Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = -1  Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Betrachte den Graphen der Parabel y = -2x² + 6x +8

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Betrachte den Graphen der Parabel y = -2x² + 6x +8 Mit den gefundenen Nullstellen x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x² der Faktor –2 steht, kann man den Graphen sofort skizzieren. (Also wirklich nur skizzieren!) 

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Betrachte den Graphen der Parabel y = -2x² + 6x +8 Mit den gefundenen Nullstellen x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x² der Faktor –2 steht, kann man den Graphen sofort skizzieren. (Also wirklich nur skizzieren!) 

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode y = -2x² + 6x +8 > 0 heißt doch, dass die y – Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode y = -2x² + 6x +8 > 0 heisst doch, dass die y – Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen. Das sind dann alle Punkte der Parabel, die oberhalb der x-Achse liegen.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen. Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören. Wie viele sind das ?

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen. Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören. Wie viele sind das ? Unendlich viele !

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen. Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören. Wie viele sind das ? Unendlich viele ! Aber sie liegen alle in dem Intervall ]-1 ; 4[

Lösen von quadratischen Ungleichungen Lösung Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Aber sie liegen alle in dem Intervall ]-1 ; 4[ Das ist die Lösung! ]-1 ; 4[

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = -1 Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen. Neben der Parabelmethode gibt es noch die „Zahlenstrahltabelle“. Parabelmethode

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Erinnere dich an den Satz von Vieta: -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = -1 => (x – 4)(x + 1) = 0 Die „-2“ wieder ran => -2(x – 4)(x + 1) = 0

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Also ist -2x² + 6x +8 > 0 , wenn -2(x – 4)(x + 1) > 0 ist.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Der Term -2(x – 4)(x + 1) ist ein Produkt aus drei Faktoren. Mit der Zahlenstrahltabelle untersucht man die Vorzeichen der drei Faktoren. Also gut, beginne mit einem Zahlenstrahl!

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x Es ist sicher nützlich, wenn man die gefundenen Nullstellen auch auf dem Zahlenstrahl markiert.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x Die beiden Nullstellen geben nämlich die Lage der Spalten vor. Auf die „0“ kann man jetzt verzichten.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x Und dann braucht man noch eine Spalte für die drei Faktoren.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 (x-4) (x+1)

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 (x-4) (x+1) Jetzt musst du dir überlegen, welches Vorzeichen der jeweilige Term hat, wenn sich das x auf dem Zahlenstrahl von links nach rechts bewegt.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 (x-4) (x+1) Bei –2 ist das einfach, weil das x keinen Einfluss nimmt.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - (x-4) (x+1) Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - (x-4) (x+1) Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) (x+1) Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein. In die erste Zeile müssen also drei „-“ – Zeichen.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) (x+1) Jetzt ist die zweite Zeile dran. Setze in (x – 4 ) einfach einen Beispielwert aus dem Bereich des Zahlenstrahls ein.

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - (x+1) Z.B.: (-2 – 4 ) = - 6

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - - (x+1) Z.B.: (1 – 4 ) = - 3

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - - + (x+1) Z.B.: (5 – 4 ) = + 1

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - - + (x+1) Es geht auch noch anders. (x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0!

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - - + (x+1) - (x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0! Dann muss der Term links von –1 negativ sein,

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) + - - (x+1) - + + (x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0! Dann muss der Term links von –1 negativ sein, und rechts von –1 positiv !

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - - + (x+1) - + + -2(x-4)(x+1) So, jetzt ist das Vorzeichen des gesamten Produkts dran.

Ahnst du es schon?

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - - + (x+1) - + + -2(x-4)(x+1) „Minus mal Minus mal Minus“ gibt ?

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - - + (x+1) - + + - -2(x-4)(x+1) „Minus mal Minus mal Minus“ gibt ? Minus!

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - - + (x+1) - + + - -2(x-4)(x+1) „Minus mal Minus mal Plus“ gibt ?

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - - + (x+1) - + + - -2(x-4)(x+1) + „Minus mal Minus mal Plus“ gibt ? Plus!

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - - + (x+1) - + + - -2(x-4)(x+1) + „Minus mal Plus mal Plus“ gibt ?

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - - + (x+1) - + + - -2(x-4)(x+1) + - „Minus mal Plus mal Plus“ gibt ? Minus!

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - - + (x+1) - + + - - -2(x-4)(x+1) + So, fast fertig! Für welchen Bereich des Zahlenstrahls ist denn das Produkt nun positiv?

Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 „Zahlenstrahltabelle“ -1 4 x -2 - - - (x-4) - - + (x+1) - + + - - -2(x-4)(x+1) + Genau! Da ist wieder das Intervall ]-1 , 4[.