable a erreicht man eine andere Parabel. Die Größe der Population konvergiert wiederum an den Schnittpunkt von Winkelhalbierender und Parabel. Dieser liegt jedoch bei 0! --> Unter diesen Lebens- bedingungen würde die gesamte Hasenpopulation Stück für Stück aussterben!

Verbesserte Lebensbedingungen Der Maximalwert der Parabel liegt jetzt bei über 0,6, die Populationsgröße konvergiert jedoch nicht mehr auf den Maximalwert. Die Größe der Population pendelt sich bei ca. 0,6 erneut an dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Parabel ein. Verbessert man die Lebens- bedingungen jedoch noch weiter, also vergrößert man den Parameter a, so treten chaotische Systeme auf.

Stark verbesserte Lebensbedingungen Bei dem größten Parameter 4 erhalten wir ein solches Ergebnis. Es liegen die optimalsten Bedingungen für die Entwicklung der Populationsgröße vor. Bei genügend Iterationen also Wiederholungen scheint kein bestimmtes System erkennbar zu sein. Man spricht von deterministischem Chaos, die Werte sind bei jeder Eingabe der Formel gleich groß und nicht zufällig.

Verlauf der Iterationen Zum besseren Verständnis ist ein Werteverlauf der Iterationen gegeben. Auf der y-Achse ist die Populationsgröße gegeben, auf der x-Achse die Zahl der Iterationen, also die fortlaufenden Generationen. Es ist zu sehen, wie sich 2 stabile Endwerte der Population herauskristallisieren.

Erklärungsversuche Ab dem Lebenswert 3 entwickeln sich chaotische Zustände. Es gibt nicht mehr nur einen stabilen Wert für die Population, sondern es kommt, je höher der Parameter, zu mehreren stabilen Endwerten. Dieses lässt sich anhand des Feigenbaumes und seinen Bifurkationen (Aufspaltungen) nachvollziehen. Eine einfache, klar scheinende Formel und das Beispiel einer Hasenbevölkerung scheinen im ersten Moment ein eindeutiges und für jeden nachvollziehbares Ergebnis zu haben. Doch ist es faszinierend wie sich eine winzige Änderung in der Umwelt unserer Hasen so niederschlagen kann. Die Population kann ganz aussterben oder zwischen verschiedenen Größen schwanken, was aus mathematischer Sicht ein Beispiel für deterministisches Chaos ist.