Agenda für heute, 19. Januar 2007 Informationssysteme: ETH-BibliothekInformationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme, Wahrheitstabellen Boolesche Algebra

© Institut für Computational Science, ETH Zürich ETH-Bibliothek Vortrag von Frau E. Benninger Grösste Bibliothek der Schweiz Schwerpunkte im Bereich des elektronischen Informationsangebotes 2/21

Informationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die InformationsgewinnungLogische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme, Wahrheitstabellen Boolesche Algebra

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Wiedergewinnung von Information: Relationale Datenbank Normalisieren Relationale Operatoren (Select, Project, Join) Ursprüngliche Information Relationen Wiedergewonnene Information 3/21

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Wiedergewinnung von Information: Aussagenlogik Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen? Name in Nahrungsmittel mit Nährstoff = Eisen und Menge < 2 4/21 Aussage ausgewertet mit Tupel einer Datenbank wahrfalsch Datenbankabfrage

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Elemente der Aussagenlogik Eine Aussage hat einen Wahrheitswert ("wahr", "falsch"). Aussagen können aus Teilaussagen zusammengesetzt sein. Diese Teilaussagen sind durch logische Operatoren (Konjunktion, Disjunktion, Negation) verknüpft. 5/21 Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist vollständig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen und die Art und Weise wie diese in der Aussage verknüpft sind, gegeben.

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Konjunktion p und q seien Teilaussagen, w = wahr, f = falsch Der Wahrheitswert von p and q wird durch die Wahrheitstabelle der Konjunktion präzise definiert: pq p and q ww w Die erste Zeile ist eine Kurzform für: w f f "Falls p wahr ist und q wahr ist, dann fw f ist p and q wahr. f f f Symbole: und, and,, 6/21

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Beispiel Rosen sind rot and Veilchen sind blau ist wahr 7/21 Rosen sind rot and Veilchen sind grün ist falsch

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Disjunktion p und q seien Teilaussagen, w = wahr, f = falsch Der Wahrheitswert von p or q wird durch die Wahrheitstabelle der Konjunktion präzise definiert: pq p or q www Beachte: p or q ist nur falsch wenn w fw beide Teilaussagen falsch sind. fww f f f Symbole: oder, or, +, 8/21

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Beispiel 9/21 Rosen sind rot or Veilchen sind blau ist wahr Rosen sind rot or Veilchen sind grün ist wahr Rosen sind silbrig or Veilchen sind grün ist falsch

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Negation p sei eine (Teil)aussage, w = wahr, f = falsch Der Wahrheitswert von not p wird durch die Wahrheitstabelle der Negation präzise definiert: pnot p w f f w Symbole: nicht, not, ¬ 10/21 Reihenfolge der Auswertung von Operatoren in logischen Ausdrücken: 1. NOT 2. AND 3. OR

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Bemerkung zur Disjunktion Umgangssprachlich bedeutet "oder" meistens: p oder q oder beide (sie ist intelligent oder sie studiert jede Nacht) p or q ist durch die Wahrheitstabelle definiert und bedeutet immer "p oder q oder beide". manchmal bedeutet "oder" : p oder q aber nicht beide (sie telefoniert aus Basel oder aus Genf) "oder" in letzterem Sinn wird exklusive Disjunktion (xor) genannt. 11/21 pq p xor q wwf Beachte: p xor q ist falsch wenn w fw beide Teilaussagen entweder falsch fww oder richtig sind f f f

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Disjunktion oder exklusive Disjunktion? 12/21 Genauer: drink and < 1 Glas xor drive Genauer: drink xor driveAber stimmt das? Genauer: drink and 1 Glas and drive or drink and > 1 Glas and not drive Stimmts jetzt?

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Ein paar Spezialfälle Logische Äquivalenzen not p or not q not ( p and q ) (de Morgan) not p and not q not ( p or q ) TautologieWiderspruch p or not pp and not p pnot p p or not p wf w fw w pnot p p and not p wf f fw f 13/21

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Logische Operatoren im Web: "+" und "-" Inklusion und Exklusion Anstelle der logischen Operatoren "and", "or" und "not" setzen Suchhilfen oft auch die Zeichen "+" und "-" ein. Mit dem "+"-Operator (Inklusion oder Einschluss) sagen wir, dass der nachfolgende Suchbegriff auf jeden Fall im Suchergebnis enthalten sein muss. Der "-"-Operator (Exklusion oder Ausschluss) schliesst Dokumente im Suchergebnis aus, welche den nachfolgenden Suchbegriff enthalten. Beispiel Vogelgrippe –China Es werden nur Dokumente gesucht, in denen der Begriff "China" nicht enthalten ist. 14/21

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© Institut für Computational Science, ETH Zürich Grafische und formale Darstellung logischer Verknüpfungen Alle Nahrungsmittel mit Eisen Alle Nahrungsmittel mit Zink 15/21 Logischer Ausdruck ( Nährstoff = Eisen OR Nährstoff = Zink ) AND Menge < 2 mg Mengendiagramme Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen oder Zink? Alle Nahrungsmittel mit Menge < 2 mg

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke EisenZink< 2 mg Eisen OR Zink(Eisen OR Zink) AND < 2 mg WWWWW WWFWF WFWWW WFFWF FWWWW FWFWF FFWFF FFFFF 16/21 ( Nährstoff = Eisen OR Nährstoff = Zink ) AND Menge < 2 mg

Informationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme, Wahrheitstabellen Boolesche AlgebraBoolesche Algebra

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Boolesche Algebra Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen " " und "+" heisst Boolesche* Algebra, wenn für alle x, y, z M gilt: (1) x (y z) = (x y) z;Assoziativ (2) x + (y + z) = (x + y) + z;Assoziativ (3) x y = y x;Assoziativ (4) x + y = y + x;Assoziativ (5) x (x + y) = x;Absorption (6) x + (x y) = x;Absorption (8) x (y + z) = (x y) + (x z);Distributiv (8) x + (y z) = (x + y) (x + z);Distributiv 17/21 * nach George Boole, englischer Mathematiker, 1815 – 1864

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Boolesche Algebra (9)es gibt ein Element 0 M mit 0 x = 0 und 0 + x = x für alle x M ; Neutrales Element (10) es gibt ein Element 1 M mit 1 x = x und 1 + x = x für alle x M ; Neutrales Element (11) zu jedem x M existiert genau ein y M mit x y = 0 und x + y = 1; Komplementäres Element 18/21 Wir ersetzen "wahr" mit "1" und "falsch" mit "0" und wenden die Boolesche Algebra auf logische Ausdrücke an.

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Vereinfachung logischer Ausdrücke 19/21 Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane Wir möchten einen Fruchtsalat mit Ananas und Bananen oder mit Ananas und keinen Bananen oder mit keinen Ananas und keinen Bananen. Können wir das einfacher sagen? Was sagen wir überhaupt?

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Vereinfachung logischer Ausdrücke 1.(A B) + (A ¬B) + (¬A ¬B) 2.[A (B + ¬B)] + (¬A ¬B) Distributivgesetz 3.(A 1) + (¬A ¬B) komplementäres Element bez. + 4.A + (¬A ¬B) neutrales Element bez. 5.(A + ¬A) (A + ¬B) Distributivgesetz 6.1 (A + ¬B) komplementäres Element bez A + ¬B neutrales Element bez. Aber... sind der 1. und der 7. Ausdruck auch äquivalent? 20/21 Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane Ananas oder keine Banane

© Institut für Computational Science, ETH Zürich Verifizierung logischer Ausdrücke 21/21 AB((A B) + (A ¬B)) + (¬A ¬B) Schritt: ABA + ¬B Schritt:121 Reihenfolge: Aussage Logischer Ausdruck (Symbole) Boolesche Algebra Ausdruck evaluieren 1. Ausdruck: 7. Ausdruck:

Wir wünschen Ihnen ein schönes Wochenende