Spracherkennung mit Automaten Klaus Becker 2017

Spracherkennung mit Automaten 1

Spracherkennung mit endlichen Automaten Teil 1 Spracherkennung mit endlichen Automaten

Zahldarstellung in Python 2.0 002.0 2.200 2. .2 2.2.2 2e10 e10 .2e01 2e-1 2e1.0 2e+1 2E1 .e2 floatnumber: digit: pointfloat: exponentfloat: intpart: fraction: exponent: Aufgabe: Welche Zeichenfolgen sind korrekt?

Sprachbeschreibung mit Produktionen F -> P F -> E P -> R P -> IR P -> I. E -> IX E -> PX I -> D I -> DI R -> .I X -> eI X -> e+I X -> e-I D -> 0 D -> 1 … floatnumber: digit: pointfloat: exponentfloat: intpart: fraction: exponent: Produktionen

Spracherkennung mit Produktionen F -> P F -> E P -> R P -> IR P -> I. E -> IX E -> PX I -> D I -> DI R -> .I X -> eI X -> e+I X -> e-I D -> 0 D -> 1 … Aufgabe: Teste die Spracherkennung mit Hilfe von JFlap.

Spracherkennung mit Produktionen F -> P F -> E P -> R P -> IR P -> I. E -> IX E -> PX I -> D I -> DI R -> .I X -> eI X -> e+I X -> e-I D -> 0 D -> 1 … F -> # mit F->P P -> # mit P->I. I. -> # mit I->DI DI. -> # mit D->2 2I. -> # mit I->D 2D. -> # mit D->1 21. Ableitung mit „Intelligenz“ Produktionen

Spracherkennung mit Produktionen F -> P F -> E P -> R P -> IR P -> I. E -> IX E -> PX I -> D I -> DI R -> .I X -> eI X -> e+I X -> e-I D -> 0 D -> 1 … F -> P -> R -> .I # keine Fortsetzung möglich IR -> DR -> 0R # keine Fortsetzung möglich 1R # keine Fortsetzung möglich 2R 2.I # keine Fortsetzung möglich DIR -> ... Ableitung nach der Brute-Force-Methode Produktionen

Vereinfachte Gleitkommazahlen Wir betrachten zunächst vereinfachte Gleitkommazahlen, die nach den folgenden Regeln gebildet werden. kommazahl ::= intpart "." intpart intpart ::= digit+ digit ::= "0"|"1"|"2" Aufgabe: Welche Wörter gehören zur Sprache der vereinfachten Gleitkommazahlen, die mit den Regeln beschrieben werden? Gib Beispiele für Wörter an, die nicht zur Sprache der vereinfachten Gleitkommazahlen gehören.

Vereinfachte Gleitkommazahlen Aufgabe: Es sollen Wörter über dem Alphabet {0, 1, 2, .} überprüft werden, ob sie vereinfachte Gleitkommazahlen darstellen oder nicht. Wie könnte man das machen, indem man die Zeichen der Wörter Schritt für Schritt analysiert? Wie merkt man, ob alles ok ist oder ob ein Fehler vorliegt? 1 0 2 . 0 0 1 1 1 0 2 . 0 0 . 1

Zustandsbasierte Spracherkennung … Noch kein Zeichen gelesen Ziffer nach dem Punkt erkannt 1 0 2 . 0 0 1 1 1 0 2 . 0 0 1 1 Ziffer vor dem Punkt erkannt Weitere Ziffer nach dem Punkt erkannt 1 0 2 . 0 0 1 1 1 0 2 . 0 0 1 1 Weitere Ziffer vor dem Punkt erkannt Weitere Ziffer nach dem Punkt erkannt 1 0 2 . 0 0 1 1 1 0 2 . 0 0 1 1 Weitere Ziffer vor dem Punkt erkannt Weitere Ziffer nach dem Punkt erkannt 1 0 2 . 0 0 1 1 1 0 2 . 0 0 1 1 Punkt erkannt Ende des Wortes erreicht; alles ok! 1 0 2 . 0 0 1 1 Ziffer nach dem Punkt erkannt …

Zustandsbasierte Spracherkennung … Noch kein Zeichen gelesen Ziffer nach dem Punkt erkannt 1 0 2 . 0 0 . 1 1 0 2 . 0 0 . 1 Ziffer vor dem Punkt erkannt Weitere Ziffer nach dem Punkt erkannt 1 0 2 . 0 0 . 1 1 0 2 . 0 0 . 1 Weitere Ziffer vor dem Punkt erkannt Fehler im Wort: keine Ziffer erkannt 1 0 2 . 0 0 . 1 1 0 2 . 0 0 . 1 Weitere Ziffer vor dem Punkt erkannt Fehler im Wort: keine Ziffer erkannt 1 0 2 . 0 0 . 1 1 0 2 . 0 0 . 1 Punkt erkannt Ende des Wortes erreicht; Fehler gefunden 1 0 2 . 0 0 . 1 Ziffer nach dem Punkt erkannt …

Zustandsbasierte Spracherkennung Die Spracherkennung bei den beschriebenen Gleitkommazahlen lässt sich mit einem zustandsbasierten System durchführen, das sukzessive die einzelnen Zeichen der zu analysiedenden Zeichenkette verarbeitet. q1: Ziffer vor dem Punkt erkannt q2: Punkt erkannt q0: noch kein Zeichen gelesen q3: Ziffer nach dem Punkt erkannt q4: Fehler erkannt

Zustandsbasierte Spracherkennung Aufgabe: Erkunde und teste die Spracherkennung mit einem zustandsbasierten System mit Hilfe von JFlap.

Zustandsbasierte Spracherkennung Wir betrachten jetzt Gleitkommazahlen ohne Exponenten. Die Grammatikregeln für diese Zahlen erhält man, indem man in den Grammatikregeln für Python-Gleitkommazahlen die Regeln für "exponentfloat" weglässt. pointfloat ::= [intpart] fraction | intpart "." intpart ::= digit+ fraction ::= "." digit+ digit ::= "0"|"1"|"2"

Zustandsbasierte Spracherkennung Aufgabe: Erkläre, wie die Spracherkennung mit dem zustandsbasierten System hier funktioniert. pointfloat ::= [intpart] fraction | intpart "." intpart ::= digit+ fraction ::= "." digit+ digit ::= "0"|"1"|"2"

Fachkonzept - Akzeptor Ein Akzeptor bzw. erkennender Automat ist eine Verarbeitungseinheit, die durch folgende Bestandteile festgelegt wird: eine nichtleere, endliche Menge Z von Zuständen eine nichtleere, endliche Menge E von Eingabesymbole eine Überführungsfunktion f: Z x E -> Z, die jedem Paar aus aktuellem Zustand und Eingabe einen Folgezustand zuordnet ein ausgezeichnetes Element z0 aus Z, der sogenannte Anfangszustand einer Teilmenge ZE von Z, den sogenannten Endzuständen Z = {q0, q1, q2, q3, q4, q5} E = {., 0, 1, 2} f: (q0, 0) -> q1; (q0, 1) -> q1; ... z0 = q0 ZE = {q2, q3}

Fachkonzept - Akzeptor Die Menge E der Eingabesymbole eines Akzeptors A = (Z, E, f, z0, ZE) kann als Alphabet einer Sprache aufgefasst werden. Unter der Sprache eines Akzeptors versteht man die Menge aller Wörter über dem Alphabet E, die den Automaten vom Anfangszustand z0 in einen Endzustand aus ZE überführen. Wenn A = (Z, E, f, z0, ZE) ein gegebener Akzeptor ist, dann schreiben wir L(A) für die Sprache des Akzeptors A. Z = {q0, q1, q2, q3, q4, q5} E = {., 0, 1, 2} f: (q0, 0) -> q1; (q0, 1) -> q1; ... z0 = q0 ZE = {q2, q3} A = (Z, E, f, z0, ZE) L(A) = {0, 1, 2, ..., 12., ...}

Fachkonzept - Akzeptor Ein Akzeptor ist also eine Verarbeitungseinheit, die Symbole eines Eingabeworts verarbeitet und sich dabei stets in einem bestimmten Zustand befindet. Anhand des aktuellen Zustands kann dann festgestellt werden, ob das zu verarbeitende Eingabewort akzeptiert wird oder nicht. Die Symbole des zu verarbeitenden Eingabeworts sind in einzelne Zellen eines Eingabebandes geschrieben. Bei der Berarbeitung des Eingabeworts werden die einzelnen Symbole des Worts mit einem Lesekopf erfasst. Abhängig vom jeweils gelesenen Symbol wird die eigentliche Verarbeitungseinheit in einen passenden Zustand versetzt. Die Verarbeitung endet, wenn der Lesekopf alle Symbole des Wortes erfasst hat. Befindet sich die Verarbeitungseinheit dann in einem Endzustand, so wird das Wort akzeptiert.

Übungen Aufgabe: Binärzahlen sind Zahlen, die im Dualsystem / Zweiersystem dargestellt sind und daher nur die Symbole 0 und 1 zur Zahldarstellung benutzen. Die folgende Zahlenreihe beschreibt, wie man im Dualsystem / Zweiersystem zählt: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, ... Binärzahlen sind Wörter über dem Alphabet Σ = {0, 1}. Die Sprache der Binärzahlen LBin besteht aus sämtlichen Wörtern über Σ = {0, 1}, die eine Binärzahl darstellen: LBin = {0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, ...} Entwickle einen erkennenden Automaten, der die Sprache Lbin erkennt.

Übungen Aufgabe: Betrachte jetzt beliebige Python-Gleitkommazahlen. Hier eine Grammatik (in EBNF) für diese Zahlen (mit eingeschränktem Ziffernbereich): floatnumber ::= pointfloat | exponentfloat pointfloat ::= [intpart] fraction | intpart "." exponentfloat ::= (intpart | pointfloat) exponent intpart ::= digit+ fraction ::= "." digit+ exponent ::= "e" ["+" | "-"] digit+ digit ::= "0"|"1"|"2" (a) Entwickle einen erkennenden Automaten, der genau die beschriebenen Gleitkommazahlen akzeptiert. (b) Teste das entwickelte System mit verschiedenen Eingaben. Teste insbesondere auch lange Eingaben. Warum kann der Automat auch lange Eingaben sehr schnell verarbeiten?

Übungen Aufgabe: Betrachte Binärwörter, die nur aus den Zeichen 0 und 1 bestehen. (a) Entwickle einen erkennenden Automaten, der nur Binärwörter mit einer geraden Anzahl von Einsen akzeptiert. (b) Entwickle einen erkennenden Automaten, der nur Binärwörter mit einer geraden Anzahl von Einsen und einer geraden Anzahl von Nullen akzeptiert.

Übungen Emailadresse: User: Domain: Subdomains: Topleveldomain: Name: Aufgabe: Entwickle einen erkennenden Automaten, der die Sprache LEMail der vereinfachten E-Mail-Adressen erkennt. Emailadresse: User: Domain: Subdomains: Topleveldomain: Name: Buchstabe:

Ausblick - Theoriebildung Wir modifizieren die Sprache LEMail der stark vereinfachten E-Mail-Adressen etwas: Die Topleveldomain soll hier aus genau zwei Buchstaben bestehen. Alle anderen Regeln sollen so bleiben wie bisher. Emailadresse: User: Domain: Subdomains: Problem: Gibt es einen Akzeptor A, der die Sprache LEMail erkennt? Aufgabe: Versuche, einen Akzeptor A mit L(A) = LEMail zu konstruieren. Topleveldomain: Name: Buchstabe:

Endliche Automaten und reguläre Sprachen Teil 2 Endliche Automaten und reguläre Sprachen

Fallstudie - Binärzahlen Zusammenhänge zwischen Sprachen und Automaten lassen sich sehr gut mit dem Werkzeug JFlap erkunden. In einem ersten Schritt werden solche Zusammenhänge durch Experimente erkundet. In einen zweiten Schritt werden die Zusammenhänge dann aufgegriffen und präzisiert. Als Untersuchungsgegenstand wird in diesem Abschnitt die Sprache der Binärzahlen gewählt. Binärzahlen sind Zahlen, die im Dualsystem / Zweiersystem dargestellt sind und daher nur die Symbole 0 und 1 zur Zahldarstellung benutzen. Die folgende Zahlenreihe beschreibt, wie man im Dualsystem / Zweiersystem zählt: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, ... Binärzahlen sind Wörter über dem Alphabet Σ = {0, 1}. Die Sprache der Binärzahlen LBin besteht aus sämtlichen Wörtern über Σ = {0, 1}, die eine Binärzahl darstellen: LBin = {0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, ...}

JFlap: Vom Automaten zur Grammatik Aufgabe: Wie wird die Grammatik aus dem Akzeptor erzeugt? Wenn du es verstanden hast, dann gib einen Automaten vor, erzeuge selbst die zugehörige Grammatik und überprüfe deinen Vorschlag.

JFlap: Von der Grammatik z. Automaten Aufgabe: Wie wird der Akzeptor aus der Grammatik erzeugt? Wenn du es verstanden hast, dann gib eine Grammatik vor, erzeuge selbst den zugehörigen Akzeptor und überprüfe deinen Vorschlag.

Reguläre Sprachen Zum erkennenden Automaten A lässt sich die Grammatik GA erzeugen. Es fällt auf, dass alle Produktionen dieser Grammatik GA eine bestimmte Struktur haben. S -> 0B B -> λ S -> 1A A -> 0A A -> 1A A -> λ Nichtterminalsymbol Nichtterminalsymbol S -> 0B A -> λ Terminalsymbol Nichtterminalsymbol leeres Wort

Fachkonzept - reguläre Sprache Eine Produktion u -> v heißt regulär genau dann, wenn gilt: Die linke Seite u der Produktion ist ein Nichtterminalsymbol. Die rechte Seite v der Produktion besteht aus einem Terminalsymbol gefolgt von einem Nichtterminalsymbol, oder sie besteht nur aus dem leeren Wort. LBin = {0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, ...} S -> 0B B -> λ S -> 1A A -> 0A A -> 1A A -> λ reguläre Grammatik für LBin S -> 0 S -> 1R R -> ZR R -> λ Z -> 0 Z -> 1 Eine Grammatik heißt regulär genau dann, wenn alle Produktionen der Grammatik regulär sind. nicht-reguläre Grammatik für LBin Eine Sprache heißt regulär genau dann, wenn es eine reguläre Grammatik gibt, die diese Sprache erzeugt. Beachte, dass es zu einer regulären Sprache durchaus nicht-reguläre Grammatiken geben kann. Um nachzuweisen, dass eine Sprache regulär ist, reicht es aus, eine reguläre Grammatik zur Sprache zu konstruieren. Zu einer Sprache kann man stets eine Vielzahl von Grammatiken angeben. Auch wenn man noch keine reguläre Grammatik zu einer Sprache gefunden hat, so heißt das noch nicht, dass die Sprache nicht-regulär ist.

Nichtdeterministischer Automat Zur Grammatik G lässt sich ein Automat AG erzeugen. Es fällt auf, dass dieser Automat kein endlicher Automat im bisherigen Sinne ist. A -> 1B A -> 0C A -> 1C C -> λ B -> 0B B -> 1B B -> 0D B -> 1D D -> λ nichtdeterministische Zustandsübergänge Zustandsübergänge ohne Eingaben

Fachkonzept - Nichtdeterm. Automat Einen endlichen Automaten, der nichtdeterministische Zustandsübergänge und λ-Übergänge zulässt, nennt man nichtdeterministischen endlichen Automaten (kurz: NFA für nondeterministic finite automaton). Entsprechend nennt man einen endlichen Automaten, der keine nichtdeterministische Zustandsübergänge und keine λ-Übergänge enthält, einen deterministischen endlichen Automaten (kurz: DFA für deterministic finite automaton). deterministischer endlicher Automat nichtdeterministischer endlicher Automat

Spracherkennung mit einem NFA Spracherkennung mit nichtdeterministischen Automaten funktioniert so ähnlich wie Spracherkennung mit deterministischen Automaten. Man muss nur alle möglichen Zustandsübergänge für eine Eingabe durchspielen. Wenn nach der Verarbeitung des gesamten Eingabeworts ein Endzustand erreicht werden kann, dann gilt die Eingabe als akzeptiert, ansonsten als nicht akzeptiert.

Zusammenhang zwischen DFA und NFA Satz (Zusammenhang zwischen deterministischen und nichtdeterministischen Automaten): Zu jedem nichtdeterministischen erkennenden Automaten gibt es einen deterministischen erkennenden Automaten, der dieselbe Sprache erkennt. Man kann den deterministischen erkennenden Automaten automatisiert aus dem nichtdeterministischen erkennenden Automaten erzeugen.

Theorie - reg. Sprachen und Automaten Satz (Zusammenhang zwischen deterministischen Automaten und regulären Sprachen): Die Sprache eines deterministischen erkennenden Automaten (Akzeptors) ist regulär: Zum deterministischen erkennenden Automaten gibt es eine reguläre Grammatik, die dieselbe Sprache erzeugt, die vom Automaten erkannt wird. Man kann diese reguläre Grammatik automatisiert erzeugen. S -> 0B B -> λ S -> 1A A -> 0A A -> 1A A -> λ

Theorie - reg. Sprachen und Automaten Satz (Zusammenhang zwischen regulären Sprachen und nichtdeterministischen Automaten): Zu jeder regulären Sprache gibt es einen nichtdeterministischen erkennenden Automaten, der diese Sprache erkennt. Der nichtdeterministische erkennende Automat kann automatisiert aus einer reguläre Grammatik zur regulären Sprache erzeugt werden. Satz (Zusammenhang zwischen regulären Sprachen und deterministischen Automaten): Zu jeder regulären Sprache gibt es einen deterministischen erkennenden Automaten, der diese Sprache erkennt. Der deterministische erkennende Automat kann automatisiert aus einer reguläre Grammatik zur regulären Sprache erzeugt werden. A -> 1B A -> 0C A -> 1C C -> λ B -> 0B B -> 1B B -> 0D B -> 1D D -> λ

Anwendung der Theorie Problem: Gibt es einen Akzeptor A, der die Sprache LEMail (die durch die Syntaxdiagramme festgelegt wird) erkennt? E -> U@D U -> N D -> ST S -> N. S -> N.S T -> bb N -> B N -> BN B -> b E -> bU U -> bU U -> @S S -> bB B -> bB B -> .S B -> .T T -> bZ Z -> b E -> bU U -> bU U -> @S S -> bB B -> bB B -> .S B -> .T T -> bZ Z -> bX X -> λ regulär Lösung: Nach dem Satz über den Zusammenhang zwischen regulären Sprachen und deterministischen Automaten gibt es zu dieser Grammatik einen deterministischen erkennenden Automaten, der die von der Grammatik erzeugte Sprache erkennt. Dieser Automat kann auch Schritt für Schritt erzeugt werden. Aufgabe: Erzeuge einen Akzeptor A, der die Sprache LEMail erkennt.

Anwendung der Theorie Problem: Gibt es einen Akzeptor A, der die Sprache LEMail (die durch die Syntaxdiagramme festgelegt wird) erkennt? NFA Lösung: Der Automat zur Erkennung von LEMail ist nichtdeterministisch. Nach dem Satz über den Zusammenhang zwischen deterministischen und nichtdeterministischen Automaten gibt es einen deterministischen erkennenden Automaten, der dieselbe Sprache erkennt. Dieser Automat kann auch Schritt für Schritt (z.B. mit Hilfe von JFlap) erzeugt werden. Aufgabe: Erzeuge einen Akzeptor A, der die Sprache LEMail erkennt.

JFlap: Vom reg. Ausdruck z. Automaten JFlap kann aus einem regulären Ausdruck einen endlichen Automaten erzeugen. Der Erzeugungsprozess ist bei komplexeren regulären Ausdrücken schwer zu durchschauen. Einfacher geht das, wenn man nur Teilausdrücke von Jflap verarbeiten lässt, z.B. die regulären Ausdrücke 10 (als Beispiel für eine Konkatenation), 0+1 (als Beispiel für eine Alternative) und 1* (als Beispiel für eine Iteration). Probiere das einmal aus und versuche, das Umwandlungsverfahren zu beschreiben.

JFlap: Vom Automaten z. reg. Ausdruck JFlap kann ebenfalls aus einem endlichen Automaten einen regulären Ausdruck erzeugen. Probiere das einmal aus.

Vom regulären Ausdruck z. Automaten Ø ist ein regulärer Ausdruck. Er beschreibt die leere Wortmenge {}. λ ist ein regulärer Ausdruck. Er beschreibt die Wortmenge {λ}, in der nur das leere Wort vorkommt. Für jedes a aus Σ ist a ein regulärer Ausdruck. Der reguläre Ausdruck a beschreibt die Wortmenge {a}. Wenn α und β reguläre Ausdrücke sind, dann ist auch die Konkatenation αβ ein regulärer Ausdruck. Wenn α die Wortmenge A und β die Wortmenge B beschreibt, dann beschreibt die Konkatenation αβ die Menge {ab | a aus A und b aus B} aller Wörter, die mit einem Wort aus A beginnen und mit einem Wort aus B enden.

Vom regulären Ausdruck z. Automaten Wenn α und β reguläre Ausdrücke sind, dann ist auch die Alternative α+β ein regulärer Ausdruck. Wenn α die Wortmenge A und β die Wortmenge B beschreibt, dann beschreibt die Alternative α+β die Menge {w | w aus A oder w aus B} aller Wörter, die in A oder in B vorkommen. Wenn α ein regulärer Ausdruck ist, dann ist auch die Iteration α* ein regulärer Ausdruck. Wenn α die Wortmenge A beschreibt, dann beschreibt die Iteration α* die Menge A* aller Wörter, die durch endlich-maliges Aneinanderfügen von Wörtern aus A entstehen.

Theorie - reg. Ausdrücke u. Automaten Satz (Zusammenhang zwischen regulären Ausdrücken u. (nicht)deterministischen Automaten): Zu jedem regulären Ausdruck gibt es einen nichtdeterministischen erkennenden Automaten (und folglich auch einen deterministischen erkennenden Automaten), der die vom regulären Ausdruck beschriebene Sprache erkennt. Der (nicht)deterministische erkennende Automat kann automatisiert aus dem regulären Ausdruck erzeugt werden. 0+1(0+1)* Aufgabe: Entwickle analog einen endlichen Automaten, der die Sprache zum regulären Ausdruck a(a+b)*ab erkennt.

Theorie - reg. Ausdrücke u. Automaten Satz (Zusammenhang zwischen (nicht)deterministischen Automaten u. regulären Ausdrücken): Zu jedem nichtdeterministischen erkennenden Automaten (und folglich auch deterministischen erkennenden Automaten) gibt es einen regulären Ausdruck, der die vom (nicht)deterministische Automat erkannte Sprache beschreibt. Der reguläre Ausdruck kann automatisiert aus dem erkennenden Automaten erzeugt werden. Satz (über reguläre Sprachen und endliche Automaten): Die Klasse der Sprachen, die mit einer regulären Grammatik beschrieben werden können, ist identisch mit der Klasse der Sprachen, die mit einem regulären Ausdruck beschrieben werden können, ebenso mit der Klasse der Sprachen, die von deterministischen endlichen Automaten erkannt werden können, und ebenso mit der Klasse der Sprachen, die von nichtdeterministischen endlichen Automaten erkannt werden können.

Aufwand bei der Spracherkennung Grammatiken und reguläre Ausdrücke dienen zur Beschreibung von Sprachen. Sie sind nicht auf schnelle Spracherkennung optimiert. Das zeigt sich, wenn man Experimente mit JFlap durchführt.

Aufwand bei der Spracherkennung Wenn man einen deterministischen endlichen Automaten zur Spracherkennung benutzt, dann erhält man ohne Wartezeiten direkt eine Rückmeldung.

Grenzen von endlichen Automaten Teil 3 Grenzen von endlichen Automaten

Ausblick - Theoriebildung Wir betrachten die Sprache LKlammer der stark vereinfachten Klammerausdrücke, die durch folgende Syntaxdiagramme festgelegt wird. Zur Sprache Lklammer gehören also alle Klammerausdrücke der Gestalt ((())), bei denen nach einer Folge öffnender Klammern genau so viele schließende Klammern folgen. Problem: Gibt es einen Akzeptor A, der die Sprache LKlammer erkennt? Aufgabe: Versuche, einen Akzeptor A mit L(A) = LKlammer zu konstruieren.

Grenzen von endlichen Automaten Problem: Gesucht ist ein endlicher Automat, der die der Klammerausdrücke erkennt. (((()))) aaaabbbb ok A ((()) aaabb Fehler Versuche, einen solchen endlichen Automaten A zu konstruieren, scheitern an der Schwierigkeit, die Anzahl der öffnenden Klammern im Automaten mitzuzählen. Es scheint, dass diese Schwierigkeit bei endlichen Automaten - die ja eine feste Anzahl von Zuständen haben - unüberwindbar ist. Die folgende Argumentation zeigt, dass das tatsächlich der Fall ist. Wir benutzen dabei einen Beweis durch Widerspruch. Wir nehmen an, dass es einen Automaten A gibt, der die Sprache der Klammerausdrücke erkennt und führen diese Annahme dann zu einem Widerspruch. Die Annahme muss folglich falsch sein.

Grenzen von endlichen Automaten Gibt es einen endlichen Automaten, der L = {anbn | n = 1, 2, 3, ...} erkennt? (((()))) aaaabbbb ok DFA ((()) aaabb Fehler Angenommen, es gibt einen endlichen Automaten A mit L(A) = L. Dieser Automat A hat eine feste Anzahl Zustände, etwa m = 15 (die Zahl 15 ist hier willkürlich gewählt, sie spielt für die Argumentation keine Rolle). Wie wählen nun ein Wort w = akbk aus L = {anbn | n = 1, 2, 3, ...} aus mit k > m, etwa k = 16. Bei der Abarbeitung des Wortes w = akbk muss bereits bei der Verarbeitung der 16 a's mindestens ein Zustand z mindestens zweimal durchlaufen werden, denn es gibt mehr a's als Zustände. Wir nehmen einmal an, dass der Zustand z mit dem dritten a und mit dem siebten a erreicht wird. Für die folgende Argumentation ist nicht entscheidend, mit welchen a's man z erreicht, sondern nur, dass z zweimal durchlaufen wird. Es entsteht eine Schleife, die erst mit dem ersten b wieder verlassen wird. Wie die 16 b's den Automaten in einen Endzustand bringen, ist für die Argumentation ohne Belang.

Grenzen von endlichen Automaten Die folgende Grafik soll die Situation verdeutlichen: - A hat m Zustände (hier m = 15). - A akzeptiert w = akbk mit k > m (hier w = a16b16). - Bei d. Verarbeitung des a-Anfangsteils von w wird ein Zustand mindestens zweimal durchlaufen werden (hier wird q3 insgesamt 4 mal durchlaufen). Weitere spezielle Eigenschaften von A, die in der Grafik zu erkennen sind, sind für den Beweisgang nicht von Bedeutung. Grafik entnommen aus: http://hsg.region-kaiserslautern.de/faecher/inf/material/automaten/anbn/index.php

Grenzen von endlichen Automaten Dem Bild kann man direkt entnehmen, dass neben w = a16b16 auch andere Wörter wie a4b16 (Schleife wurde nicht durchlaufen) oder auch a8b16 (Schleife wurde einmal durchlaufen) akzeptiert werden. Der Automat akzeptiert folglich auch Wörter, die nicht zu L = {anbn | n = 1, 2, 3, ...} gehören. Das steht aber im Widerspruch zur Annahme, dass der Automat A die Sprache L = {anbn | n = 1, 2, 3, ...} erkennt. Da die Annahme, dass es einen endlichen Automaten gibt, der die Sprache L = {anbn | n = 1, 2, 3, ...} erkennt, zu einem Widerspruch führt, muss die Annahme falsch sein.

Grenzen von endlichen Automaten Satz (über die Grenzen von endlichen Automaten): Die Sprache L = {anbn | n = 1, 2, 3, ...} kann nicht von einem endlichen Automaten erkannt werden. Sie ist also nicht regulär.

Literaturhinweise F. Gasper, I. Leiß, M. Spengler, H. Stimm: Technische und theoretische Informatik. Bsv 1992. E. Modrow: Automaten, Schaltwerke, Sprachen. Dümmlers Verlag 1988. R. Baumann: Informatik für die Sekundarstufe II, Band 2. Klett-Verlag 1993. Informatik heute, Band 2. Schroedel-Verlag 1988. U. Schöning: Theoretische Informatik – kurzgefasst. Spektrum Akademischer Verlag 2001. J. E. Hopcroft / J. D. Ullman: Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie. Addison-Wesley 1988. S. H. Rodger, T. W. Finley: JFLAP. Jones and Bartlett Publishers 2006. ... Die Darstellung hier orientiert sich an den Materialien auf den Webseiten: http://www.inf-schule.de